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第四章 三角形
专题六 一线三等角模型
模型特点
(1)∠1，∠2，∠3的顶点在同一条直线上；
(2)∠1，∠2，∠3之间的数量关系：∠1＝∠2＝∠3.
模型结论
(1)△APC和△BDP的关系是△APC∽△BDP；
(2)若在(1)的条件下，增加条件AP＝BD(或AC＝BP或PC＝DP)，可得△APC≌△BDP.
构造方法
方法1：若图中存在一条直线上有一个直角时，根据一线三等角的特点，从直角的两边上的已知点向直角顶点所在直线作垂线，构造一线三等角；
方法2：若图中存在一条直线上有两个等角时，根据一线三等角的特点，补上一个与前面角相等的角．
1．如图，在等边三角形ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°.求证：△ABP∽△PCD.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°.
∵∠APB＋∠BAP＝180°－∠B＝120°，∠APB＋∠CPD＝180°－∠APD＝120°，
∴∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD.
2．
(一题多解)如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是边AB上一点，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，且∠EFD＝60°，求AE 的长．
方法一：补“两个等角”
【思维引导】(1)线段AB上有一个直角，需要补两个直角；(2)过点F作FG⊥AB交AB于点G，过点D作DH⊥AB交BA的延长线于点H，此时线段HG上有三个相等角，三个相等角为∠DHE，∠DEF，∠FGE；(3)在△EGF与△DHE中再找一组相等角∠DEH和∠EFG(或∠HDE和∠GEF)；(4)确定△EGF与△DHE的关系．
解：如图1，过点F作FG⊥AB于点G，过点D作DH⊥AB，交BA的延长线于点H，
图1
∴∠EGF＝∠DHE＝90°＝∠DEF，
∴∠DEH＋∠FEG＝90°，
∠FEG＋∠EFG＝90°，
∴∠DEH＝∠EFG，
∴△EGF∽△DHE，
∴＝＝.
又∵∠EFD＝60°，
∴＝.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝4，
∴∠HAD＝∠B＝60°，
∴AH＝2，DH＝2，
∴＝＝，解得EG＝2.
∵在△BGF中，GF＝BG，HE＝2＋AE，
∴＝＝，
∴AE＝3BG－2，
∴AE＋BG＝3BG－2＋BG＝4BG－2＝AB－EG＝1，
解得BG＝，∴AE＝.
方法二：补“一个等角”
【思维引导】(1)线段BC上有两个相等的角，分别为∠B，∠EFD，需要再作一个等角，延长BC至点M，使得∠CMD＝60°，此时线段BM上有三个等角；(2)在△BEF与△MFD中再找一组相等的角∠BEF和∠DFM(或∠BFE和∠MDF)；(3)确定△BEF与△MFD的关系．
图2
解：如图2，延长 BC 至点M，使得∠CMD＝60°.
∵∠EFD＝∠B＝60°，
∴∠EFB＋∠DFM＝120°，
∠BEF＋∠EFB＝120°，
∴∠BEF＝∠DFM，
∴△BEF∽△MFD，
∴＝＝.
∵∠DEF＝90°，∠EFD＝60°，∴＝.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠DCM＝∠B＝60°，
∴△CDM 是等边三角形，
∴CD＝DM＝CM＝AB＝3，
∴＝＝，
∴BF＝，∴CF＝，
∴＝＝＝，
解得AE＝.
3．(2023·武汉)【问题提出】
如图1，E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α (α≥90°)，AF交CD于点G，探究∠GCF与α之间的数量关系．
【问题探究】
(1)先将问题特殊化，如图2，当α＝90°时，直接写出∠GCF的度数；
(2)再探究一般情形，如图1，求∠GCF与α之间的数量关系；
【问题拓展】
(3)将图1特殊化，如图3，当α＝120°时，若＝，求的值．
解：(1)∠GCF＝45°.
(2)在AB上截取AN，使AN＝EC，连接NE.
∵∠ABC＋∠BAE＋∠AEB＝∠AEF＋∠FEC＋∠AEB＝180°，∠ABC＝∠AEF，
∴∠EAN＝∠FEC.
∵AE＝EF，∴△ANE≌△ECF(SAS)，
∴∠ANE＝∠ECF.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠BCD＝180°－∠ABC＝180°－α，
∴BN＝BE，
∴∠BNE＝(180°－∠ABC)＝90°－α，
∴∠ECF＝∠ANE＝∠180°－∠BNE＝90°＋α，
∴∠GCF＝∠ECF－∠BCD＝α－90°.
(3)过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点P.
∵＝，∴可设DG＝m，CG＝2m.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝DG＋CG＝3m，∠ADC＝∠ABC＝120°，
∴∠ADP＝180°－∠ADC＝60°.
∵∠P＝90°，
∴PD＝AD＝m，AP＝AD＝m.
由(2)知∠GCF＝α－90°.
∵α＝120°，∴∠GCF＝90°＝∠P.
∵∠AGP＝∠FGC，∴△APG∽△FCG，
∴＝，即＝，
∴CF＝m.
连接AC，易得△ABE∽△ACF，
∴＝＝，∴BE＝CF＝m，
∴CE＝m，∴＝.
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专题六 一线三等角模型
考点精讲精练
第四章 三角形
△APC∽△BDP
AP＝BD(或AC＝BP或PC＝DP)
AB
HG
∠DHE，∠DEF，∠FGE
∠DEH和∠EFG(或∠HDE和∠GEF)
BC
∠B，∠EFD
∠BEF和∠DFM(或∠BFE
和∠MDF)
谢谢
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特此声明！
深圳市二一教育股份有限公司
刃
A
D
A
G
F
G
G
F
B
E
C
B E
B E
图1
图2
图3/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第四章 三角形
专题六 一线三等角模型
模型特点
(1)∠1，∠2，∠3的顶点在同一条直线上；
(2)∠1，∠2，∠3之间的数量关系：∠1＝∠2＝∠3.
模型结论
(1)△APC和△BDP的关系是△APC∽△BDP；
(2)若在(1)的条件下，增加条件AP＝BD(或AC＝BP或PC＝DP)，可得△APC≌△BDP.
构造方法
方法1：若图中存在一条直线上有一个直角时，根据一线三等角的特点，从直角的两边上的已知点向直角顶点所在直线作垂线，构造一线三等角；
方法2：若图中存在一条直线上有两个等角时，根据一线三等角的特点，补上一个与前面角相等的角．
1．如图，在等边三角形ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°.求证：△ABP∽△PCD.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°.
∵∠APB＋∠BAP＝180°－∠B＝120°，∠APB＋∠CPD＝180°－∠APD＝120°，
∴∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD.
2．
(一题多解)如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是边AB上一点，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，且∠EFD＝60°，求AE 的长．
方法一：补“两个等角”
【思维引导】(1)线段AB上有一个直角，需要补两个直角；(2)过点F作FG⊥AB交AB于点G，过点D作DH⊥AB交BA的延长线于点H，此时线段HG上有三个相等角，三个相等角为∠DHE，∠DEF，∠FGE；(3)在△EGF与△DHE中再找一组相等角∠DEH和∠EFG(或∠HDE和∠GEF)；(4)确定△EGF与△DHE的关系．
解：如图1，过点F作FG⊥AB于点G，过点D作DH⊥AB，交BA的延长线于点H，
图1
∴∠EGF＝∠DHE＝90°＝∠DEF，
∴∠DEH＋∠FEG＝90°，
∠FEG＋∠EFG＝90°，
∴∠DEH＝∠EFG，
∴△EGF∽△DHE，
∴＝＝.
又∵∠EFD＝60°，
∴＝.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝4，
∴∠HAD＝∠B＝60°，
∴AH＝2，DH＝2，
∴＝＝，解得EG＝2.
∵在△BGF中，GF＝BG，HE＝2＋AE，
∴＝＝，
∴AE＝3BG－2，
∴AE＋BG＝3BG－2＋BG＝4BG－2＝AB－EG＝1，
解得BG＝，∴AE＝.
方法二：补“一个等角”
【思维引导】(1)线段BC上有两个相等的角，分别为∠B，∠EFD，需要再作一个等角，延长BC至点M，使得∠CMD＝60°，此时线段BM上有三个等角；(2)在△BEF与△MFD中再找一组相等的角∠BEF和∠DFM(或∠BFE和∠MDF)；(3)确定△BEF与△MFD的关系．
图2
解：如图2，延长 BC 至点M，使得∠CMD＝60°.
∵∠EFD＝∠B＝60°，
∴∠EFB＋∠DFM＝120°，
∠BEF＋∠EFB＝120°，
∴∠BEF＝∠DFM，
∴△BEF∽△MFD，
∴＝＝.
∵∠DEF＝90°，∠EFD＝60°，∴＝.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠DCM＝∠B＝60°，
∴△CDM 是等边三角形，
∴CD＝DM＝CM＝AB＝3，
∴＝＝，
∴BF＝，∴CF＝，
∴＝＝＝，
解得AE＝.
3．(2023·武汉)【问题提出】
如图1，E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α (α≥90°)，AF交CD于点G，探究∠GCF与α之间的数量关系．
【问题探究】
(1)先将问题特殊化，如图2，当α＝90°时，直接写出∠GCF的度数；
(2)再探究一般情形，如图1，求∠GCF与α之间的数量关系；
【问题拓展】
(3)将图1特殊化，如图3，当α＝120°时，若＝，求的值．
解：(1)∠GCF＝45°.
(2)在AB上截取AN，使AN＝EC，连接NE.
∵∠ABC＋∠BAE＋∠AEB＝∠AEF＋∠FEC＋∠AEB＝180°，∠ABC＝∠AEF，
∴∠EAN＝∠FEC.
∵AE＝EF，∴△ANE≌△ECF(SAS)，
∴∠ANE＝∠ECF.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠BCD＝180°－∠ABC＝180°－α，
∴BN＝BE，
∴∠BNE＝(180°－∠ABC)＝90°－α，
∴∠ECF＝∠ANE＝∠180°－∠BNE＝90°＋α，
∴∠GCF＝∠ECF－∠BCD＝α－90°.
(3)过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点P.
∵＝，∴可设DG＝m，CG＝2m.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝DG＋CG＝3m，∠ADC＝∠ABC＝120°，
∴∠ADP＝180°－∠ADC＝60°.
∵∠P＝90°，
∴PD＝AD＝m，AP＝AD＝m.
由(2)知∠GCF＝α－90°.
∵α＝120°，∴∠GCF＝90°＝∠P.
∵∠AGP＝∠FGC，∴△APG∽△FCG，
∴＝，即＝，
∴CF＝m.
连接AC，易得△ABE∽△ACF，
∴＝＝，∴BE＝CF＝m，
∴CE＝m，∴＝.
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