(共19张PPT)
中考数学一轮复习课件
人教版
2025年中考数学 一轮复习（回归教材夯实基础）
专题七 对角互补模型
考点精讲精练
第四章 三角形
S四边形OECF＝S△OBC
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C/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第四章 三角形
专题七 对角互补模型
如图，∠AOB＋∠DCE＝180°.
解题思路：解决该模型试题常构造辅助线的方法如下：
1．构造双垂直．
结论：若OC平分∠AOB，则△CMD≌△CNE；
若OC不是∠AOB的平分线，则△CMD∽△CNE.
2．构造等角(∠OCF＝∠DCE).
结论：若OC平分∠AOB，则△CDO≌△CEF；
若OC不是∠AOB的平分线，则△CDO∽△CEF.
【温馨提示】若出现两邻边相等，则可通过旋转构造等角．
1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，求四边形ABCD的面积．
解：过点A作AE⊥AC，交CB的延长线于点E，
∴∠CAE＝90°.
∵∠DAB＝∠DCB＝90°，
∴∠D＋∠ABC＝360°－∠DAB－∠DCB＝180°.
∵∠ABE＋∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠ABE.
又∵∠DAB＝∠CAE＝90°，
∴∠CAD＝∠EAB.
又∵AD＝AB，
∴△ACD≌△AEB，
∴AE＝AC＝5，S△ACD＝S△AEB，
∴S四边形ABCD＝S△ACE＝×5×5＝12.5.
2．如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，点E在BC的延长线上，点F在AB上，∠EDF＝120°.求证：DE＝DF.
证明：过点D作DM∥BC，交AB于点M.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠DCE＝120°.
∵DM∥BC，D是AC的中点，
∴DM＝BC，CD＝AC，∠FMD＝∠MDC＝180°－60°＝120°，
∴DM＝DC，∠MDC＝∠EDF，
∴∠MDF＝∠CDE，
∴△DCE≌△DMF(ASA)，
∴DE＝DF.
3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC上的点P处，求证：PC·PD＝PB·PE.
证明：过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N.
由折叠可知∠DPE＝∠A＝90°，
∴∠ADP＋∠AEP＝180°.
∵∠PEN＋∠AEP＝180°，
∴∠ADP＝∠PEN.
∵∠DMP＝∠ENP＝90°，
∴△DMP∽△ENP，
∴＝.
∵PN⊥AC，PM⊥AB，∠C＝45°，
∴四边形PNAM是矩形，△PNC是等腰直角三角形，
∴PM＝AN，PN＝NC，PN∥AB，
∴＝，即＝，
∴＝，
∴PC·PD＝PB·PE.
4．在四边形ABCD中，E是直线BC上一点，将射线AE绕点A逆时针旋转α交直线CD于点F.
(1)如图1，若四边形ABCD为菱形，点E在线段BC上，∠B＝60°，α＝60°，求证：AE＝AF；
(2)如图2，若四边形ABCD为正方形，点E在线段BC的延长线上，α＝45°，连接EF，试猜想线段BE，DF与EF之间的数量关系，并加以证明．
(1)证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠D＝∠B＝60°，
∴△ABC，△ADC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACF＝60°＝∠B.
∵∠EAF＝60°＝∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAF(ASA)，
∴AE＝AF.
(2)解：BE－EF＝DF.证明如下：
在线段BC上截取线段BT，使得BT＝DF，连接AT.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠ADF＝∠BAD＝90°，
∴△ABT≌△ADF(SAS)，
∴AT＝AF，∠BAT＝∠DAF，
∴∠TAF＝∠BAD＝90°.
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAT＝∠TAF－∠EAF＝45°＝∠EAF.
∵AE＝AE，
∴△EAT≌△EAF(SAS)，
∴ET＝EF，
∴BE－EF＝BE－ET＝BT＝DF.
5．【探究发现】
(1)如图1，∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠EOF＝90°，将∠EOF绕点O旋转，旋转过程中，∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F(点F与点C，D不重合)，则S四边形OECF与S△OBC之间满足的数量关系是S四边形OECF＝S△OBC；
【类比应用】
(2)如图2，若将(1)中的“正方形ABCD”改为“∠BCD＝120°的菱形ABCD”，其他条件不变，当∠EOF＝60°时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由．
解：结论不成立，
猜想结论：S四边形OECF＝S△OBC.
理由如下：将OC 绕点O顺时针旋转60°，交BC 于点G.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCO＝∠DCO＝∠BCD＝60°.
∵∠GOC＝60°，∴△OGC为等边三角形，
∴∠OGE＝60°＝∠OCF，OC＝OG.
∵∠GOC＝∠EOF＝60°，
∴∠GOE＋∠EOC＝∠COF＋∠EOC，
即∠GOE＝∠COF，
∴△OGE≌△OCF(ASA)，
∴S△OGE＝S△OCF，
∴S四边形OECF＝S△OCF ＋S△OEC＝S△OCE＋S△OEC＝S△OGC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°.
∵∠BCO＝60°，
∴OG＝OC＝BC，∴BG＝CG，
∴S△OBC＝2S△OGC，
∴S四边形OECF＝S△OBC.
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第四章 三角形
专题七 对角互补模型
如图，∠AOB＋∠DCE＝180°.
解题思路：解决该模型试题常构造辅助线的方法如下：
1．构造双垂直．
结论：若OC平分∠AOB，则△CMD≌△CNE；
若OC不是∠AOB的平分线，则△CMD∽△CNE.
2．构造等角(∠OCF＝∠DCE).
结论：若OC平分∠AOB，则△CDO≌△CEF；
若OC不是∠AOB的平分线，则△CDO∽△CEF.
【温馨提示】若出现两邻边相等，则可通过旋转构造等角．
1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，求四边形ABCD的面积．
解：过点A作AE⊥AC，交CB的延长线于点E，
∴∠CAE＝90°.
∵∠DAB＝∠DCB＝90°，
∴∠D＋∠ABC＝360°－∠DAB－∠DCB＝180°.
∵∠ABE＋∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠ABE.
又∵∠DAB＝∠CAE＝90°，
∴∠CAD＝∠EAB.
又∵AD＝AB，
∴△ACD≌△AEB，
∴AE＝AC＝5，S△ACD＝S△AEB，
∴S四边形ABCD＝S△ACE＝×5×5＝12.5.
2．如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，点E在BC的延长线上，点F在AB上，∠EDF＝120°.求证：DE＝DF.
证明：过点D作DM∥BC，交AB于点M.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠DCE＝120°.
∵DM∥BC，D是AC的中点，
∴DM＝BC，CD＝AC，∠FMD＝∠MDC＝180°－60°＝120°，
∴DM＝DC，∠MDC＝∠EDF，
∴∠MDF＝∠CDE，
∴△DCE≌△DMF(ASA)，
∴DE＝DF.
3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC上的点P处，求证：PC·PD＝PB·PE.
证明：过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N.
由折叠可知∠DPE＝∠A＝90°，
∴∠ADP＋∠AEP＝180°.
∵∠PEN＋∠AEP＝180°，
∴∠ADP＝∠PEN.
∵∠DMP＝∠ENP＝90°，
∴△DMP∽△ENP，
∴＝.
∵PN⊥AC，PM⊥AB，∠C＝45°，
∴四边形PNAM是矩形，△PNC是等腰直角三角形，
∴PM＝AN，PN＝NC，PN∥AB，
∴＝，即＝，
∴＝，
∴PC·PD＝PB·PE.
4．在四边形ABCD中，E是直线BC上一点，将射线AE绕点A逆时针旋转α交直线CD于点F.
(1)如图1，若四边形ABCD为菱形，点E在线段BC上，∠B＝60°，α＝60°，求证：AE＝AF；
(2)如图2，若四边形ABCD为正方形，点E在线段BC的延长线上，α＝45°，连接EF，试猜想线段BE，DF与EF之间的数量关系，并加以证明．
(1)证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠D＝∠B＝60°，
∴△ABC，△ADC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACF＝60°＝∠B.
∵∠EAF＝60°＝∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAF(ASA)，
∴AE＝AF.
(2)解：BE－EF＝DF.证明如下：
在线段BC上截取线段BT，使得BT＝DF，连接AT.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠ADF＝∠BAD＝90°，
∴△ABT≌△ADF(SAS)，
∴AT＝AF，∠BAT＝∠DAF，
∴∠TAF＝∠BAD＝90°.
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAT＝∠TAF－∠EAF＝45°＝∠EAF.
∵AE＝AE，
∴△EAT≌△EAF(SAS)，
∴ET＝EF，
∴BE－EF＝BE－ET＝BT＝DF.
5．【探究发现】
(1)如图1，∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠EOF＝90°，将∠EOF绕点O旋转，旋转过程中，∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F(点F与点C，D不重合)，则S四边形OECF与S△OBC之间满足的数量关系是S四边形OECF＝S△OBC；
【类比应用】
(2)如图2，若将(1)中的“正方形ABCD”改为“∠BCD＝120°的菱形ABCD”，其他条件不变，当∠EOF＝60°时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由．
解：结论不成立，
猜想结论：S四边形OECF＝S△OBC.
理由如下：将OC 绕点O顺时针旋转60°，交BC 于点G.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCO＝∠DCO＝∠BCD＝60°.
∵∠GOC＝60°，∴△OGC为等边三角形，
∴∠OGE＝60°＝∠OCF，OC＝OG.
∵∠GOC＝∠EOF＝60°，
∴∠GOE＋∠EOC＝∠COF＋∠EOC，
即∠GOE＝∠COF，
∴△OGE≌△OCF(ASA)，
∴S△OGE＝S△OCF，
∴S四边形OECF＝S△OCF ＋S△OEC＝S△OCE＋S△OEC＝S△OGC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°.
∵∠BCO＝60°，
∴OG＝OC＝BC，∴BG＝CG，
∴S△OBC＝2S△OGC，
∴S四边形OECF＝S△OBC.
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