第四章因式分解单元测试北师大版2024—2025学年八年级下册（含答案）

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第四章因式分解单元测试北师大版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
B．x2+4x+10＝（x+2）2+6
C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2
D．x2﹣4+3x＝（x﹣2）（x+2）+3x
2．把5（a﹣b）+m（b﹣a）提公因式后一个因式是（a﹣b），则另一个因式是（　　）
A．5﹣m B．5+m C．m﹣5 D．﹣m﹣5
3．已知m2+n2＝25，mn＝12，则mn3+m3n的值为（　　）
A．﹣84 B．84 C．±84 D．300
4．若关于x的多项式x3+x2﹣7x﹣3可以分解为（x2+nx﹣1）（x+3），则n3的值是（　　）
A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6
5．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A．x2+2x﹣1 B．
C．x2+2x+4 D．x2﹣6x+9
6．已知△ABC的三边长a、b、c满足条件：a4﹣b4＝a2c2﹣b2c2，则△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
7．因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（　　）
A．（x﹣10）（x+8） B．（x+8）（x+1）
C．（x﹣2）（x+4） D．（x+2）（x﹣4）
8．已知实数m满足m2﹣m﹣1＝0，则2m3﹣3m2﹣m+9＝（　　）
A．7 B．8 C．10 D．9
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．因式分解：（x2+y2）2﹣4x2y2＝ 　 　．
10．已知，a﹣b＝2，则a2﹣b2+6a+6b的值为 　 　．
11．若多项式x2﹣（m﹣1）x+16能用完全平方公式进行因式分解，则m＝　 　．
12．若关于x的二次三项式x2﹣px﹣12含有因式（x﹣3），则实数p的值是 　 　．
三．解答题（共6小题，每小题10分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．因式分解：
（1）2x2﹣32
（2）4x3y﹣4x2y2+xy3
14．已知关于x的二次三项式2x2+mx+15有一个因式为x﹣5，求另一个因式和m的值．
15．已知：a+b＝3，ab＝2，求下列各式的值：
（1）a2b+ab2；
（2）a2+b2．
16．阅读下列解答过程，然后回答问题：
已知x2﹣7x+k有一个因式（x﹣3），求k的值．
解：设另一个因式为（x+a），则
x2﹣7x+k＝（x﹣3）（x+a），即
x2﹣7x+k＝x2+（a﹣3）x﹣3a（对任意实数x成立）
由此得：
∴k＝12
（1）已知x2﹣15x﹣34有一个因式（x+2），则另一个因式为 　 　；
（2）已知x2+mx﹣24有一个因式（x+6），则m的值为 　 　；
（3）已知多项式x3﹣3x2+k有一个因式（x﹣2）2，求k的值．
17．阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．例如：x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）
（1）解决问题，运用配方法将下列的形式进行因式分解；x2﹣2x﹣15．
（2）深入研究，说明多项式x2﹣6x+11的值总是一个正数；
（3）拓展运用，已知a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+b2+c2＝ab+bc+ac，试判断△ABC的形状，并说明理由．
18．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例1用配方法因式分解：a2+6a+8．
原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）．
例2若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值；a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1；
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述自主学习材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：a2﹣12a+35；
（2）若M＝a2﹣3a+2024，求M的最小值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2＝6a+8b+10c﹣50，求△ABC的周长．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A D B D D D
二、填空题
9．【解答】解：（x2+y2）2﹣4x2y2
＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）
＝（x+y）2（x﹣y）2，
故答案为：（x+y）2（x﹣y）2．
10．【解答】解：∵，a﹣b＝2，
∴，
∴a2﹣b2+6a+6b
＝（a2+b2）+6（a+b）
，
故答案为：．
11．【解答】解：∵多项式x2﹣（m﹣1）x+16能用完全平方公式进行因式分解，
∴m﹣1＝±8，
解得：m＝9或m＝﹣7，
故答案为：9或﹣7
12．【解答】解：（x﹣3）（x+4）＝x2+x﹣12，
所以p的数值是﹣1．
故答案为：﹣1．
三、解答题
13．【解答】解：（1）原式＝2（x2﹣16）＝2（x+4）（x﹣4）；
（2）原式＝xy（4x2﹣4xy+y2）＝xy（2x﹣y）2．
14．【解答】解：设2x2+mx+15的另一个因式是2x+b，
则（x﹣5）（2x+b）＝2x2+mx+15，
即2x2+（b﹣10）x﹣5b＝2x2+mx+15，
那么b﹣10＝m，﹣5b＝15，
解得：b＝﹣3，m＝﹣13．
所以另一个因式为2x﹣3，m的值为﹣13．
15．【解答】解：（1）a2b+ab2＝ab（a+b）＝2×3＝6；
（2）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
＝32﹣2×2，
＝5．
16．【解答】解：（1）x2﹣15x﹣34＝（x+2）（x﹣17），
故答案为：x﹣17；
（2）设另一个因式为（x+a），则x2+mx﹣24＝（x+6）（x+a），
即x2+mx﹣24＝x2+（a+6）x+6a（对任意实数x成立），
由此得：，
∴a＝﹣4；m＝2；
故答案为：2；
（3）设另一个因式为（x+a），则x3﹣3x2+k＝（x﹣2）2（x+a），
即x3﹣3x2+k＝（x2﹣4x+4）（x+a）＝x3+（a﹣4）x2+（4﹣4a）x+4a（对任意实数x成立）．
由此得：，
∴a＝1，k＝4．
17．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣15＝x2﹣2x+1﹣1﹣15＝（x﹣1）2﹣42＝（x+3）（x﹣5）；
（2）x2﹣6x+11＝x2﹣6x+9+2＝（x﹣3）2+2，
∵（x﹣3）2≥0，
∴（x﹣3）2+2＞0，
∴多项式x2﹣6x+11的值总是一个正数；
（3）由条件可知2a2+2b2+2c2＝2ab+2bc+2ac，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，
∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ac+a2＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（a﹣c）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
18．【解答】解：（1）a2﹣12a+35
＝a2﹣12a+36﹣1
＝（a﹣6）2﹣12
＝（a﹣6+1）（a﹣6﹣1）
＝（a﹣5）（a﹣7）；
（2）M＝a2﹣3a+2024
，
∵，
∴的最小值为，即M的最小值为；
（3）∵a2+b2+c2＝6a+8b+10c﹣50，
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）+（c2﹣10c+25）＝0，
（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
∵（a﹣3）2≥0，（b﹣4）2≥0，（c﹣5）2≥0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，
解得：a＝3，b＝4，c＝5，
∴△ABC的周长为：a+b+c＝3+4+5＝12．
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