1.3 直角三角形全等的判定
@基础分点练
知识点1 直角三角形全等的判定
1.如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是（ A ）
A.HL B.SAS
C.ASA D.AAS
第1题图
2.（武冈市期末）如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，AC＝BE.证明Rt△ACD≌Rt△BEF不是利用“HL”的条件是（ B ）
第2题图
A.AD＝BF B.AC∥BE
C.CD＝EF D.AF＝BD
3.如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE，∠A＝50°，则∠D＝ 50° .
第3题图
4.如图，AD⊥BC于点D，AD＝BD，AC＝BE.若DC＝2，则DE＝ 2 .
第4题图
5.如图，AB，CD相交于点O，AC＝BD，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F，且CE＝DF.求证：AC∥BD.
证明：∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴∠AEC＝∠BFD＝90°.
在Rt△AEC和Rt△BFD中，
∴Rt△AEC≌Rt△BFD（HL），
∴∠C＝∠D，∴AC∥BD.
知识点2 作直角三角形
6.已知Rt△ABC，求作Rt△A'B'C'，使AB＝A'B'，AC＝A'C'.
作法：（1）作∠MB'N＝90°.
（2）在射线B'M上截取B'A'＝BA.
（3）以点A'为圆心，AC的长为半径画弧，交射线B'N于点C'.
（4）连接A'C'，则Rt△A'B'C'即为所求.
知识点3 直角三角形全等的灵活运用
7.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ B ）
A.两条直角边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一个锐角和一条直角边对应相等
D.斜边和一条直角边对应相等
8.如图，点C，F在线段BE上，∠ABC＝∠DEF＝90°，BC＝EF，请只添加一个合适的条件，使△ABC≌△DEF.
（1）根据“ASA”需添加的条件是 ∠ACB＝∠DFE或AC∥DF ；
（2）根据“AAS”需添加的条件是 ∠A＝∠D ；
（3）根据“SAS”需添加的条件是 AB＝DE ；
（4）根据“HL”需添加的条件是 AC＝DF .
@中档提分训练
9.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，连接AO.如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形有（ C ）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
第9题图
10.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE相交于点H.已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是（ A ）
第10题图
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D，B，C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝ 7 .
第11题图
12.【方程思想】如图，在长方形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝12 cm，点P从点B出发，以2 cm/s的速度沿边BC向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以v cm/s的速度沿边CD向点D运动，到达点D停止，规定其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当v＝ 2或 时，△ABP与△PCQ全等.
第12题图
13.如图，B，F，C，E四点在同一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝CE.求证：∠B＝∠E.
证明：∵BF＝CE，∴BC＝EF.
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）.
∴∠B＝∠E.
@拓展素养训练
14.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.
（1）如图1，若点B，C在DE的同侧，且AD＝CE.求证：AB⊥AC；
图1
解：（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°.
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）.
∴∠DAB＝∠ECA.
∵∠EAC＋∠ACE＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°.
∴∠BAC＝180°－（∠BAD＋∠CAE）＝90°.
∴AB⊥AC.
（2）如图2，若点B，C在DE的两侧，且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由.
图2
解：（2）AB⊥AC.
证明：同（1）可证Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）.
∴∠DAB＝∠ECA.
∵∠CAE＋∠ECA＝90°，
∴∠CAE＋∠BAD＝90°，
即∠BAC＝90°，∴AB⊥AC.1.3 直角三角形全等的判定
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知识点1 直角三角形全等的判定
1.如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是（ ）
A.HL B.SAS
C.ASA D.AAS
第1题图
2.（武冈市期末）如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，AC＝BE.证明Rt△ACD≌Rt△BEF不是利用“HL”的条件是（ ）
第2题图
A.AD＝BF B.AC∥BE
C.CD＝EF D.AF＝BD
3.如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE，∠A＝50°，则∠D＝ .
第3题图
4.如图，AD⊥BC于点D，AD＝BD，AC＝BE.若DC＝2，则DE＝ .
第4题图
5.如图，AB，CD相交于点O，AC＝BD，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F，且CE＝DF.求证：AC∥BD.
知识点2 作直角三角形
6.已知Rt△ABC，求作Rt△A'B'C'，使AB＝A'B'，AC＝A'C'.
知识点3 直角三角形全等的灵活运用
7.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A.两条直角边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一个锐角和一条直角边对应相等
D.斜边和一条直角边对应相等
8.如图，点C，F在线段BE上，∠ABC＝∠DEF＝90°，BC＝EF，请只添加一个合适的条件，使△ABC≌△DEF.
（1）根据“ASA”需添加的条件是 ；
（2）根据“AAS”需添加的条件是 ；
（3）根据“SAS”需添加的条件是 ；
（4）根据“HL”需添加的条件是 .
@中档提分训练
9.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，连接AO.如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形有（ ）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
第9题图
10.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE相交于点H.已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是（ ）
第10题图
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D，B，C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝ .
第11题图
12.【方程思想】如图，在长方形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝12 cm，点P从点B出发，以2 cm/s的速度沿边BC向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以v cm/s的速度沿边CD向点D运动，到达点D停止，规定其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当v＝ 时，△ABP与△PCQ全等.
第12题图
13.如图，B，F，C，E四点在同一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝CE.求证：∠B＝∠E.
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14.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.
（1）如图1，若点B，C在DE的同侧，且AD＝CE.求证：AB⊥AC；
图1
（2）如图2，若点B，C在DE的两侧，且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由.
图2
