第1章 三角形的证明 单元测试题（含解析）2024-2025学年北师大版数学八年级下册

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第1章 三角形的证明 单元测试题
考试范围：第1章 三角形的证明；考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠D＝∠DEA＝∠C，则图中一共有（　　）个等腰三角形．
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED+∠AGD和是（　　）
A．180° B．200° C．210° D．240°
4．如图，已知∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，可以判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，其理由是（　　）
A．SAS B．AAS C．HL D．ASA
5．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则∠O的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
7．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形
C．如果a＝1，，，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90°
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线l交BC于点D．若∠DAC＝37°，则∠B的度数是（　　）
A．37° B．30° C．28° D．26°
9．在Rt△ABC中，∠A＝35°，则另一个锐角∠B＝（　　）
A．45° B．55° C．65° D．75°
10．如图，△ABC是等边三角形，D是线段BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，点E，F分别在线段AB，AC的延长线上，且DE＝DF＝AD，点D从B运动到C的过程中，△BED周长的变化规律是（　　）
A．不变 B．一直变小
C．先变大后变小 D．先变小后变大
二．填空题（共5小题，满分15分）
11．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 　 　命题．（填“真”或“假”）
12．如图，在△ABC和△DEB中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AB＝DE，∠ABC＝∠E，请添加一个条件：　 　，使△ABC≌△DEB．（写出一个即可）
13．如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数有 　 　个．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC边上的任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．若，则PE+PF＝　 　．
15．如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，得到如下结论：①BC+AD＝AB；②；③若AD＝BC，则BC＝CE；④若AB＝x，则BE的取值范围为0＜BE＜x，那么以上结论正确的是 　 　．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．
17．（9分）如图，已知在两条公路OA，OB的附近有C，D两个工厂，现准备在两条公路的交叉路口附近修建一个仓库，要求仓库到两个工厂的距离相等，且到两条公路的距离也相等，请用尺规作出仓库的位置
18．（9分）图1和图2是冀教版七年级下册“第九章三角形”教材片段．
请根据图1给出的图示（过点C作ED∥AB），对“三角形内角和等于180°”说理．作平行线是把角从一个位置“转移”到另一个位置的重要手段．图1 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角（exteriorangle）如图2，∠ACD是△ABC的一个外角．图2
（1）对于图1的练习题，嘉淇将其改为证明格式如下，请帮她补充完整；
已知：在△ABC中，直线DE经过点C，且DE∥AB．求证：∠A+∠B+∠ACB＝180°．证明：∵DE∥AB（已知），∴∠A＝　 　，∠B＝∠BCE（ 　 　），∵∠ACD+∠ACB+∠BCE＝180°（ 　 　），∴　 　+∠ACB+　 　＝180°（等量代换）．
（2）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．请结合图2证明上述定理，要求写出求证和证明过程．
已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：　 　．证明：
19．（9分）如图，∠A＝∠C，∠BFD+∠CBF＝180°．
求证：∠ABE＝∠E．
20．（9分）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．
（1）试说明：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．
21．（9分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点E，交CB的延长线于点F，连接DE，AF．
（1）判断DE与AC的位置关系，并证明你所得的结论；
（2）求证：∠C＝∠EAF．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连接CD，BE．
（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；
（2）直接写出∠BEC与∠BDC之间的数量关系（不必说明理由）．
23．（11分）如图1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．
（1）求证：△BCD为等腰三角形；
（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD＝AB+BE；
（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？若不成立直接写出正确的结论．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：∵AB＝AC＝BD，
∴△ABD和△ABC是等腰三角形，
∵∠D＝∠C＝∠DEA＝∠BEC，
∴AD＝AE，BC＝BE，
∴△ADE和△BEC是等腰三角形，
∵AD＝BC，
∴AE＝BE，
∴△AEB是等腰三角形，
选：C．
2．解：过A作AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴EC＝BEBC＝4，
∴AE3，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C），
∴3≤AD＜5，
∵线段AD长为正整数，
∴AD＝3或4，
∴AD的可以有三条，长为4，3，4，
∴点D的个数共有3个，
选：B．
3．解：过D点作DH⊥AC于H，如图，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DF＝DH，
在Rt△DFE和Rt△DHG中，
，
∴Rt△DFE≌Rt△DHG（HL），
∴∠DEF＝∠DGH，
∵∠AED+∠DEF＝180°，
∴∠AED+∠AGD＝180°．
选：A．
4．解：在Rt△ABC和Rt△ABD中，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）
选：C．
5．解：连接BC，如图，
∵以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，
∴OB＝OC，
∵以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，
∴OB＝BC，
∴OB＝OC＝BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠O＝60°．
选：C．
6．解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，
选：B．
7．解：A、如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC是直角三角形，选项正确，不符合题意；
B、如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC是直角三角形，，不符合题意选项正确；
C、如果a＝1，，，，满足a2+b2＝c2，那么△ABC是直角三角形，选项正确，不符合题意；
D、如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，选项错误，符合题意；
选：D．
8．解：∵在△ABC中，AC的垂直平分线l交BC于点D，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC＝37°．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝37°，
所以∠B的度数为37°．
选：A．
9．解：在Rt△ABC中，∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝35°，
∴∠B＝90°﹣35°＝55°，
选：B．
10．解：∵AD＝DE＝DF，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DAF＝∠DFA，
∵∠DAE+∠DAF＝∠BAC＝60°，
∴∠DEA+∠DFA＝60°，
∵∠ABC＝∠DEA+∠EDB＝60°，
∴∠EDB＝∠DFA，
∵∠ACB＝∠CFD+∠CDF＝60°，
∴∠CDF＝∠BED，且∠EDB＝∠DFA，DE＝DF，
∴△BDE≌△CFD（ASA），
∴BD＝CF，BE＝CD，
∴△BED周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD，
∵点D在BC边上从B至C的运动过程中，AD的长先变小后变大，
∴△BED周长先变小后变大，
选：D．
二．填空题（共10小题，满分27分）
11．解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”，是真命题．
答案为：真．
12．解：∵AB＝DE，∠ABC＝∠E，
∴添加条件BC＝EB，可以得到△ABC≌△DEB（SAS），
添加条件∠A＝∠D，可以得到△ABC≌△DEB（ASA），
添加条件∠ACB＝∠DBE时，可以得到△ABC≌△DEB（AAS），
答案为：BC＝EB（答案不唯一）．
13．解：当AB为腰时，点C的个数有2个；
当AB为底时，点C的个数有1个，
答案为：3．
14．解：如图所示，连接AP，
则S△ABC＝S△ACP+S△ABP，
∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，
∴S△ACPAC×PF，S△ABPAB×PE，
又∵S△ABC，AB＝AC＝2，
∴AC×PFAB×PE，
即2×PF2×PE，
∴PE+PF．
答案为：．
15．解：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AE、BE分别是∠BAD与∠ABC的平分线，
∴∠BAE∠BAD，∠ABE∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE（∠BAD+∠ABC）＝90°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠BAE+∠ABE）＝180°﹣90°＝90°，
如图，延长AE交BC延长线于F，
∵∠AEB＝90°，
∴BE⊥AF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
在△ABE与△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AB＝BF，AE＝FE，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠F，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD＝CF，
∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD，①正确；
∵△ADE≌△FCE，
∴CE＝DE，即点E为CD的中点，
∵BE与CE不一定相等
∴BE与CD不一定相等，②错误；
若AD＝BC，则CE是Rt△BEF斜边上的中线，则BC＝CE，
∵AD与BC不一定相等，
∴BC与CE不一定相等，③错误；
∵BF＝AB＝x，BE⊥EF，
∴BE的取值范围为0＜BE＜x，④正确．
答案为：①④．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：连接BD，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CBD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），
∴AD＝CD，
∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，
∴∠E＝∠F＝90°，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．
17．解：如图，点P即为所求．
18．（1）证明：∵DE∥AB（已知），
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE（两直线平行，内错角相等），
∵∠ACD+∠ACB+∠BCE＝180°（平角的定义），
∴∠A+∠ACB+∠B＝180°（等量代换）．
故答案为：∠ACD；两直线平行，内错角相等；平角定义；∠A；∠B．
（2）解：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠A+∠B＝∠ACD．
证明：∵∠A+∠ACB+∠B＝180°，∠ACB+∠ACD＝180°，
∴∠A+∠B＝∠ACD．
故答案为：∠A+∠B＝∠ACD．
19．证明：∵∠BFD+∠CBF＝180°，
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠C＝∠ADE（两直线平行，同位角相等）．
∵∠A＝∠C，
∴∠A＝∠ADE（等量代换）．
∴AB∥EC（内错角相等，两直线平行）．
∴∠ABE＝∠E （两直线平行，内错角相等）．
20．（1）证明：∵AB∥DG，
∴∠BAD＝∠1，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠BAD+∠2＝180°，
∴AD∥EF；
（2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝142°，
∴∠1＝38°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠CDG＝∠1＝38°，
∵AB∥DG，
∴∠B＝∠CDG＝38°．
21．（1）解：DE∥AC，
理由：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵EF垂直平分AD，
∴AE＝DE，
∴∠BAD＝∠EDA，
∴∠CAD＝∠EDA，
∴DE∥AC；
（2）证明：∵EF垂直平分AD，
∴EA＝ED，FA＝FD，
在△AEF和△DEF中，
，
∴△AEF≌△DEF（SSS），
∴∠EAF＝∠EDF，
∵DE∥AC，
∴∠C＝∠EDF，
∴∠C＝∠EAF．
22．解：（1）∵∠ABC＝80°，BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD（180°﹣80°）＝50°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵CE＝BC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝80°﹣60°＝20°；
（2）∠BEC与∠BDC之间的关系：∠BEC+∠BDC＝110°，
理由：设∠BEC＝α，∠BDC＝β，
在△ABE中，α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE，
∵CE＝BC，
∴∠CBE＝∠BEC＝α，
∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+2∠ABE，
在△BDC中，BD＝BC，
∴∠BDC+∠BCD+∠DBC＝2β+40°+2∠ABE＝180°，
∴β＝70°﹣∠ABE，
∴α+β＝40°+∠ABE+70°﹣∠ABE＝110°，
∴∠BEC+∠BDC＝110°．
23．证明：（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC∠ABD＝35°，
∴∠DBC＝∠ACB＝35°，
∴BD＝CD，
∴△BCD为等腰三角形；
（2）证法一：如图2，在AC上截取AH＝AB，连接EH，
由（1）得：△BCD为等腰三角形，
∴BD＝CD，
∴BD+AD＝CD+AD＝AC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAB＝∠EAH，
∴△ABE≌△AHE（SAS），
∴BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°，
∴∠HEC＝∠AHE﹣∠ACB＝35°，
∴EH＝HC，
∴AB+BE＝AH+HC＝AC，
∴BD+AD＝AB+BE；
证法二：如图3，在AB的延长线上取AF＝AC，连接EF，
由（1）得：△BCD为等腰三角形，且BD＝CD，
∴BD+AD＝CD+AD＝AC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAF＝∠EAC，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴∠F＝∠C＝35°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠BEF＝35°，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BF＝BE，
∴AB+BE＝AB+BF＝AF，
∴BD+AD＝AB+BE；
（3）探究（2）中的结论不成立，正确结论：BD+AD＝BE﹣AB，理由是：
如图4，在BE上截取BF＝AB，连接AF，
∵∠ABC＝70°，
∴∠AFB＝∠BAF＝35°，
∵∠BAC＝75°，
∴∠HAB＝105°，
∵AE平分∠HAB，
∴∠EAB∠HAB＝52.5°，
∴∠EAF＝52.5°﹣35°＝17.5°＝∠AEF＝17.5°，
∴AF＝EF，
∵∠AFC＝∠C＝35°，
∴AF＝AC＝EF，
∴BE﹣AB＝BE﹣BF＝EF＝AC＝AD+CD＝AD+BD．
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