1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
第1课时 勾股定理
@基础分点练
知识点 勾股定理
1.已知直角三角形两直角边长分别为3，4，则斜边长为（ ）
A.5 B.
C. D.6
2.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝3，那么正方形ABCD的面积为（ ）
A.2 B.8
C. D.10
3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A.a2＋b2＝c2
B.若∠B＝90°，则a2＋b2＝c2
C.若∠A＝90°，则a2＋b2＝c2
D.若∠C＝90°，则a2＋b2＝c2
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，则CM＝ .
第4题图
5.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，AD＝2，∠B＝∠D＝90°，则CD＝ .
第5题图
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC边于点D，AB＝5，BC＝6，则AD＝ .
7.（教材P11练习变式）在Rt△ABC中，∠C＝90°.
（1）若a＝b＝5，求c；
（2）若b＝7，c＝25，求a；
（3）若a＝5，∠A＝30°，求b，c.
8.（长沙期中改编）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，CD为边AB上的高.
（1）求斜边AB的长；
（2）求CD的长.
@中档提分训练
9.【数形结合思想】如图，长方形ABCD的顶点A，B在数轴上，点A表示－1，AB＝3，AD＝1.若以点A为圆心，对角线AC长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（ ）
A.－1 B.
C.＋1 D.＋2
10.（宁乡市期中）若一直角三角形两边长分别为1和2，则第三边长为（ ）
A. B.或
C. D.3或
11.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 .
第11题图
【变式1】如图，以直角三角形的三边为直径的半圆面积之间的等量关系是 .
变式1题图
【变式2】（遵义期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以△ABC的三边向外作三个等边三角形△ABD，△BCF，△ACE，其面积分别为S1，S2，S3.若AB＝4，则S3－S2＝ .
变式2题图
12.【新定义试题】定义：对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形.现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，CD＝6，求AD2＋BC2的值.
@拓展素养训练
13.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形按图1或图2所示的方式摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°），求证：a2＋b2＝c2.
图1 图2
第2课时 勾股定理的实际应用
@基础分点练
知识点 勾股定理的实际应用
1.（娄底期末）如图所示，公路AC，BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量湖泊两侧C，M两点间的距离，工人师傅测得AC＝3km，BC＝4km，则M，C两点间的距离为（ ）
A.km B.3km
C.4km D.5km
2.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 路（ ）
A.2 m B.4 m
C.5 m D.6 m
第2题图
3.如图有两棵树，一棵高14 m，一棵高2 m，两树之间相距5 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ ）
第3题图
A.11 m B.12 m C.13 m D.14 m
4.如图，货车卸货时支架侧面是Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，已知AB＝2.5 m，AC＝1.5 m，则BC的长为 m.
第4题图
5.如图，一根长20 cm的吸管置于底面直径为9 cm，高为12 cm的圆柱形水杯中，吸管露在杯子外面的长度最短是 cm.
第5题图
6.如图，为了求出湖两岸的A，B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC长160 m，BC长128 m.则从点A到点B的距离有多远？
7.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30 m的C处，过了2 s后，测得小汽车的位置B处与车速检测仪间的距离为50 m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1 m/s＝3.6 km/h）
@中档提分训练
8.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，则小巷的宽度为（ ）
A.0.7 m B.1.5 mC.2.2 m D.2.4 m
第8题图
9.两艘海警船在某岛进行巡航，一艘以12 n mile/h的速度离开该岛向北偏西45°方向航行，另一艘同时以16 n mile/h的速度离开该岛向北偏东45°方向航行，经过1.5 h后两船相距（ ）
A.25 n mile B.30 n mile
C.32 n mile D.40 n mile
10.如图，要为一段高为6 m，长为10 m的楼梯铺上红地毯，则至少要 m红地毯.
第10题图
11.如图，小明的爸爸在一条小船上钓鱼，已知鱼竿的长度AB为5.2 m，露在水面上方部分的钓线AC的长度为2.4 m，船舷离水面的高度DE为0.4 m，则小明的爸爸离钓线的水平距离为 m.
12.（娄底期末）如图，小慧和她的同学荡秋千，秋千AB'在静止位置时，下端B'离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距
静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB'的长.
@拓展素养训练
13.【新考法】如图，有一块直角三角形的绿地ABC，量得两直角边AC＝8 m，BC＝6 m.现在要将这块绿地扩充成等腰三角形ABD，且扩充部分（△ADC）是以8 m为直角边长的直角三角形.
（1）在图1中，当AB＝AD＝ m时，△ABD的周长为 m；
（2）在图2中，当BA＝BD＝ m时，△ABD的周长为 m；
（3）在图3中，当DA＝DB时，求△ABD的周长.
第3课时 勾股定理的逆定理
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知识点1 勾股定理的逆定理
1.（涟源市期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A.1，2，3 B.4，5，6
C.1，， D.9，12，15
2.满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A.BC＝1，AC＝2，AB＝
B.BC∶AC∶AB＝3∶4∶5
C.BC2－AC2＝AB2
D.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
3.如图，点D为△ABC的边BC上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则BC的长为（ ）
A.13 B.14
C.15 D.16
4.若三角形的三边长分别为，，2，则此三角形的面积为 .
5.如图，在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，AC＝10 cm，D是AC的中点，则BD＝ cm.
6.如图，在正方形网格中，小正方形的边长都是1，则△ABC的形状是 三角形.
7.如图，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，则∠ABD＝ .
8.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，判断下列三角形是不是直角三角形.若是直角三角形，请判断哪一个角是直角.
（1）a＝26，b＝10，c＝24；
（2）a＝5，b＝7，c＝9；
（3）a＝2，b＝，c＝.
知识点2 勾股数
9.（株洲期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.下列各组数中，属于“勾股数”的是（ ）
A.1，2，3 B.3，4，5
C.4，5，6 D.5，6，7
10.观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…；请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： .
@中档提分训练
11.△ABC的三边长a，b，c满足（a－b）2＋＋｜c－3｜＝0，则△ABC是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
12.（泸州中考）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝（m2－n2），b＝mn，c＝（m2＋n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数.下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）
A.3，4，5 B.5，12，13
C.6，8，10 D.7，24，25
13.（娄底月考）五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列示意图中正确的是（ ）
14.如图所示的是2×5的正方形网格，点A，B，P都在网格点上，则∠APB＝ .
15.一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求此木板的面积.
@拓展素养训练
16.【探究型】在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）.
（1）当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为 三角形；当△ABC三边分别为6，8，11时，△ABC为 三角形.
（2）猜想，当a2＋b2 c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2 c2时，△ABC为钝角三角形.
（3）当a＝2，b＝4时，判断△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围.1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
第1课时 勾股定理
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知识点 勾股定理
1.已知直角三角形两直角边长分别为3，4，则斜边长为（ A ）
A.5 B.
C. D.6
2.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝3，那么正方形ABCD的面积为（ B ）
A.2 B.8
C. D.10
3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ D ）
A.a2＋b2＝c2
B.若∠B＝90°，则a2＋b2＝c2
C.若∠A＝90°，则a2＋b2＝c2
D.若∠C＝90°，则a2＋b2＝c2
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，则CM＝ 5 .
第4题图
5.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，AD＝2，∠B＝∠D＝90°，则CD＝ 2 .
第5题图
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC边于点D，AB＝5，BC＝6，则AD＝ 4 .
7.（教材P11练习变式）在Rt△ABC中，∠C＝90°.
（1）若a＝b＝5，求c；
（2）若b＝7，c＝25，求a；
（3）若a＝5，∠A＝30°，求b，c.
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝b＝5，
∴c＝＝＝5.
（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝7，c＝25，
∴a＝＝＝24.
（3）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，∠A＝30°，
∴c＝10.
∴b＝＝＝5.
8.（长沙期中改编）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，CD为边AB上的高.
（1）求斜边AB的长；
（2）求CD的长.
解：（1）在Rt△ABC中，
∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13.
（2）∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，
∴CD＝＝.
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9.【数形结合思想】如图，长方形ABCD的顶点A，B在数轴上，点A表示－1，AB＝3，AD＝1.若以点A为圆心，对角线AC长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（ A ）
A.－1 B.
C.＋1 D.＋2
10.（宁乡市期中）若一直角三角形两边长分别为1和2，则第三边长为（ B ）
A. B.或
C. D.3或
11.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 100 .
第11题图
【变式1】如图，以直角三角形的三边为直径的半圆面积之间的等量关系是 S1＋S2＝S3 .
变式1题图
【变式2】（遵义期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以△ABC的三边向外作三个等边三角形△ABD，△BCF，△ACE，其面积分别为S1，S2，S3.若AB＝4，则S3－S2＝ 4 .
变式2题图
12.【新定义试题】定义：对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形.现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，CD＝6，求AD2＋BC2的值.
解：∵四边形ABCD是“垂美”四边形，∴AC⊥BD.
∴AD2＝OA2＋OD2，BC2＝OC2＋OB2.
∴AD2＋BC2＝OA2＋OB2＋OD2＋OC2＝AB2＋CD2＝25＋36＝61.
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13.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形按图1或图2所示的方式摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°），求证：a2＋b2＝c2.
图1 图2
解：利用图1证明：∵△ABC≌△DAE，
∴∠BAC＝∠ADE.
∵在Rt△ADE中，∠ADE＋∠DAE＝90°，
∴∠BAC＋∠DAE＝90°.
∵∠DAB＝90°，
∴∠BAC＋∠DAB＋∠DAE＝180°.
∴C，A，E三点共线.
∴四边形BCED是梯形.
∵S梯形BCED＝S△ABC＋S△ABD＋S△AED＝ab＋c2＋ab，S梯形BCED＝（a＋b）2，
∴ab＋c2＋ab＝（a＋b）2，
∴a2＋b2＝c2.
利用图2证明略.
第2课时 勾股定理的实际应用
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知识点 勾股定理的实际应用
1.（娄底期末）如图所示，公路AC，BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量湖泊两侧C，M两点间的距离，工人师傅测得AC＝3km，BC＝4km，则M，C两点间的距离为（ A ）
A.km B.3km
C.4km D.5km
2.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 路（ A ）
A.2 m B.4 m
C.5 m D.6 m
第2题图
3.如图有两棵树，一棵高14 m，一棵高2 m，两树之间相距5 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ C ）
第3题图
A.11 m B.12 m C.13 m D.14 m
4.如图，货车卸货时支架侧面是Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，已知AB＝2.5 m，AC＝1.5 m，则BC的长为 2 m.
第4题图
5.如图，一根长20 cm的吸管置于底面直径为9 cm，高为12 cm的圆柱形水杯中，吸管露在杯子外面的长度最短是 5 cm.
第5题图
6.如图，为了求出湖两岸的A，B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC长160 m，BC长128 m.则从点A到点B的距离有多远？
解：根据题意，得
∠ABC＝90°，AC＝160 m，BC＝128 m.
在Rt△ABC中，
AB＝＝＝96（m）.
答：从点A到点B的距离有96 m.
7.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30 m的C处，过了2 s后，测得小汽车的位置B处与车速检测仪间的距离为50 m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1 m/s＝3.6 km/h）
解：根据题意，得AC⊥BC.在Rt△ABC中，AC＝30 m，AB＝50 m，
根据勾股定理，得
BC＝＝＝40（m）.
∴小汽车的速度为＝20（m/s）＝72 km/h.
∵72＞70，∴这辆小汽车超速了.
@中档提分训练
8.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，则小巷的宽度为（ C ）
A.0.7 m B.1.5 mC.2.2 m D.2.4 m
第8题图
9.两艘海警船在某岛进行巡航，一艘以12 n mile/h的速度离开该岛向北偏西45°方向航行，另一艘同时以16 n mile/h的速度离开该岛向北偏东45°方向航行，经过1.5 h后两船相距（ B ）
A.25 n mile B.30 n mile
C.32 n mile D.40 n mile
10.如图，要为一段高为6 m，长为10 m的楼梯铺上红地毯，则至少要 14 m红地毯.
第10题图
11.如图，小明的爸爸在一条小船上钓鱼，已知鱼竿的长度AB为5.2 m，露在水面上方部分的钓线AC的长度为2.4 m，船舷离水面的高度DE为0.4 m，则小明的爸爸离钓线的水平距离为 4.8 m.
12.（娄底期末）如图，小慧和她的同学荡秋千，秋千AB'在静止位置时，下端B'离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距
静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB'的长.
解：设AB＝xm，则AB'＝xm，
由题意，得B'E＝1.4－0.6＝0.8（m），则AE＝AB'－B'E＝（x－0.8）m，
在Rt△AEB中，AE2＋BE2＝AB2，
则（x－0.8）2＋2.42＝x2，解得x＝4.
答：秋千AB'的长为4m.
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13.【新考法】如图，有一块直角三角形的绿地ABC，量得两直角边AC＝8 m，BC＝6 m.现在要将这块绿地扩充成等腰三角形ABD，且扩充部分（△ADC）是以8 m为直角边长的直角三角形.
（1）在图1中，当AB＝AD＝ 10 m时，△ABD的周长为 32 m；
（2）在图2中，当BA＝BD＝ 10 m时，△ABD的周长为 （20＋4） m；
（3）在图3中，当DA＝DB时，求△ABD的周长.
解：设DC＝x m，∵AD＝BD，
∴AD＝BD＝（6＋x）m.
在Rt△ADC中，根据勾股定理，得
DC2＋AC2＝AD2，即x2＋82＝（6＋x）2.
解得x＝.
∵AC＝8 m，BC＝6 m，
∴根据勾股定理，得
AB＝＝＝10（m）.
故当DA＝DB时，△ABD的周长为AD＋BD＋AB＝2×（＋6）＋10＝（m）.
第3课时 勾股定理的逆定理
@基础分点练
知识点1 勾股定理的逆定理
1.（涟源市期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ D ）
A.1，2，3 B.4，5，6
C.1，， D.9，12，15
2.满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ D ）
A.BC＝1，AC＝2，AB＝
B.BC∶AC∶AB＝3∶4∶5
C.BC2－AC2＝AB2
D.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
3.如图，点D为△ABC的边BC上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则BC的长为（ B ）
A.13 B.14
C.15 D.16
4.若三角形的三边长分别为，，2，则此三角形的面积为 .
5.如图，在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，AC＝10 cm，D是AC的中点，则BD＝ 5 cm.
6.如图，在正方形网格中，小正方形的边长都是1，则△ABC的形状是 直角 三角形.
7.如图，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，则∠ABD＝ 90° .
8.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，判断下列三角形是不是直角三角形.若是直角三角形，请判断哪一个角是直角.
（1）a＝26，b＝10，c＝24；
（2）a＝5，b＝7，c＝9；
（3）a＝2，b＝，c＝.
解：（1）∵a＝26，b＝10，c＝24，
∴a2＝676，b2＝100，c2＝576.
∵100＋576＝676，即b2＋c2＝a2，
∴此三角形是直角三角形，∠A是直角.
（2）∵a＝5，b＝7，c＝9，
∴a2＝25，b2＝49，c2＝81.
∵25＋49＝74≠81，
∴此三角形不是直角三角形.
（3）∵a＝2，b＝，c＝，
∴a2＝4，b2＝3，c2＝7.
∵4＋3＝7，即a2＋b2＝c2，
∴此三角形是直角三角形，∠C是直角.
知识点2 勾股数
9.（株洲期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.下列各组数中，属于“勾股数”的是（ B ）
A.1，2，3 B.3，4，5
C.4，5，6 D.5，6，7
10.观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…；请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： 11，60，61 .
@中档提分训练
11.△ABC的三边长a，b，c满足（a－b）2＋＋｜c－3｜＝0，则△ABC是（ D ）
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
12.（泸州中考）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝（m2－n2），b＝mn，c＝（m2＋n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数.下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ C ）
A.3，4，5 B.5，12，13
C.6，8，10 D.7，24，25
13.（娄底月考）五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列示意图中正确的是（ C ）
14.如图所示的是2×5的正方形网格，点A，B，P都在网格点上，则∠APB＝ 135° .
15.一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求此木板的面积.
解：连接AC，在△ABC中，AB＝4，BC＝3，
∠B＝90°，
根据勾股定理，得
AC＝＝5.
在△ACD中，AC＝5，CD＝12，AD＝13，
∵122＋52＝132，即CD2＋AC2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°.
∴木板的面积为S△ACD－S△ABC＝×5×12－×3×4＝24.
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16.【探究型】在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）.
（1）当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为 锐角 三角形；当△ABC三边分别为6，8，11时，△ABC为 钝角 三角形.
（2）猜想，当a2＋b2 ＞ c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2 ＜ c2时，△ABC为钝角三角形.
（3）当a＝2，b＝4时，判断△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围.
解：∵c为最长边，2＋4＝6，
∴4≤c＜6，a2＋b2＝22＋42＝20，
①a2＋b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，
∴当4≤c＜2时，△ABC是锐角三角形；
②a2＋b2＝c2，即c2＝20，c＝2，
∴当c＝2时，△ABC是直角三角形；
③a2＋b2＜c2，即c2＞20，c＞2，
∴当2＜c＜6时，△ABC是钝角三角形.
