1.4 角平分线的性质
第1课时 角平分线的性质和判定
@基础分点练
知识点1 角平分线的性质
1.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D.若AD＝2，则点D到BC的距离为（ ）
A.1 B.
C. D.2
2.如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线的性质填空：
（1）若∠1＝∠2，则BC＝ ；
（2）若∠3＝∠4，则 ＝AB.
第2题图
3.（长沙中考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为 .
第3题图
4.（教材P24练习T2变式）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且BD＝CD.求证：BE＝CF.
知识点2 角平分线的判定
5.已知△ABC，两个完全一样的三角板如图所示摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）
A.∠A的平分线上
B.边AC的高上
C.边BC的垂直平分线上
D.边AB的中线上
6.（株洲期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）A.M点 B.N点 C.P点 D.Q点
第6题图
7.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，则DE的长为 .
第7题图
8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，F分别在边CB和AC上，DE⊥AB，垂足为E，且BD＝DF，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
@中档提分训练
9.（益阳期末）三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A.三条高线的交点
B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边垂直平分线的交点
10.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB＝8 cm，AC＝6 cm，则S△ABD∶S△ACD为（ ）
A.9∶16 B.3∶4
C.16∶9 D.4∶3
第10题图
【变式】如图，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为12，18，24，O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC为（ ）
变式题图
A.1∶1∶1 B.1∶2∶3
C.2∶3∶4 D.3∶4∶5
11.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，作射线BP交AC于点F.已知CF＝3，AF＝5，则BF的长为 .
12.（达州中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝.
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线交BC于点P（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作图形中，求△ABP的面积.
@拓展素养训练
13.【逆向思维】如图，已知BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，且AB＋BC＝2BE.
（1）求证：∠BAD＋∠BCD＝180°；
（2）若将条件“AB＋BC＝2BE”与结论“∠BAD＋∠BCD＝180°”互换，结论还成立吗？请说明理由.
第2课时 角平分线的性质和判定的运用
@基础分点练
知识点 角平分线的性质和判定的运用
1.如图，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于点D，若CB＝CD，且∠1＝30°，则∠CAD的度数是（ ）
A.90° B.60°
C.30° D.15°
第1题图
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠A的平分线，DE⊥AB于点E，CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积为（ ）
第2题图
A.4 B.6 C.8 D.12
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AE交BC于点E，ED⊥AB于点D，若△ABC的周长为12，AC＝3，则△BDE的周长为（ ）A.9 B.8
C.7 D.6
第3题图
4.小明将两把完全相同的长方形直尺（单位：cm）按如图所示放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C，P在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，则OC的长度是 cm.
第4题图
5.如图，AC⊥OD，AE⊥OF，BD⊥OD，BF⊥OF，AC＝AE，求证：BD＝BF.
6.如图，在小河南岸、公路西侧有一个工厂，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到点B的距离为300 m，在图上标出工厂的位置，并说明理由.
7.（教材P26习题T3变式）如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，点M，N分别是垂足，求证：PM＝PN.
@中档提分训练
8.如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE.若AD＝8，则PE的最小值为（ ）
A.8 B.6
C.5 D.4
第8题图
9.【整体思想】如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，已知DE＝1，△ABC的面积是5，则△ABC的周长是 .
第9题图
10.（教材P26习题T5变式）如图，点O是△ABC的两外角平分线的交点，下列结论：①OB＝OC；②点O到AB，AC的距离相等；③点O到△ABC的三边的距离相等；④点O在∠A的平分线上.其中结论正确的是 （填序号）.
11.如图，有一块三角形空地，其三边长分别为20 m，30 m，40 m，现在要把它分成面积比为2∶3∶4的三部分，分别种植不同的花，请你设计出一个方案，并说明理由.
@拓展素养训练
12.（长沙期末）如图，在△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°.
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC＋CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积.1.4 角平分线的性质
第1课时 角平分线的性质和判定
@基础分点练
知识点1 角平分线的性质
1.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D.若AD＝2，则点D到BC的距离为（ D ）
A.1 B.
C. D.2
2.如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线的性质填空：
（1）若∠1＝∠2，则BC＝ CD ；
（2）若∠3＝∠4，则 AD ＝AB.
第2题图
3.（长沙中考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为 2.4 .
第3题图
4.（教材P24练习T2变式）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且BD＝CD.求证：BE＝CF.
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
又∵BD＝CD，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）.
∴BE＝CF.
知识点2 角平分线的判定
5.已知△ABC，两个完全一样的三角板如图所示摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ A ）
A.∠A的平分线上
B.边AC的高上
C.边BC的垂直平分线上
D.边AB的中线上
6.（株洲期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ A ）A.M点 B.N点 C.P点 D.Q点
第6题图
7.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，则DE的长为 5 .
第7题图
8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，F分别在边CB和AC上，DE⊥AB，垂足为E，且BD＝DF，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
证明：在Rt△CDF和Rt△EDB中，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）.
∴CD＝ED.
又∵DE⊥AB，∠C＝90°，
∴AD平分∠BAC.
@中档提分训练
9.（益阳期末）三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ C ）
A.三条高线的交点
B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边垂直平分线的交点
10.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB＝8 cm，AC＝6 cm，则S△ABD∶S△ACD为（ D ）
A.9∶16 B.3∶4
C.16∶9 D.4∶3
第10题图
【变式】如图，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为12，18，24，O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC为（ C ）
变式题图
A.1∶1∶1 B.1∶2∶3
C.2∶3∶4 D.3∶4∶5
11.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，作射线BP交AC于点F.已知CF＝3，AF＝5，则BF的长为 3 .
12.（达州中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝.
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线交BC于点P（不写作法，保留作图痕迹）；
解：（1）如图所示，AP即为所求.
（2）在（1）所作图形中，求△ABP的面积.
解：（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝，
∴AC＝＝2.
过点P作PD⊥AB于点D，
∵AP是∠BAC的平分线，∴PD＝PC.
∵S△ABC＝S△ACP＋S△ABP，
∴AC·PC＋AB·PD＝AC·BC.
∴2PD＋5PD＝2，解得PD＝.
∴S△ABP＝AB·PD＝×5×＝.
@拓展素养训练
13.【逆向思维】如图，已知BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，且AB＋BC＝2BE.
（1）求证：∠BAD＋∠BCD＝180°；
解：（1）证明：过点D作DF⊥BA，垂足为F，
∵AB＋BC＝2BE，
∴AB＝BE＋BE－BC＝BE＋BE－BE－EC＝BE－EC.
∴AB＋EC＝BE.
∵BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC，DF⊥BA，∴DF＝DE.
在Rt△BFD和Rt△BED中，
∴Rt△BFD≌Rt△BED（HL）.∴FB＝BE.
∴AB＋AF＝BE.
又∵AB＋EC＝BE，∴AF＝EC.
在△AFD和△CED中，
∴△AFD≌△CED（SAS）.∴∠DCE＝∠DAF.
∵∠BAD＋∠DAF＝180°，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°.
（2）若将条件“AB＋BC＝2BE”与结论“∠BAD＋∠BCD＝180°”互换，结论还成立吗？请说明理由.
解：（2）可以互换，结论仍然成立.理由如下：
过点D作DF⊥BA，垂足为F，
∵∠BAD＋∠FAD＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，
∴∠DCE＝∠DAF.
∵BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC，DF⊥BA，∴DF＝DE.
在△AFD和△CED中，
∴△AFD≌△CED（AAS）.∴AF＝CE.
在Rt△BFD和Rt△BED中
∴Rt△BFD≌Rt△BED（HL）.∴FB＝BE.
∴AB＋AF＝BE.
∴AB＝BE－AF＝BE－EC＝BE－（BC－BE）＝BE－BC＋BE＝2BE－BC，
即AB＋BC＝2BE.
第2课时 角平分线的性质和判定的运用
@基础分点练
知识点 角平分线的性质和判定的运用
1.如图，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于点D，若CB＝CD，且∠1＝30°，则∠CAD的度数是（ C ）
A.90° B.60°
C.30° D.15°
第1题图
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠A的平分线，DE⊥AB于点E，CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积为（ B ）
第2题图
A.4 B.6 C.8 D.12
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AE交BC于点E，ED⊥AB于点D，若△ABC的周长为12，AC＝3，则△BDE的周长为（ D ）A.9 B.8
C.7 D.6
第3题图
4.小明将两把完全相同的长方形直尺（单位：cm）按如图所示放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C，P在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，则OC的长度是 3 cm.
第4题图
5.如图，AC⊥OD，AE⊥OF，BD⊥OD，BF⊥OF，AC＝AE，求证：BD＝BF.
证明：∵AC⊥OD，AE⊥OF，
AC＝AE，
∴OA平分∠DOF.
∵BD⊥OD，BF⊥OF，
∴BD＝BF.
6.如图，在小河南岸、公路西侧有一个工厂，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到点B的距离为300 m，在图上标出工厂的位置，并说明理由.
解：作图略，作法：作小河与公路夹角的平分线BM，在BM上截取BP＝1.5 cm，则点P即为所求的工厂的位置.理由略.
7.（教材P26习题T3变式）如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，点M，N分别是垂足，求证：PM＝PN.
证明：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD.
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD（SAS）.
∴∠ADB＝∠CDB.
∴∠ADP＝∠CDP.
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN.
@中档提分训练
8.如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE.若AD＝8，则PE的最小值为（ D ）
A.8 B.6
C.5 D.4
第8题图
9.【整体思想】如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，已知DE＝1，△ABC的面积是5，则△ABC的周长是 10 .
第9题图
10.（教材P26习题T5变式）如图，点O是△ABC的两外角平分线的交点，下列结论：①OB＝OC；②点O到AB，AC的距离相等；③点O到△ABC的三边的距离相等；④点O在∠A的平分线上.其中结论正确的是 ②③④ （填序号）.
11.如图，有一块三角形空地，其三边长分别为20 m，30 m，40 m，现在要把它分成面积比为2∶3∶4的三部分，分别种植不同的花，请你设计出一个方案，并说明理由.
解：方案如下：分别作∠ACB和∠ABC的平分线相交于点P，连接PA，则△ABP，△ACP，△BCP的面积之比就是2∶3∶4.
理由如下：过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PH⊥BC于点H.
∴S△ABP＝AB·PE＝10PE，
S△ACP＝AC·PF＝15PF，
S△BCP＝BC·PH＝20PH.
∵点P是∠ACB和∠ABC的平分线的交点，
∴PE＝PH＝PF.
∴S△ABP∶S△ACP∶S△BCP＝10PE∶15PF∶20PH＝2∶3∶4.
@拓展素养训练
12.（长沙期末）如图，在△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°.
（1）求∠ACE的度数；
解：（1）∵∠ACB＝100°，
∴∠ACD＝180°－100°＝80°.
∵EH⊥BD，
∴∠CHE＝90°.
∵∠CEH＝50°，∴∠ECH＝90°－50°＝40°，
∴∠ACE＝80°－40°＝40°.
（2）求证：AE平分∠CAF；
解：（2）证明：过点E分别作EM⊥BF于点M，EN⊥AC于点N，
∵BE平分∠ABC，EH⊥BD，
∴EM＝EH，
∵∠ACE＝∠ECH＝40°，
∴CE平分∠ACD，∴EN＝EH，
∴EM＝EN，∴AE平分∠CAF.
（3）若AC＋CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积.
解：（3）∵AC＋CD＝14，S△ACD＝21，
EM＝EN＝EH，
∴S△ACD＝S△ACE＋S△CED＝AC·EN＋CD·EH＝（AC＋CD）·EM＝21，
解得EM＝3.
∴S△ABE＝AB·EM＝×8.5×3＝.
