1.1 直角三角形的性质和判定（Ⅰ）
第1课时 直角三角形的性质和判定
@基础分点练
知识点1 直角三角形的两个锐角互余
1.（永州市道县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝52°，则∠A等于（ ）
A.58° B.48° C.38° D.28°
2.如图，已知直线l∥AB，CD⊥直线l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
第2题图
3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，那么与∠A互余的角是 ，与∠A相等的角是 .
第3题图
4.【数学文化】《周礼·考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”.意思是：“…直角的一半的角叫作宣，一宣半的角叫作欘…”即：1宣＝矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）.问题：图1为中国古代一种强弩图，图2为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C＝ 度.
知识点2 有两个角互余的三角形是直角三角形
5.在△ABC中，∠A＝∠B＋∠C，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
6.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：△ABC是直角三角形.
知识点3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
7.【情境题】一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A，B对应的刻度分别为1和7，则CD等于（ ）
A.3.5cm B.3cm
C.4.5cm D.6cm
8.如图，已知点E是AB的中点，AD⊥BD于点D，AC∥DE.求证：AD平分∠BAC.
@中档提分训练
9.如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB交BC于D，交AB于E，∠CAD＝40°，则∠B等于（ ）
A.40°
B.30°
C.25°
D.10°
10.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A.∠A＝90°－∠B
B.∠A－∠B＝∠C
C.∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
D.∠A＝∠B＝3∠C
11.如图，在Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，CD⊥AB，若CD＝5，CE＝6，则△ABC的面积是 .
第11题图
12.如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，BE是高，且点D，F分别是边AB，BC的中点，则△DEF的周长等于 .
第12题图
13.（岳阳临湘市月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE，CD相交于点F.
（1）若∠DCB＝50°，求∠CEF的度数；
（2）求证：∠CEF＝∠CFE.
14.如图，在△ACD与△ABC中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点.
（1）求证：DE＝BE；
（2）图中有哪些等腰三角形，请写出来（不需要证明）.
@拓展素养训练
15.如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点.
（1）写出点O到△ABC的三个顶点A，B，C的距离的数量关系；
（2）如果点M，N分别在线段AB，AC上移动，移动中保持AN＝BM.判断△MON的形状，并证明你的结论.
第2课时 含30°角的直角三角形的性质及其应用
@基础分点练
知识点1 含30°角的直角三角形的性质
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，则AB的长为（ ）
A.1.5 B.3 C.6 D.9
第1题图
2.如图，BC＝10 cm，∠B＝∠BAC＝15°，AD⊥BC交BC延长线于点D，则AD的长为（ ）
第2题图
A.3 cm B.4 cm
C.5 cm D.6 cm
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，若BD＝10，则CD＝ .
4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是高，BC＝4，求AD的长.
知识点2 含30°角的直角三角形的性质的应用
5.某商场大厅一楼到二楼的手扶电梯如图所示.其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，大厅两层楼之间高度h＝6 m，则顾客乘电梯从B点到C点的距离是（ ）
A.3 m B.6 m
C.6 m D.12 m
6.如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B，取∠ABD＝150°，BD＝500 m，∠D＝60°.如果要使A，C，E三点在同一直线上，那么开挖点E离点D的距离是（ ）
A.200 m
B.250 m
C.300 m
D.350 m
7.如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°方向上，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60°方向上，当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，求轮船航程AD的距离.
@中档提分训练
8.（贵州中考）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳市开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12 m，则底边上的高是（ ）
A.4 m B.6 m
C.10 m D.12 m
9.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D在BC上，AB⊥AD，AD＝2，则BC等于（ ）
A.4 B.5
C.6 D.8
10.（保定期中）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝2，则BC的长为（ ）
A.6 B.8
C.10 D.12
第10题图
11.（长沙期末）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝4，PE＝2，AD的长是 .
第11题图
12.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E.
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由.
@拓展素养训练
13.如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6 cm，点D从点A出发以1 cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2 cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题：
（1）当t为何值时，△DEC为等边三角形；
（2）当t为何值时，△DEC为直角三角形.1.1 直角三角形的性质和判定（Ⅰ）
第1课时 直角三角形的性质和判定
@基础分点练
知识点1 直角三角形的两个锐角互余
1.（永州市道县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝52°，则∠A等于（ C ）
A.58° B.48° C.38° D.28°
2.如图，已知直线l∥AB，CD⊥直线l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（ C ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
第2题图
3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，那么与∠A互余的角是 ∠B，∠ACD ，与∠A相等的角是 ∠BCD .
第3题图
4.【数学文化】《周礼·考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”.意思是：“…直角的一半的角叫作宣，一宣半的角叫作欘…”即：1宣＝矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）.问题：图1为中国古代一种强弩图，图2为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C＝ 22.5 度.
知识点2 有两个角互余的三角形是直角三角形
5.在△ABC中，∠A＝∠B＋∠C，那么这个三角形是（ B ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
6.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：△ABC是直角三角形.
证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，且∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∴2（∠4＋∠1）＝180°，
∴∠4＋∠1＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴△ABC是直角三角形.
知识点3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
7.【情境题】一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A，B对应的刻度分别为1和7，则CD等于（ B ）
A.3.5cm B.3cm
C.4.5cm D.6cm
8.如图，已知点E是AB的中点，AD⊥BD于点D，AC∥DE.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵AC∥DE，
∴∠DAC＝∠ADE.
∵点E是AB的中点，AD⊥BD，
∴DE＝AE，∴∠DAE＝∠ADE，
∴∠DAE＝∠DAC，即AD平分∠BAC.
@中档提分训练
9.如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB交BC于D，交AB于E，∠CAD＝40°，则∠B等于（ C ）
A.40°
B.30°
C.25°
D.10°
10.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ D ）
A.∠A＝90°－∠B
B.∠A－∠B＝∠C
C.∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
D.∠A＝∠B＝3∠C
11.如图，在Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，CD⊥AB，若CD＝5，CE＝6，则△ABC的面积是 30 .
第11题图
12.如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，BE是高，且点D，F分别是边AB，BC的中点，则△DEF的周长等于 16 .
第12题图
13.（岳阳临湘市月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE，CD相交于点F.
（1）若∠DCB＝50°，求∠CEF的度数；
（2）求证：∠CEF＝∠CFE.
解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠DCB＋∠B＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB＋∠B＝90°.
∴∠CAB＝∠DCB＝50°.
∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠CAB＝25°.
∴∠CEF＝90°－∠CAE＝65°.
（2）证明：∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE＝∠CAE.
∵∠CAE＋∠CEF＝90°，∠BAE＋∠AFD＝90°，
∴∠CEF＝∠AFD.
∵∠CFE＝∠AFD，∴∠CEF＝∠CFE.
14.如图，在△ACD与△ABC中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点.
（1）求证：DE＝BE；
解：（1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
E为AC的中点，
∴DE＝AC，BE＝AC.∴DE＝BE.
（2）图中有哪些等腰三角形，请写出来（不需要证明）.
解：（2）图中的等腰三角形有△CDE，△DAE，△AEB，△BEC，△DEB.
@拓展素养训练
15.如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点.
（1）写出点O到△ABC的三个顶点A，B，C的距离的数量关系；
（2）如果点M，N分别在线段AB，AC上移动，移动中保持AN＝BM.判断△MON的形状，并证明你的结论.
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O为BC的中点，
∴OA＝BC＝OB＝OC，即OA＝OB＝OC.
（2）△MON是等腰直角三角形.
证明如下：∵AC＝BA，OC＝OB，∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠B＝45°，AO⊥BC.
∵AO＝OC，∴∠NAO＝∠C＝∠B.
又∵AN＝BM，OA＝OB，
∴△AON≌△BOM（SAS），
∴ON＝OM，∠NOA＝∠MOB，
∴∠NOA＋∠AOM＝∠MOB＋∠AOM，
∴∠NOM＝∠AOB＝90°，
∴△MON是等腰直角三角形.
【标题】第2课时 含30°角的直角三角形的性质及其应用
@基础分点练
知识点1 含30°角的直角三角形的性质
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，则AB的长为（ C ）
A.1.5 B.3 C.6 D.9
第1题图
2.如图，BC＝10 cm，∠B＝∠BAC＝15°，AD⊥BC交BC延长线于点D，则AD的长为（ C ）
第2题图
A.3 cm B.4 cm
C.5 cm D.6 cm
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，若BD＝10，则CD＝ 5 .
4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是高，BC＝4，求AD的长.
解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝90°－∠B＝30°.
∴AB＝2BC＝2×4＝8.
∵CD是三角形的高，
∴∠BCD＝90°－∠B＝30°.
∴BD＝BC＝×4＝2.
∴AD＝AB－BD＝8－2＝6.
知识点2 含30°角的直角三角形的性质的应用
5.某商场大厅一楼到二楼的手扶电梯如图所示.其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，大厅两层楼之间高度h＝6 m，则顾客乘电梯从B点到C点的距离是（ D ）
A.3 m B.6 m
C.6 m D.12 m
6.如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B，取∠ABD＝150°，BD＝500 m，∠D＝60°.如果要使A，C，E三点在同一直线上，那么开挖点E离点D的距离是（ B ）
A.200 m
B.250 m
C.300 m
D.350 m
7.如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°方向上，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60°方向上，当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，求轮船航程AD的距离.
解：根据题意，得
∠CAB＝30°，∠CBD＝60°.
∴∠ACB＝30°.
∴BC＝BA＝2×20＝40（海里）.
∵∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝90°－60°＝30°，
∴BD＝BC＝20海里.
∴AD＝BD＋AB＝20＋40＝60（海里）.
答：轮船航程AD的距离是60海里.
@中档提分训练
8.（贵州中考）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳市开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12 m，则底边上的高是（ B ）
A.4 m B.6 m
C.10 m D.12 m
9.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D在BC上，AB⊥AD，AD＝2，则BC等于（ C ）
A.4 B.5
C.6 D.8
10.（保定期中）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝2，则BC的长为（ D ）
A.6 B.8
C.10 D.12
第10题图
11.（长沙期末）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝4，PE＝2，AD的长是 10 .
第11题图
12.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E.
（1）求证：AE＝2CE；
解：（1）证明：连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE.
∴∠ABE＝∠A＝30°.
∵∠ABC＝90°－∠A＝60°，
∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°.
∴BE＝2CE.∴AE＝2CE.
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由.
解：（2）△BCD是等边三角形，理由如下：
∵DE垂直平分AB，∴D为AB的中点.
∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD.
∵∠ABC＝60°，∴△BCD是等边三角形.
@拓展素养训练
13.如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6 cm，点D从点A出发以1 cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2 cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题：
（1）当t为何值时，△DEC为等边三角形；
解：（1）根据题意，得AD＝t，CD＝6－t，CE＝2t，
∵∠B＝30°，
∴∠C＝90°－∠B＝60°，
∴当CD＝CE时，△DEC为等边三角形.
∴6－t＝2t，解得t＝2.
∴当t为2时，△DEC为等边三角形
（2）当t为何值时，△DEC为直角三角形.
解：（2）①当∠DEC为直角时，
∵∠EDC＝30°，∴CE＝DC.
∴2t＝（6－t），解得t＝.
②当∠EDC为直角时，
∵∠DEC＝30°，∴CD＝CE.
∴6－t＝·2t，解得t＝3.
综上所述，当t为或3时，△DEC为直角三角形.
