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第1章 三角形的证明 单元测试题
考试范围:第1章 三角形的证明;考试时间:100分钟;总分:120分
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)
1.如图,AD=BC,AB=AC=BD,∠D=∠DEA=∠C,则图中一共有( )个等腰三角形.
A.3 B.4 C.5 D.6
2.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D是线段BC上的动点(不含端点B、C).若线段AD长为正整数,则点D的个数共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,且DE=DG,则∠AED+∠AGD和是( )
A.180° B.200° C.210° D.240°
4.如图,已知∠C=∠D=90°,AC=AD,可以判定Rt△ABC与Rt△ABD全等,其理由是( )
A.SAS B.AAS C.HL D.ASA
5.如图,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OA交于点B,再以B为圆心,BO长为半径画弧,两弧交于点C,画射线OC,则∠O的度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
6.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点D,垂足为点E,CD平分∠ACB,若∠A=50°,则∠B的度数为( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
7.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,下列结论中不正确的是( )
A.如果∠A﹣∠B=∠C,那么△ABC是直角三角形
B.如果∠A:∠B:∠C=1:2:3,那么△ABC是直角三角形
C.如果a=1,,,那么△ABC是直角三角形
D.如果a2=b2﹣c2,那么△ABC是直角三角形且∠A=90°
8.如图,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线l交BC于点D.若∠DAC=37°,则∠B的度数是( )
A.37° B.30° C.28° D.26°
9.在Rt△ABC中,∠A=35°,则另一个锐角∠B=( )
A.45° B.55° C.65° D.75°
10.如图,△ABC是等边三角形,D是线段BC上一点(不与点B,C重合),连接AD,点E,F分别在线段AB,AC的延长线上,且DE=DF=AD,点D从B运动到C的过程中,△BED周长的变化规律是( )
A.不变 B.一直变小
C.先变大后变小 D.先变小后变大
二.填空题(共5小题,满分15分)
11.命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 命题.(填“真”或“假”)
12.如图,在△ABC和△DEB中,点C在边BD上,边AC交边BE于点F.若AB=DE,∠ABC=∠E,请添加一个条件: ,使△ABC≌△DEB.(写出一个即可)
13.如图,在正方形网格中,A,B两点都在小方格的顶点上,如果点C也是图中小方格的顶点,且△ABC是等腰三角形,那么点C的个数有 个.
14.如图,在△ABC中,AB=AC=2,P是BC边上的任意一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F.若,则PE+PF= .
15.如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,若∠DAB的角平分线AE交CD于E,连接BE,且BE边平分∠ABC,得到如下结论:①BC+AD=AB;②;③若AD=BC,则BC=CE;④若AB=x,则BE的取值范围为0<BE<x,那么以上结论正确的是 .
三.解答题(共8小题,满分75分)
16.(9分)如图,AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°,点D是EF上一点,AE⊥EF于E,CF⊥EF于F,AE=CF,求证:Rt△ADE≌Rt△CDF.
17.(9分)如图,已知在两条公路OA,OB的附近有C,D两个工厂,现准备在两条公路的交叉路口附近修建一个仓库,要求仓库到两个工厂的距离相等,且到两条公路的距离也相等,请用尺规作出仓库的位置
18.(9分)图1和图2是冀教版七年级下册“第九章三角形”教材片段.
请根据图1给出的图示(过点C作ED∥AB),对“三角形内角和等于180°”说理.作平行线是把角从一个位置“转移”到另一个位置的重要手段.图1 三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角(exteriorangle)如图2,∠ACD是△ABC的一个外角.图2
(1)对于图1的练习题,嘉淇将其改为证明格式如下,请帮她补充完整;
已知:在△ABC中,直线DE经过点C,且DE∥AB.求证:∠A+∠B+∠ACB=180°.证明:∵DE∥AB(已知),∴∠A= ,∠B=∠BCE( ),∵∠ACD+∠ACB+∠BCE=180°( ),∴ +∠ACB+ =180°(等量代换).
(2)定理:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.请结合图2证明上述定理,要求写出求证和证明过程.
已知:如图,∠ACD是△ABC的外角.求证: .证明:
19.(9分)如图,∠A=∠C,∠BFD+∠CBF=180°.
求证:∠ABE=∠E.
20.(9分)如图,AB∥DG,∠1+∠2=180°.
(1)试说明:AD∥EF;
(2)若DG是∠ADC的平分线,∠2=142°,求∠B的度数.
21.(9分)如图,在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,AD的垂直平分线交AB于点E,交CB的延长线于点F,连接DE,AF.
(1)判断DE与AC的位置关系,并证明你所得的结论;
(2)求证:∠C=∠EAF.
22.(10分)如图,在△ABC中,∠A=40°,点D,E分别在边AB,AC上,BD=BC=CE,连接CD,BE.
(1)若∠ABC=80°,求∠BDC,∠ABE的度数;
(2)直接写出∠BEC与∠BDC之间的数量关系(不必说明理由).
23.(11分)如图1,在△ABC中,∠BAC=75°,∠ACB=35°,∠ABC的平分线BD交边AC于点D.
(1)求证:△BCD为等腰三角形;
(2)若∠BAC的平分线AE交边BC于点E,如图2,求证:BD+AD=AB+BE;
(3)若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E,请你探究(2)中的结论是否仍然成立?若不成立直接写出正确的结论.
参考答案
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)
1.解:∵AB=AC=BD,
∴△ABD和△ABC是等腰三角形,
∵∠D=∠C=∠DEA=∠BEC,
∴AD=AE,BC=BE,
∴△ADE和△BEC是等腰三角形,
∵AD=BC,
∴AE=BE,
∴△AEB是等腰三角形,
选:C.
2.解:过A作AE⊥BC,
∵AB=AC,
∴EC=BEBC=4,
∴AE3,
∵D是线段BC上的动点(不含端点B、C),
∴3≤AD<5,
∵线段AD长为正整数,
∴AD=3或4,
∴AD的可以有三条,长为4,3,4,
∴点D的个数共有3个,
选:B.
3.解:过D点作DH⊥AC于H,如图,
∵AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,DH⊥AC,
∴DF=DH,
在Rt△DFE和Rt△DHG中,
,
∴Rt△DFE≌Rt△DHG(HL),
∴∠DEF=∠DGH,
∵∠AED+∠DEF=180°,
∴∠AED+∠AGD=180°.
选:A.
4.解:在Rt△ABC和Rt△ABD中,
∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL)
选:C.
5.解:连接BC,如图,
∵以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OA交于点B,
∴OB=OC,
∵以B为圆心,BO长为半径画弧,两弧交于点C,画射线OC,
∴OB=BC,
∴OB=OC=BC,
∴△OBC是等边三角形,
∴∠O=60°.
选:C.
6.解:∵DE垂直平分AC,
∴AD=CD,
∴∠A=∠ACD
又∵CD平分∠ACB,
∴∠ACB=2∠ACD=100°,
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠ACB=180°﹣50°﹣100°=30°,
选:B.
7.解:A、如果∠A﹣∠B=∠C,由∠A+∠B+∠C=180°,可得∠A=90°,那么△ABC是直角三角形,选项正确,不符合题意;
B、如果∠A:∠B:∠C=1:2:3,由∠A+∠B+∠C=180°,可得∠A=90°,那么△ABC是直角三角形,,不符合题意选项正确;
C、如果a=1,,,,满足a2+b2=c2,那么△ABC是直角三角形,选项正确,不符合题意;
D、如果a2=b2﹣c2,那么△ABC是直角三角形且∠B=90°,选项错误,符合题意;
选:D.
8.解:∵在△ABC中,AC的垂直平分线l交BC于点D,
∴AD=CD,
∴∠C=∠DAC=37°.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=37°,
所以∠B的度数为37°.
选:A.
9.解:在Rt△ABC中,∠A+∠B=90°,
∵∠A=35°,
∴∠B=90°﹣35°=55°,
选:B.
10.解:∵AD=DE=DF,
∴∠DAE=∠DEA,∠DAF=∠DFA,
∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°,
∴∠DEA+∠DFA=60°,
∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°,
∴∠EDB=∠DFA,
∵∠ACB=∠CFD+∠CDF=60°,
∴∠CDF=∠BED,且∠EDB=∠DFA,DE=DF,
∴△BDE≌△CFD(ASA),
∴BD=CF,BE=CD,
∴△BED周长=BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD,
∵点D在BC边上从B至C的运动过程中,AD的长先变小后变大,
∴△BED周长先变小后变大,
选:D.
二.填空题(共10小题,满分27分)
11.解:因为原命题的题设是:“一个三角形是等腰三角形”,结论是“这个三角形两底角相等”,
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”,是真命题.
答案为:真.
12.解:∵AB=DE,∠ABC=∠E,
∴添加条件BC=EB,可以得到△ABC≌△DEB(SAS),
添加条件∠A=∠D,可以得到△ABC≌△DEB(ASA),
添加条件∠ACB=∠DBE时,可以得到△ABC≌△DEB(AAS),
答案为:BC=EB(答案不唯一).
13.解:当AB为腰时,点C的个数有2个;
当AB为底时,点C的个数有1个,
答案为:3.
14.解:如图所示,连接AP,
则S△ABC=S△ACP+S△ABP,
∵PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,
∴S△ACPAC×PF,S△ABPAB×PE,
又∵S△ABC,AB=AC=2,
∴AC×PFAB×PE,
即2×PF2×PE,
∴PE+PF.
答案为:.
15.解:∵AD∥BC,
∴∠ABC+∠BAD=180°,
∵AE、BE分别是∠BAD与∠ABC的平分线,
∴∠BAE∠BAD,∠ABE∠ABC,
∴∠BAE+∠ABE(∠BAD+∠ABC)=90°,
∴∠AEB=180°﹣(∠BAE+∠ABE)=180°﹣90°=90°,
如图,延长AE交BC延长线于F,
∵∠AEB=90°,
∴BE⊥AF,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠FBE,
在△ABE与△FBE中,
,
∴△ABE≌△FBE(ASA),
∴AB=BF,AE=FE,
∵AD∥BC,
∴∠EAD=∠F,
在△ADE与△FCE中,
,
∴△ADE≌△FCE(ASA),
∴AD=CF,
∴AB=BF=BC+CF=BC+AD,①正确;
∵△ADE≌△FCE,
∴CE=DE,即点E为CD的中点,
∵BE与CE不一定相等
∴BE与CD不一定相等,②错误;
若AD=BC,则CE是Rt△BEF斜边上的中线,则BC=CE,
∵AD与BC不一定相等,
∴BC与CE不一定相等,③错误;
∵BF=AB=x,BE⊥EF,
∴BE的取值范围为0<BE<x,④正确.
答案为:①④.
三.解答题(共8小题,满分75分)
16.解:连接BD,
∵∠BAD=∠BCD=90°,
在Rt△ABD和Rt△CBD中,
,
∴Rt△ABD≌Rt△CBD(HL),
∴AD=CD,
∵AE⊥EF于E,CF⊥EF于F,
∴∠E=∠F=90°,
在Rt△ADE和Rt△CDF中,
,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).
17.解:如图,点P即为所求.
18.(1)证明:∵DE∥AB(已知),
∴∠A=∠ACD,∠B=∠BCE(两直线平行,内错角相等),
∵∠ACD+∠ACB+∠BCE=180°(平角的定义),
∴∠A+∠ACB+∠B=180°(等量代换).
故答案为:∠ACD;两直线平行,内错角相等;平角定义;∠A;∠B.
(2)解:如图,∠ACD是△ABC的外角.求证:∠A+∠B=∠ACD.
证明:∵∠A+∠ACB+∠B=180°,∠ACB+∠ACD=180°,
∴∠A+∠B=∠ACD.
故答案为:∠A+∠B=∠ACD.
19.证明:∵∠BFD+∠CBF=180°,
∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行).
∴∠C=∠ADE(两直线平行,同位角相等).
∵∠A=∠C,
∴∠A=∠ADE(等量代换).
∴AB∥EC(内错角相等,两直线平行).
∴∠ABE=∠E (两直线平行,内错角相等).
20.(1)证明:∵AB∥DG,
∴∠BAD=∠1,
∵∠1+∠2=180°,
∴∠BAD+∠2=180°,
∴AD∥EF;
(2)解:∵∠1+∠2=180°,∠2=142°,
∴∠1=38°,
∵DG是∠ADC的平分线,
∴∠CDG=∠1=38°,
∵AB∥DG,
∴∠B=∠CDG=38°.
21.(1)解:DE∥AC,
理由:∵AD是∠BAC的角平分线,
∴∠CAD=∠BAD,
∵EF垂直平分AD,
∴AE=DE,
∴∠BAD=∠EDA,
∴∠CAD=∠EDA,
∴DE∥AC;
(2)证明:∵EF垂直平分AD,
∴EA=ED,FA=FD,
在△AEF和△DEF中,
,
∴△AEF≌△DEF(SSS),
∴∠EAF=∠EDF,
∵DE∥AC,
∴∠C=∠EDF,
∴∠C=∠EAF.
22.解:(1)∵∠ABC=80°,BD=BC,
∴∠BDC=∠BCD(180°﹣80°)=50°,
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠A=40°,
∴∠ACB=180°﹣40°﹣80°=60°,
∵CE=BC,
∴△BCE是等边三角形,
∴∠EBC=60°,
∴∠ABE=∠ABC﹣∠EBC=80°﹣60°=20°;
(2)∠BEC与∠BDC之间的关系:∠BEC+∠BDC=110°,
理由:设∠BEC=α,∠BDC=β,
在△ABE中,α=∠A+∠ABE=40°+∠ABE,
∵CE=BC,
∴∠CBE=∠BEC=α,
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠A+2∠ABE=40°+2∠ABE,
在△BDC中,BD=BC,
∴∠BDC+∠BCD+∠DBC=2β+40°+2∠ABE=180°,
∴β=70°﹣∠ABE,
∴α+β=40°+∠ABE+70°﹣∠ABE=110°,
∴∠BEC+∠BDC=110°.
23.证明:(1)如图1,在△ABC中,∠BAC=75°,∠ACB=35°,
∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=70°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC∠ABD=35°,
∴∠DBC=∠ACB=35°,
∴BD=CD,
∴△BCD为等腰三角形;
(2)证法一:如图2,在AC上截取AH=AB,连接EH,
由(1)得:△BCD为等腰三角形,
∴BD=CD,
∴BD+AD=CD+AD=AC,
∵AE平分∠BAC,
∴∠EAB=∠EAH,
∴△ABE≌△AHE(SAS),
∴BE=EH,∠AHE=∠ABE=70°,
∴∠HEC=∠AHE﹣∠ACB=35°,
∴EH=HC,
∴AB+BE=AH+HC=AC,
∴BD+AD=AB+BE;
证法二:如图3,在AB的延长线上取AF=AC,连接EF,
由(1)得:△BCD为等腰三角形,且BD=CD,
∴BD+AD=CD+AD=AC,
∵AE平分∠BAC,
∴∠EAF=∠EAC,
∴△AEF≌△AEC(SAS),
∴∠F=∠C=35°,
∵∠ABC=70°,
∴∠BEF=35°,
∴∠BFE=∠BEF,
∴BF=BE,
∴AB+BE=AB+BF=AF,
∴BD+AD=AB+BE;
(3)探究(2)中的结论不成立,正确结论:BD+AD=BE﹣AB,理由是:
如图4,在BE上截取BF=AB,连接AF,
∵∠ABC=70°,
∴∠AFB=∠BAF=35°,
∵∠BAC=75°,
∴∠HAB=105°,
∵AE平分∠HAB,
∴∠EAB∠HAB=52.5°,
∴∠EAF=52.5°﹣35°=17.5°=∠AEF=17.5°,
∴AF=EF,
∵∠AFC=∠C=35°,
∴AF=AC=EF,
∴BE﹣AB=BE﹣BF=EF=AC=AD+CD=AD+BD.
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