/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第四章 三角形
专题九 解直角三角形的应用模型
模型一 背靠背型
CD为公共边，, AD＋BD＝AB,若三角形中有已知角，则通过在三角形内作高，构造出两个直角三角形求解，原则上辅助线不破坏题中所给定的角度，其中公共边CD是解题的关键．,图形演变及对应的数量关系如下：
1．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC＝45°，∠DCB＝30°，斜坡AB的长为8 m，则斜坡CD的长为8m.
2．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机．如图，无人机在河上方距水面高60 m的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°.已知瞭望台BC高12 m(图中点A，B，C，P在同一平面内)，那么大汶河此河段的宽AB约为74m.(参考数据：sin 40°≈，sin 63.6°≈，tan 50°≈， tan 63.6°≈2)
3．如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在A处得知正西方向处有暗礁，改沿西北(北偏西45°)方向航行2 h后轮船到达P处，之后沿南偏西60°方向航行一段时间后到达位于点A正西方向的点B处．求轮船从点P到点B航行所用的时间．(结果精确到0.1 h，参考数据：≈1.41，≈1.73)
解：过点P作PC⊥AB于点C.
由题意，得AP＝30×2＝60(海里)，∠PAC＝45°，∠BPC＝60°.
在Rt△APC中，
PC＝AP·sin 45°＝30(海里).
在Rt△BCP中，BP＝＝60(海里)，
∴60÷30＝2≈2.8(h).
答：轮船从点P到点B航行所用的时间约为2.8 h．
4．小亮利用所学的知识对大厦的高度CD进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部C的俯角是30°，测得大厦顶部D的仰角是37°.已知他家楼顶B处距地面的高度AB为40 m(图中点A，B，C，D均在同一平面内).
(1)求两楼之间的距离AC；(结果保留根号)
(2)求大厦的高度CD.(结果取整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73)
解：(1)过点B作BE⊥CD，垂足为E.
由题意，得CE＝AB＝40 m，BE＝AC.
在Rt△BEC中，∠CBE＝30°，
∴BE＝＝＝40(m)，
∴AC＝BE＝40 m.
答：两楼之间的距离AC为40 m.
(2)在Rt△BED中，∠DBE＝37°，
∴DE＝BE·tan37°≈40×0.75≈51.9(m)，
∴CD＝DE＋CE＝51.9＋40≈92(m).
答：大厦的高度CD约为92 m．
模型二 母子型
若三角形中有已知角，则通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键．
BC为公共边，AD＋DC＝AC
图形演变及对应的数量关系如下：
EC－BC＝BE AC＝FG，AF＝CG，
AD＋DC＝FG，
BC＋AF＝BG
BC＝FG，BF＝CG, EF＋BC＝EG，
AC＋BF＝AG, BD＋DF＝CG，
EF＋BC＝EG AC＋BD＋DF＝AG
5．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行200 m到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD约是273m.(结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732)
6．一渔船在海上点A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，向正东方向航行12 n mile到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向．若该渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是(6＋6)n mile.
7．如图，有甲、乙两座建筑物，从甲建筑物的点A处测得乙建筑物点D处的俯角α为45°，点C处的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6 m，则甲建筑物的高度AB约为16m．(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数)
模型三 拥抱型
GE，,BC＋CE＝BE＝AG))))
8．在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24 m．请你帮小明求出办公楼的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73)
解：由题意，得AB＝24 m，∠BDA＝53°，∠CAD＝30°.
在Rt△ABD中，AD＝≈≈18.05(m).
在Rt△ACD中，CD＝AD·tan ∠CAD＝18.05×≈10.4(m).
答：办公楼的高度约为10.4 m．
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第四章 三角形
专题九 解直角三角形的应用模型
模型一 背靠背型
CD为公共边，, AD＋BD＝AB,若三角形中有已知角，则通过在三角形内作高，构造出两个直角三角形求解，原则上辅助线不破坏题中所给定的角度，其中公共边CD是解题的关键．,图形演变及对应的数量关系如下：
1．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC＝45°，∠DCB＝30°，斜坡AB的长为8 m，则斜坡CD的长为8m.
2．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机．如图，无人机在河上方距水面高60 m的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°.已知瞭望台BC高12 m(图中点A，B，C，P在同一平面内)，那么大汶河此河段的宽AB约为74m.(参考数据：sin 40°≈，sin 63.6°≈，tan 50°≈， tan 63.6°≈2)
3．如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在A处得知正西方向处有暗礁，改沿西北(北偏西45°)方向航行2 h后轮船到达P处，之后沿南偏西60°方向航行一段时间后到达位于点A正西方向的点B处．求轮船从点P到点B航行所用的时间．(结果精确到0.1 h，参考数据：≈1.41，≈1.73)
解：过点P作PC⊥AB于点C.
由题意，得AP＝30×2＝60(海里)，∠PAC＝45°，∠BPC＝60°.
在Rt△APC中，
PC＝AP·sin 45°＝30(海里).
在Rt△BCP中，BP＝＝60(海里)，
∴60÷30＝2≈2.8(h).
答：轮船从点P到点B航行所用的时间约为2.8 h．
4．小亮利用所学的知识对大厦的高度CD进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部C的俯角是30°，测得大厦顶部D的仰角是37°.已知他家楼顶B处距地面的高度AB为40 m(图中点A，B，C，D均在同一平面内).
(1)求两楼之间的距离AC；(结果保留根号)
(2)求大厦的高度CD.(结果取整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73)
解：(1)过点B作BE⊥CD，垂足为E.
由题意，得CE＝AB＝40 m，BE＝AC.
在Rt△BEC中，∠CBE＝30°，
∴BE＝＝＝40(m)，
∴AC＝BE＝40 m.
答：两楼之间的距离AC为40 m.
(2)在Rt△BED中，∠DBE＝37°，
∴DE＝BE·tan37°≈40×0.75≈51.9(m)，
∴CD＝DE＋CE＝51.9＋40≈92(m).
答：大厦的高度CD约为92 m．
模型二 母子型
若三角形中有已知角，则通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键．
BC为公共边，AD＋DC＝AC
图形演变及对应的数量关系如下：
EC－BC＝BE AC＝FG，AF＝CG，
AD＋DC＝FG，
BC＋AF＝BG
BC＝FG，BF＝CG, EF＋BC＝EG，
AC＋BF＝AG, BD＋DF＝CG，
EF＋BC＝EG AC＋BD＋DF＝AG
5．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行200 m到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD约是273m.(结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732)
6．一渔船在海上点A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，向正东方向航行12 n mile到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向．若该渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是(6＋6)n mile.
7．如图，有甲、乙两座建筑物，从甲建筑物的点A处测得乙建筑物点D处的俯角α为45°，点C处的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6 m，则甲建筑物的高度AB约为16m．(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数)
模型三 拥抱型
GE，,BC＋CE＝BE＝AG))))
8．在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24 m．请你帮小明求出办公楼的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73)
解：由题意，得AB＝24 m，∠BDA＝53°，∠CAD＝30°.
在Rt△ABD中，AD＝≈≈18.05(m).
在Rt△ACD中，CD＝AD·tan ∠CAD＝18.05×≈10.4(m).
答：办公楼的高度约为10.4 m．
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专题九 解直角三角形的应用模型
考点精讲精练
第四章 三角形
74
273
16
模型三 拥抱型
谢谢
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刃
B
C
E
D
E
A
D
F
B
CE=DA.CD=EA
CD=EF,CE=DE
BD十EC=AB
AD+CE十BF=AB
A
D
B
CD为公共边
AD十BD=AB
北
B
C
A
D
B2
0
A
B
X((((
分别解两个直角三角形，其中
公共边BC是解题的关键.
图形演变及对应的数量关系
B(F)
C(E)
如下：
BC为公共边
B E
C F
B
C(F)
E
BE十FC+CE=BF
AB=GE,
BC+CE=BE=AG
