2.1 多边形
第1课时 多边形及其内角和
@基础分点练
知识点1 多边形的有关概念
1.（河北中考）下列图形为正多边形的是（ D ）
2.若一个多边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则这个多边形是（ B ）
A.六边形 B.八边形
C.九边形 D.十边形
3.一个正多边形的周长是100，边长为10，则正多边形的边数n＝ 10 .
4.（1）画出右图多边形的全部对角线；
解：如图所示.
（2）从点A出发作对角线，把这个五边形分为 3 个三角形.
知识点2 多边形的内角和
5.（云南中考）一个十二边形的内角和等于（ D ）
A.2 160° B.2 080°
C.1 980° D.1 800°
6.如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（ B ）
7.已知一个正多边形的每个内角都等于120°，则这个正多边形是 正六边形 .
8.（重庆中考A卷）如图，正五边形ABCDE中，连接AC，那么∠BAC的度数为 36° .
9.已知一个多边形，它的内角和是三角形内角和的8倍，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n－2）·180°＝8×180°.
解得n＝10.
故这个多边形的边数为10.
10.如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，求图形中∠AED的度数.
解：∵AB∥CD，
∴∠B＝180°－∠C＝120°.
∵五边形ABCDE的内角和为（5－2）×180°＝540°，
∴∠AED＝540°－150°－120°－60°－160°＝50°.
@中档提分训练
11.在学习完多边形后，小华同学将一个五边形沿如图所示的直线l剪掉一个角后，得到一个多边形，下列说法正确的是（ C ）
A.这个多边形是一个五边形
B.从这个多边形的顶点A出发，最多可以画4条对角线
C.从顶点A出发的所有对角线将这个多边形分成4个三角形
D.以上说法都不正确
12.（宜宾中考）第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，算出这个正多边形的边数是（ D ）
A.9 B.10
C.11 D.12
13.如图，在五边形ABCDE中，∠C＝90°，∠D＝70°，∠E＝130°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，则∠P的度数为 55° .
第13题图
14.如图，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则∠3＋∠1－∠2＝ 24° .
第14题图
15.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝106°，∠BCD＝64°，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折得到△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，求：
（1）∠F的度数；
解：（1）∵MF∥AD，FN∥DC，∠BAD＝106°，∠BCD＝64°，
∴∠BMF＝106°，∠FNB＝64°.
依据翻折可得∠FMN＝∠BMN＝∠BMF＝53°，
∠FNM＝∠BNM＝∠FNB＝32°.
∴∠F＝∠B＝180°－53°－32°＝95°.
（2）∠D的度数.
解：（2）∵∠F＝∠B＝95°，
∴∠D＝（4－2）×180°－106°－64°－95°＝95°.
@拓展素养训练
16.【逻辑推理】（1）在图1中，猜想：∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠A2＋∠B2＋∠C2的度数，并说明你猜想的理由；
解：∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠A2＋∠B2＋∠C2＝360°，理由：连接B1B2.
∵∠A2＋∠C1＝∠B1B2A2＋∠B2B1C1，
∴∠A1＋∠A1B1C1＋∠C1＋∠A2＋∠A2B2C2＋∠C2＝∠A1＋∠A1B1C1＋∠B1B2A2＋∠B2B1C1＋∠A2B2C2＋∠C2＝∠A1＋∠A1B1B2＋∠B1B2C2＋∠C2＝360°.
（2）如果把图1称为2环三角形，它的内角和为∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠A2＋∠B2＋∠C2；图2称为2环四边形，它的内角和为∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠D1＋∠A2＋∠B2＋∠C2＋∠D2；图3称为2环五边形，它的内角和为∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠D1＋∠E1＋∠A2＋∠B2＋∠C2＋∠D2＋∠E2.请你猜一猜，2环n边形的内角和为 360（n－2） 度（要求直接写出结论）.
第2课时 多边形的外角和
@基础分点练
知识点1 多边形的外角和
1.（涟源市模拟）正五边形的外角和为（ C ）
A.72° B.180°
C.360° D.540°
2.一个多边形的边数增加2，则这个多边形的外角和（ D ）
A.增加180° B.增加360°
C.增加540° D.不变
3.【注重传统文化】图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1的度数为（ A ）
图1 图2
A.45° B.60° C.110° D.135°
4.若一个多边形的每一个外角都是45°，则它是 八 边形；若一个多边形的每一个内角都等于140°，则这个多边形是 九 边形.
5.一个多边形的内角和与外角和的差为1 260°，求它的边数.
解：设多边形的边数是n，根据题意，得
（n－2）·180°－360°＝1 260°.
解得n＝11.
答：这个多边形的边数是11.
【变式】已知一个多边形，它的内角和比外角和的4倍少180°，求这个多边形的总的对角线条数.
解：设多边形的边数为n，根据题意，得
（n－2）·180°＝360°×4－180°.
解得n＝9.
则这个多边形的总的对角线条数为＝27.
6.在各个内角都相等的多边形中，如果一个外角等于一个内角的20％，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的每一个内角为x，根据题意，得
180°－x＝20％x.
解得x＝150°.
则这个多边形的边数为360°÷（180°－150°）＝12.
知识点2 四边形的不稳定性
7.四边形不具有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是（ C ）
A.四边形的边长
B.四边形的周长
C.四边形内角的大小
D.四边形的内角和
8.下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（ B ）
9.如图，伸缩晾衣架利用的几何原理是四边形的 不稳定性 .
@中档提分训练
10.若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（ C ）
A.45° B.60°
C.72° D.90°
11.若一个多边形的每个内角都相等，则一个内角与一个外角的度数之比不可能是（ A ）
A.5∶4 B.5∶2
C.2∶1 D.1∶1
12.如图，在五边形ABCDE中，AB∥ED，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的外角，则∠1＋∠2＋∠3的度数为（ A ）
A.180° B.210°C.240° D.270°
第12题图
13.如图，小明从点A出发沿直线前进10 m到达点B，向左转45°后又沿直线前进10 m到达点C，再向左转45°后沿直线前进10 m到达点D，…，照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为 80 m.
第13题图
14.如图，求∠A＋∠D＋∠B＋∠E＋∠C＋∠F的度数.
解：由图，可得
∠A＋∠D＋∠B＋∠E＋∠C＋∠F的和正好是中间小三角形的三个外角之和，
∵三角形的外角和是360°，
∴∠A＋∠D＋∠B＋∠E＋∠C＋∠F＝360°.
@拓展素养训练
15.【类比探究思想】（1）如图1、图2，试探究∠1，∠2与∠3，∠4之间的数量关系；
解：（1）∵∠3，∠4，∠5，∠6是四边形的四个内角，
∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝180°×（4－2）＝360°.
∴∠3＋∠4＝360°－（∠5＋∠6）.
∵∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°，
∴∠1＋∠2＝360°－（∠5＋∠6）.
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4.
（2）如果我们把∠1，∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；
解：（2）四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和.
（3）用你发现的结论解决下列问题：
如图3，AE，DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD，∠MDA的平分线，∠B＋∠C＝240°，求∠E的度数.
解：（3）∵∠B＋∠C＝240°，
∴∠MDA＋∠NAD＝240°.
∵AE，DE分别是∠NAD，∠MDA的平分线，
∴∠ADE＝∠MDA，∠DAE＝∠NAD，
∴∠ADE＋∠DAE＝（∠MDA＋∠NAD）＝×240°＝120°.
∴∠E＝180°－（∠ADE＋∠DAE）＝180°－120°＝60°.2.1 多边形
第1课时 多边形及其内角和
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知识点1 多边形的有关概念
1.（河北中考）下列图形为正多边形的是（ ）
2.若一个多边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则这个多边形是（ ）
A.六边形 B.八边形
C.九边形 D.十边形
3.一个正多边形的周长是100，边长为10，则正多边形的边数n＝ .
4.（1）画出右图多边形的全部对角线；
（2）从点A出发作对角线，把这个五边形分为 个三角形.
知识点2 多边形的内角和
5.（云南中考）一个十二边形的内角和等于（ ）
A.2 160° B.2 080°
C.1 980° D.1 800°
6.如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（ ）
7.已知一个正多边形的每个内角都等于120°，则这个正多边形是 .
8.（重庆中考A卷）如图，正五边形ABCDE中，连接AC，那么∠BAC的度数为 .
9.已知一个多边形，它的内角和是三角形内角和的8倍，求这个多边形的边数.
10.如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，求图形中∠AED的度数.
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11.在学习完多边形后，小华同学将一个五边形沿如图所示的直线l剪掉一个角后，得到一个多边形，下列说法正确的是（ ）
A.这个多边形是一个五边形
B.从这个多边形的顶点A出发，最多可以画4条对角线
C.从顶点A出发的所有对角线将这个多边形分成4个三角形
D.以上说法都不正确
12.（宜宾中考）第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，算出这个正多边形的边数是（ ）
A.9 B.10
C.11 D.12
13.如图，在五边形ABCDE中，∠C＝90°，∠D＝70°，∠E＝130°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，则∠P的度数为 .
第13题图
14.如图，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则∠3＋∠1－∠2＝ .
第14题图
15.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝106°，∠BCD＝64°，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折得到△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，求：
（1）∠F的度数；
（2）∠D的度数.
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16.【逻辑推理】（1）在图1中，猜想：∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠A2＋∠B2＋∠C2的度数，并说明你猜想的理由；
（2）如果把图1称为2环三角形，它的内角和为∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠A2＋∠B2＋∠C2；图2称为2环四边形，它的内角和为∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠D1＋∠A2＋∠B2＋∠C2＋∠D2；图3称为2环五边形，它的内角和为∠A1＋∠B1＋∠C1＋∠D1＋∠E1＋∠A2＋∠B2＋∠C2＋∠D2＋∠E2.请你猜一猜，2环n边形的内角和为 度（要求直接写出结论）.
第2课时 多边形的外角和
@基础分点练
知识点1 多边形的外角和
1.（涟源市模拟）正五边形的外角和为（ ）
A.72° B.180°
C.360° D.540°
2.一个多边形的边数增加2，则这个多边形的外角和（ ）
A.增加180° B.增加360°
C.增加540° D.不变
3.【注重传统文化】图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1的度数为（ ）
图1 图2
A.45° B.60° C.110° D.135°
4.若一个多边形的每一个外角都是45°，则它是 边形；若一个多边形的每一个内角都等于140°，则这个多边形是 边形.
5.一个多边形的内角和与外角和的差为1 260°，求它的边数.
【变式】已知一个多边形，它的内角和比外角和的4倍少180°，求这个多边形的总的对角线条数.
6.在各个内角都相等的多边形中，如果一个外角等于一个内角的20％，求这个多边形的边数.
知识点2 四边形的不稳定性
7.四边形不具有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是（ ）
A.四边形的边长
B.四边形的周长
C.四边形内角的大小
D.四边形的内角和
8.下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（ ）
9.如图，伸缩晾衣架利用的几何原理是四边形的 .
@中档提分训练
10.若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（ ）
A.45° B.60°
C.72° D.90°
11.若一个多边形的每个内角都相等，则一个内角与一个外角的度数之比不可能是（ ）
A.5∶4 B.5∶2
C.2∶1 D.1∶1
12.如图，在五边形ABCDE中，AB∥ED，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的外角，则∠1＋∠2＋∠3的度数为（ ）
A.180° B.210°C.240° D.270°
第12题图
13.如图，小明从点A出发沿直线前进10 m到达点B，向左转45°后又沿直线前进10 m到达点C，再向左转45°后沿直线前进10 m到达点D，…，照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为 m.
第13题图
14.如图，求∠A＋∠D＋∠B＋∠E＋∠C＋∠F的度数.
@拓展素养训练
15.【类比探究思想】（1）如图1、图2，试探究∠1，∠2与∠3，∠4之间的数量关系；
（2）如果我们把∠1，∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；
（3）用你发现的结论解决下列问题：
如图3，AE，DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD，∠MDA的平分线，∠B＋∠C＝240°，求∠E的度数.
