第16章 二次根式 能力提升测试题（含解析）2024-2025学年人教版数学八年级下册

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第16章 二次根式 能力提升测试题
考试范围：第16章二次根式；考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各式中，不是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列根式是最简二次根式的（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．|﹣3|＝﹣3
C． D．
5．的一个有理化因式是（　　）
A． B． C． D．
6．估计的值在（　　）
A．8到9之间 B．7到8之间 C．6到7之间 D．5到6之间
7．点在（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第一象限或y轴的正半轴
D．第一象限或第二象限
8．如图，从一个大正方形中截去面积为12cm2和18cm2的两个小正方形，则大正方形的边长是（　　）cm．
A． B．23 C．4 D．5
9．若，则x2+y2的平方根是（　　）
A．±5 B．5 C．±2 D．2
10．在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式a+b+1中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数a，b在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法：
①a+[b+1]＝a﹣b﹣1；
②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等；
③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0；
④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．当x　 　时，分式有意义．
12．计算的结果是 　 　．
13．使成立的条件是 　 　．
14．使是整数的正整数m的最小值为 　 　．
15．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B所表示的数为m，则|m﹣1|+（m）2＝　 　．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（12分）计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
17．（8分）已知．
（1）求a2﹣b2的值；
（2）求a2﹣ab+b2的值．
18．（8分）如图，一个长方形被分割成四部分．其中图形①、②、③都是正方形，且正方形①、③的面积分别为24和3．
（1）求图②的边长；
（2）求图中阴影部分的面积．
19．（8分）设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有三角形的面积公式（海伦公式），（秦九韶公式）．请选用以上公式，计算下列两个三角形的面积．
（1）三角形三边长分别为9，10，11；
（2）三角形三边长分别为，，．
20．（9分）观察下列等式：x1；x2；x3；
（1）根据以上规律归纳出：
①x5＝　 　＝　 　；②xn＝　 　＝　 　；
（2）证明（1）中②这个等式．
21．（9分）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为16cm2的大正方形纸片．
（1）小方形纸片的边长为 　 　cm；
（2）在（1）的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为a，小数部分为b，求的值；
（3）若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片a的长宽之比为2：1，且面积为12cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．
22．（10分）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答：
（1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 　；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（3）已知：，其中x是整数部分，y是小数部分，求xy的值．
23．（11分）我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，.课本中阅读材料告诉我们，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
请运用有理化因式的知识，解决下列问题：
（1）化简： 　 　；
（2）比较大小： 　 　；（用“＞”、“＝”或“＜”填空）
（3）设有理数a、b满足：，则a+b＝ 　 　；
（4）已知，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B C A C A B A D
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、是二次根式，则此项不符合题意；
B、不是二次根式，则此项符合题意；
C、是二次根式，则此项不符合题意；
D、是二次根式，则此项不符合题意；
选：B．
2．解：A．，此选项不符合题意；
B．，此选项符合题意；
C．，此选项不符合题意；
D．，此选项不符合题意；
选：B．
3．解：A、，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，不符合题意；
D、2，不符合题意．
选：B．
4．解：A．4，此选项不合题意；
B．|﹣3|＝3，此选项不合题意；
C．2，此选项符合题意；
D．2，此选项不合题意．
选：C．
5．解：的有理化因式可以为．
选：A．
6．解：
1，
∵25＜35＜36，
∴56，
∴61＜7，
∴估计的值在6到7之间，
选：C．
7．解：由条件可知：a2+1≥1，
∴点第一象限，
选：A．
8．解：两小正方形的边长分别为：cm，cm，
∴大正方形的边长为（）cm．
选：B．
9．解：由题可知，
，
解得x＝3，
将x代入得：
y＝4，
则x2+y2的平方根为：±5．
选：A．
10．解：∵﹣3＜b＜﹣2，
∴﹣2＜b+1＜﹣1，
∴a+[b+1]＝aa+[﹣（b+1）]＝a﹣b﹣1，①正确；
∵1＞0，
∴a+b+[1]＝a+ba+b+1，②错误；
∵﹣3＜b＜﹣2，0＜a＜1，
∴﹣3＜a+b＜﹣1，
∴﹣2＜a+b+1＜0，
∴[a+b+1]＝﹣（a+b+1），
∴[a+b+1]+（a+b+1）＝﹣（a+b+1）+（a+b+1）＝0，
∴存在“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0，③错误；
可能的“新运算操作”有，
[a]+b+1＝a+b+1，
a+[b]+1＝a﹣b+1，
a+b+[1]＝a+b+1，
[a+b]+1＝﹣a﹣b+1，
a+[b+1]＝a﹣b﹣1，
[a+b+1]＝﹣a﹣b﹣1，
∴所有可能的“新运算操作”共有5种不同运算结果，④错误．
所以正确的个数有1个，
选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：根据题意得，，
解得x＞1，
答案为：＞1．
12．解：原式＝220，
答案为：0．
13．解：根据题意得：|x﹣4|（4﹣x），
∴x﹣4≤0，6﹣x≥0，
∴x≤4．
答案为：x≤4．
14．解：∵12＝4×3，
∴，
又∵是整数，m为正整数，
∴最小的正整数m是3，
答案为：3．
15．解：∵从点A沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点B，点A表示的数为，
∴点B所表示的数为m2，
∴|m﹣1|+（m）2
＝|2﹣1|+（2）2
1+4
3．
答案为：3．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：（1）原式
；
（2）原式
＝7+5
＝12；
（3）原式
；
（4）原式
．
17．解：（1）∵，
∴，，ab＝3﹣2＝1，
∴；
（2）∵，
∴，，ab＝3﹣2＝1，
∴．
18．解：（1）正方形①的边长是2，
正方形③的边长是，
正方形②的边长是（2），
（2）阴影的宽是（2）＝4﹣2，
图中阴影部分的面积是：（22）＝66．
19．解：（1）由条件可知，
∴．
（2）∵，，，
∴．
20．（1）解：①x51，
答案为：；1；
②xn1，
答案为：；1；
（2）证明：
＝1．
21．解：（1）∵小正方形的面积为16÷2＝8（cm2），
∴小正方形的边长为2cm．
答案为：2；
（2）由题意a＝2，b＝22，
∴a+2b﹣42+2（22）﹣42+44﹣42；
（3）不能，理由如下：
∵长方形长宽之比为2：1，
∴设长方形的长和宽分别为2x cm，x cm，
∴2x x＝12，
∴x2＝6，
∵x＞0，
∴x，
∴2x＝2，
∵23，
∴24．
∴沿此大正方形纸片边的方向不能裁剪出符合要求的长方形．
22．解：（1）∵16＜17＜25，
∴，
∴的整数部分是4，小数部分是；
答案为：；
（2）∵4＜5＜9，9＜13＜16，
∴，
∵的小数部分为的整数部分为b，
∴，
∴．
（3）∵1＜3＜4，
∴，即，
∴，
∵x是整数部分，y是小数部分，
∴，
∴．
23．解：（1）原式．
答案为：；
（2）∵，，
∵，
∴；
答案为：＜；
（3）∵，
∴（1）a+（1）b＝﹣64，
∴（a+b）a+b＝﹣64，
∵a，b是有理数，
∴a+b＝﹣6，﹣a+b＝4．
答案为：﹣6；
（4）∵，
∴，
∴，
∴3．
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