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第四章 三角形
专题五 半角模型
模型一 含45°半角模型
模型特点：共端点的等线段，共顶点的倍半角．
在Rt△BAC中，AB ＝AC，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°.
解题方法：将△ABD绕点A旋转，使AB与AC重合，得到△ACF，连接EF.
【结论】①△AED≌△AEF；
②△CEF 为直角三角形；
③BD2＋CE2＝DE2.
1．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，EF，AF，∠EAF＝45°.
求证：EF＝BE＋DF.
【方法一】补短法
【思维引导】延长CD至点G，使得DG＝BE，然后证明△AFE≌△AFG.
证明：延长 CD 至点G，使得DG＝BE，连接 AG.
∵四边形 ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADG＝90°，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG.
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠BAE＋∠FAD＝45°，
∴∠DAG＋∠FAD＝45°，
即∠GAF＝45°，
∴∠EAF＝∠GAF.
∵AF＝AF，
∴△AFE≌△AFG(SAS)，
∴EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF.
【方法二】旋转法
【思维引导】将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，证明△AFE≌△AGE.
证明：将△ADF 绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，使AD与AB重合，由旋转的性质可知△ADF≌△ABG，
∴DF＝BG，∠D＝∠ABG＝90°，
AF＝AG，∠FAD＝∠GAB，
∴∠ABG＋∠ABE＝180°，
即G，B，E 三点共线．
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠BAE＋∠FAD＝45°，
∴∠BAE＋∠GAB＝45°，
即∠EAG＝45°，
∴∠EAG＝∠EAF.
∵AE＝AE，
∴△AFE≌△AGE(SAS)，
∴EF＝EG.
∵EG＝BE＋BG，
∴EF＝BE＋DF.
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC 上，∠DAE＝45°.若BD＝2，CE＝4，求DE的长．
解：将△ABD绕点A顺时针旋转90°至△ACF，连接 EF，则CF＝BD＝2，∠ACF＝∠B，∠FAC＝∠BAD，AF＝AD.
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠FAE＝∠EAC＋∠FAC＝∠EAC＋∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝90°－45°＝45°＝∠DAE.
∵AE＝AE，
∴△AFE≌△ADE(SAS)，
∴FE＝DE.
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠ECF＝∠ECA＋∠ACF＝∠ECA＋∠B＝90°，
∴FE＝＝2，
∴DE＝2.
模型二 含60°半角模型
模型特点：如图，△BCD是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∠A＋∠BDC＝180°，∠EDF＝60°.
解题方法
方法1：延长AC至点G，使CG＝BE，连接DG.
方法2：将△BDE 绕点D旋转，使BD与CD重合(需证明F，C，G三点共线).
【结论】①△DEF≌△DGF；
②EF＝BE＋CF.
3．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，在边BC上取点P，连接AP，以 AP为边作∠PAQ＝60°，交CD于点Q，连接PQ.求证：△APQ是等边三角形．
证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴BA＝CA，∠B＝∠ACQ＝60°.
∵∠PAQ＝60°，∠BAC＝60°，
∴∠PAC ＋∠CAQ＝60°，∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠CAQ＝∠BAP.
在△BAP和△CAQ中，
∴△BAP≌△CAQ(ASA)，
∴AP＝AQ，
∴△APQ是等边三角形．
4．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交边AB，AC于M，N两点，连接MN.
(1)探究BM，MN，NC之间的数量关系，并说明理由；
(2)若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．
解：(1)MN＝BM＋NC.
理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°.
∵∠BDC＝120°，
∴∠ABD＋∠ACD＝360°－∠A－∠BDC＝180°.
将△MBD绕点D顺时针旋转120°，得到△ECD.由旋转的性质，得ED＝MD，∠ECD＝∠ABD，∠EDC＝∠MDB，
∴∠ECD＋∠ACD＝180°，∴N，C，E三点共线．
∵∠MDN＝60°，
∴∠NDC＋∠EDC＝∠NDC＋∠MDB＝60°，
∴∠EDN＝∠MDN.
∵DN＝DN，∴△EDN≌△MDN(SAS)，
∴NE＝CE＋NC＝MN.
∵CE＝BM，∴MN＝BM＋NC.
(2)∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝2.
由(1)知MN＝BM＋NC，
∴△AMN的周长为AM＋MN＋AN＝AM＋BM＋NC＋AN＝AB＋AC＝4.
模型三 一般半角模型
5．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，EF，AF，∠B＋∠D＝180°，且∠EAF＝∠BAD，判断BE，EF，DF之间的数量关系，并证明．
解：EF＝BE＋DF.证明如下：
将△ABE 绕点A逆时针旋转至△ADG 的位置，使AB与AD重合．
由旋转的性质，得∠ADG＝∠B，DG＝BE，AG＝AE，∠BAE＝∠DAG.
∵∠B＋∠ADC＝180°，
∴∠ADG＋∠ADC＝180°，
∴C，D，G三点共线．
∵∠FAG＝∠FAD＋∠DAG＝∠FAD＋∠BAE＝∠BAD－∠EAF，∠EAF＝∠BAD，
∴∠FAG＝∠EAF.
∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF，∴EF＝FG.
∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，
∴EF＝BE＋DF.
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专题五 半角模型
考点精讲精练
第四章 三角形
【结论】①△AED≌△AEF；
②△CEF 为直角三角形；
③BD2＋CE2＝DE2.
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C/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第四章 三角形
专题五 半角模型
模型一 含45°半角模型
模型特点：共端点的等线段，共顶点的倍半角．
在Rt△BAC中，AB ＝AC，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°.
解题方法：将△ABD绕点A旋转，使AB与AC重合，得到△ACF，连接EF.
【结论】①△AED≌△AEF；
②△CEF 为直角三角形；
③BD2＋CE2＝DE2.
1．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，EF，AF，∠EAF＝45°.
求证：EF＝BE＋DF.
【方法一】补短法
【思维引导】延长CD至点G，使得DG＝BE，然后证明△AFE≌△AFG.
证明：延长 CD 至点G，使得DG＝BE，连接 AG.
∵四边形 ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADG＝90°，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG.
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠BAE＋∠FAD＝45°，
∴∠DAG＋∠FAD＝45°，
即∠GAF＝45°，
∴∠EAF＝∠GAF.
∵AF＝AF，
∴△AFE≌△AFG(SAS)，
∴EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF.
【方法二】旋转法
【思维引导】将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，证明△AFE≌△AGE.
证明：将△ADF 绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，使AD与AB重合，由旋转的性质可知△ADF≌△ABG，
∴DF＝BG，∠D＝∠ABG＝90°，
AF＝AG，∠FAD＝∠GAB，
∴∠ABG＋∠ABE＝180°，
即G，B，E 三点共线．
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠BAE＋∠FAD＝45°，
∴∠BAE＋∠GAB＝45°，
即∠EAG＝45°，
∴∠EAG＝∠EAF.
∵AE＝AE，
∴△AFE≌△AGE(SAS)，
∴EF＝EG.
∵EG＝BE＋BG，
∴EF＝BE＋DF.
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC 上，∠DAE＝45°.若BD＝2，CE＝4，求DE的长．
解：将△ABD绕点A顺时针旋转90°至△ACF，连接 EF，则CF＝BD＝2，∠ACF＝∠B，∠FAC＝∠BAD，AF＝AD.
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠FAE＝∠EAC＋∠FAC＝∠EAC＋∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝90°－45°＝45°＝∠DAE.
∵AE＝AE，
∴△AFE≌△ADE(SAS)，
∴FE＝DE.
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠ECF＝∠ECA＋∠ACF＝∠ECA＋∠B＝90°，
∴FE＝＝2，
∴DE＝2.
模型二 含60°半角模型
模型特点：如图，△BCD是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∠A＋∠BDC＝180°，∠EDF＝60°.
解题方法
方法1：延长AC至点G，使CG＝BE，连接DG.
方法2：将△BDE 绕点D旋转，使BD与CD重合(需证明F，C，G三点共线).
【结论】①△DEF≌△DGF；
②EF＝BE＋CF.
3．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，在边BC上取点P，连接AP，以 AP为边作∠PAQ＝60°，交CD于点Q，连接PQ.求证：△APQ是等边三角形．
证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴BA＝CA，∠B＝∠ACQ＝60°.
∵∠PAQ＝60°，∠BAC＝60°，
∴∠PAC ＋∠CAQ＝60°，∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠CAQ＝∠BAP.
在△BAP和△CAQ中，
∴△BAP≌△CAQ(ASA)，
∴AP＝AQ，
∴△APQ是等边三角形．
4．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交边AB，AC于M，N两点，连接MN.
(1)探究BM，MN，NC之间的数量关系，并说明理由；
(2)若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．
解：(1)MN＝BM＋NC.
理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°.
∵∠BDC＝120°，
∴∠ABD＋∠ACD＝360°－∠A－∠BDC＝180°.
将△MBD绕点D顺时针旋转120°，得到△ECD.由旋转的性质，得ED＝MD，∠ECD＝∠ABD，∠EDC＝∠MDB，
∴∠ECD＋∠ACD＝180°，∴N，C，E三点共线．
∵∠MDN＝60°，
∴∠NDC＋∠EDC＝∠NDC＋∠MDB＝60°，
∴∠EDN＝∠MDN.
∵DN＝DN，∴△EDN≌△MDN(SAS)，
∴NE＝CE＋NC＝MN.
∵CE＝BM，∴MN＝BM＋NC.
(2)∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝2.
由(1)知MN＝BM＋NC，
∴△AMN的周长为AM＋MN＋AN＝AM＋BM＋NC＋AN＝AB＋AC＝4.
模型三 一般半角模型
5．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，EF，AF，∠B＋∠D＝180°，且∠EAF＝∠BAD，判断BE，EF，DF之间的数量关系，并证明．
解：EF＝BE＋DF.证明如下：
将△ABE 绕点A逆时针旋转至△ADG 的位置，使AB与AD重合．
由旋转的性质，得∠ADG＝∠B，DG＝BE，AG＝AE，∠BAE＝∠DAG.
∵∠B＋∠ADC＝180°，
∴∠ADG＋∠ADC＝180°，
∴C，D，G三点共线．
∵∠FAG＝∠FAD＋∠DAG＝∠FAD＋∠BAE＝∠BAD－∠EAF，∠EAF＝∠BAD，
∴∠FAG＝∠EAF.
∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF，∴EF＝FG.
∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，
∴EF＝BE＋DF.
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