第六章 平面向量及其运用 单元练习（含解析）

第六章 平面向量及其运用 单元练习
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，则是成立的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为(　　)
A． B． C． D．
3．如图，在中，是的中点，若，则（　　）
A． B．1 C． D．
4．已知，，，平面区域为由所有满足的点组成的区域（其中，），若区域的面积为，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
5．设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．8
6．在中，内角的对边分别为，记的面积为，若，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知，，是非零向量，与的夹角为，，，则，的最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知向量，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．向量与的夹角为
D．若在上的投影向量为
10．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，且．设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（　　）
A．若，则
B．若，，，则
C．若O为的内心，，则
D．若O为的垂心，，则
11．在中，下列说法正确的是（　　）
A．若，则是等腰三角形
B．若，，则为等边三角形
C．若点是边上的点，且，则的面积是面积的
D．若分别是边中点，点是线段上的动点，且满足，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知正方形的边长为2，点满足，则　 　．
13．已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的取值范围是　 　．
14．17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点P满足时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，则的最小值是　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15．设，是两个不共线的向量，已知，，.
（1）求证：A，B，D三点共线；
（2）若，且B，D，F三点共线，求k的值.
16．已知分别为内角的对边，且
（1）求角；
（2）若的面积为，求的值.
17．如图，在平行四边形中，点为中点，点，在线段上，满足，设.
（1）用表示向量；
（2）若，求.
18．在锐角中，记的内角的对边分别为，，点为的所在平面内一点，且满足．
（1）若，求的值；
（2）在（1）条件下，求的最小值；
（3）若，求的取值范围．
19．古希腊数学家托勒密对凸四边形凸四边形是指没有角度大于的四边形进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：
如图，在凸四边形中，
（1）若，，(图1)，求线段长度的最大值；
（2）若，，，（图2），求四边形面积取得最大值时角A的余弦值，并求出四边形面积的最大值．
参考答案
1．A
2．A
3．D
4．A
5．D
6．B
7．D
8．B
9．A,D
10．A,C,D
11．A,B,D
12．-1
13．
14．
15．解：（1）证明：由题意，可得，因为，所以，
又因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线；
（2）由（1）可知，
因为，且B，D，F三点共线，所以，
即，则，解得.
16．（1）解：，
由正弦定理得，
所以
因为，所以，则，
又因为，所以.
（2）解：由（1）得，
由余弦定理得，
，
.
17．（1）解：
，
.
（2）解：因为，
，
又因为，
所以，
，
所以.
18．（1）因为，
由正弦定理得，
因为，
可得，
所以，
又因为，
可得，
所以，即，
因为，
所以，
又由，
可得，
解得，
即，
所以为的外心，
由正弦定理有，
所以；
（2）因为，
所以，
且，
，
因为，
解得，
则，
则，
所以，
所以，
所以；
（3）如图所示：取的中点，连接，则，
所以，
同理可得，
由平面向量数量积的定义可得，
因为，
所以，
即，
所以，①
，
即，
所以，②
联立①②可得，
所以，
又因为，
因为，
所以，可得，
可得，当且仅当等号成立，
令，，
函数，
令，
，
因为，
所以，
可得，
所以在上单调递增，
所以，
所以．
19．（1）解：设，则，
因为两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积 ，所以，
即，解得，
当且仅当四点共圆时等号成立即，且此时，
所以线段长度的最大值为，
（2）解：由材料可知，当四点共圆时，四边形的面积达到最大．
连接，分别在和利用余弦定理，
可得，
解得，，
∴，记，则上式，
于是四边形的面积为：
.
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