2025年中考数学一轮复习 4 二次根式 小测验（含详解）

中小学教育资源及组卷应用平台
4 二次根式
分值：50分 时间30分钟
选择题（15分）
1．（2024·云南·中考真题）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（　　）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
3．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（ ）

A． B． C． D．
填空题（15分）
6．（2024·河北·模拟预测）若a的倒数是，则的值为 ．
7．（2024·吉林·模拟预测）比较大小： 6．（填“＞”或“＜”）
8．（2024·吉林长春·二模）与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为 ．
9．（2024·广东·模拟预测）若恒有式子，则实数的取值范围是 ．
10．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为 ．
简单题（20分）
11．（2024·甘肃·中考真题）计算：．
12. （2024深圳）先化简，再求值： ，其中
13．（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．
【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方．
（1）举例验证：当 则
（2）推理证明：小明同学做了如下的证明：
设， m、n是连续的正整数，
∴； ∵， ∴．
∴一定是正数n的平方数．
【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方．
请你举例验证及推理证明；
【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数．
14．（2024·河北·中考真题）情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．
如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：
（1）直接写出线段的长；
（2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长．
探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长．
答案：
一、选择题（15分）
1．（2024·云南·中考真题）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴的取值范围是．
2．（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（　　）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
【答案】C
【详解】解：∵，
而，
∴，
3．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】A. 不能合并，所以A选项错误；
B. ，所以B选项正确；
C. ，所以C选项错误；
D. ，所以D选项错误．
故选：B．
4．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，
归纳类推得：第七行共有个数，
则第八行左起第1个数是，
5．（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，
∵，设
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
∵，
∴，
二、填空题（15分）
6．（2024·河北·模拟预测）若a的倒数是，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵a的倒数是，
∴，
∴；
7．（2024·吉林·模拟预测）比较大小： 6．（填“＞”或“＜”）
【答案】＜
【详解】解：，，
，
．
8．（2024·吉林长春·二模）与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为 ．
【答案】3
【详解】∵与最简二次根式是同类二次根式，
∴，
解得．
9．（2024·广东·模拟预测）若恒有式子，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：，
，
解得：，
故答案为：．
10．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为 ．
【答案】/
【详解】解：∵正方形的边长为1，
∴，，
将顺时针旋转得到，则，
∴，，，，
∴点P、B、M、C共线，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
设，，则，，
∴，
∵，
∴，即，
整理得：，
∴
，
当且仅当，即，也即时，取最小值，
故答案为：．
三、简单题（20分）
11．（2024·甘肃·中考真题）计算：．
【答案】0
【详解】．
12. （2024深圳）先化简，再求值： ，其中
【答案】，
【详解】解：
=
=
=，
当时，原式=．
13．（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．
【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方．
（1）举例验证：当 则
（2）推理证明：小明同学做了如下的证明：
设， m、n是连续的正整数，
∴； ∵， ∴．
∴一定是正数n的平方数．
【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方．
请你举例验证及推理证明；
【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数．
【详解】解：类比猜想：（1）举例验证：当 则
（2）推理证明：小明同学做了如下的证明：
设， m、n是连续的正整数，
∴；
∵，
∴．
∴一定是正数的平方数．
深入思考：∵m， n为两个连续奇数，，
∴，
∴，
∴，
∴p一定是偶数．
14．（2024·河北·中考真题）情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．
该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．
如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：
（1）直接写出线段的长；
（2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长．
探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长．
【答案】（1）；（2），；的长为或．
【详解】解：如图，过作于，
结合题意可得：四边形为矩形，
∴，
由拼接可得：，
由正方形的性质可得：，
∴，，为等腰直角三角形，
∴为等腰直角三角形，
设，
∴，
∴，，
∵正方形的边长为，
∴对角线的长，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（2）∵为等腰直角三角形，；
∴，
∴，
∵，
，
∴；
如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，
此时，，符合要求，
或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，
此时，，
∴，
综上：的长为或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)