2.2.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形边、角的性质
@基础分点练
知识点1 平行四边形的定义
1.如图，点D，E，F分别在△ABC的三边BC，AC，AB上，且DE∥AB，DF∥AC，EF∥BC，则图中共有 个平行四边形，它们分别记作 .
知识点2 平行四边形边的性质
2.如图，在 ABCD中，若AD＝3 cm，AB＝4 cm，则 ABCD的周长是（ ）
A.12 cm B.13 cm
C.14 cm D.16 cm
第2题图
3.如图，在 ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，则 ABCD的面积为（ ）
第3题图
A.30 B.60
C.65 D.
4.如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E.求证：DA＝DE.
知识点3 平行四边形角的性质
5.如图，在平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝100°，则∠B的度数为（ ）
A.50° B.80°
C.100° D.130°
【变式】若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较大的内角是 度.
6.如图，将 ABCD的一边延长至点E，若∠A＝120°，则∠1＝ °.
第6题图
7.如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DC，∠A＝65°，CE⊥BD于点E，则∠BCE＝ °.
第7题图
知识点4 夹在两条平行线间的平行线段相等
8.如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G，则下列说法中错误的是（ ）
A.AB＝CD
B.CE＝FG
C.EG＝CF
D.BD＝EG
@中档提分训练
9.四边形ABCD为平行四边形，则∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以为（ ）
A.1∶2∶3∶4 B.2∶3∶4∶1
C.2∶3∶2∶3 D.2∶3∶3∶2
10.如图，在 ABCD中，E为边BC上的一点，AE，DE分别平分∠BAD，∠CDA.若AE＝6，DE＝8，则AB的长为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
11.（遂宁中考）如图，在 ABCD中，BD为对角线，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AD于点E，交AB于点F，若AD⊥BD，BD＝4，BC＝8，则AE的长为 .
第11题图
12.如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.
第12题图
（1）若∠EAF＝55°，则∠C＝ °，∠B＝ °；
（2）【面积法】若AE＝4，AF＝6， ABCD的周长为40，则BC＝ .
13.如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F.求证：AE＝CF.
@拓展素养训练
14.如图，在 ABCD中，点E，F分别在DB和BD的延长线上，且BE＝DF，连接CE，CF，AF.
（1）求证：AF＝CE；
（2）若AD⊥BD，∠BAD＝60°，AD＝2，BE＝1，求△CEF的面积.
第2课时 平行四边形对角线的性质
@基础分点练
知识点 平行四边形的对角线互相平分
1.平行四边形的对角线一定具有的性质是（ ）
A.相等 B.互相平分
C.互相垂直 D.互相垂直且相等
2.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，DO＋CO＝16，则对角线AC与BD的和是（ ）
A.16 B.21
C.32 D.42
第2题图
3.已知 ABCD的对角线AC，BD交于点O，AD＝8，AB＝6，△OBC的周长为20，则△AOB的周长为 .
第3题图
4.如图， ABCD的对角线AC与BD交于点O，且△AOB的面积是3 cm2，则△ABC的面积是 cm2， ABCD的面积是 cm2.
第4题图
【变式】如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝8，边BC上的高为4，则图中阴影部分的面积为 .
变式题图
5.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OA，OC的中点，求证：BE＝DF.
6.如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且OA∶OB＝2∶3.
（1）求AC的长；
（2）求 ABCD的面积.
@中档提分训练
7.在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝4，则AB的取值范围是（ ）
A.AB＜10 B.AB＞2
C.2＜AB＜10 D.1＜AB＜5
8.（遂宁中考）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若 ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（ ）
A.28 B.24
C.21 D.14
第8题图
9.如图，在 ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝1.5，则四边形BCEF的周长为 .
第9题图
10.（教材P44练习T1变式）在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长短3 cm，此平行四边形的周长是22 cm，则AD＝ cm，AB＝ cm.
11.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，DB⊥AD，BF⊥CD于点F，OB＝1.5，AD＝4，求DC，BF的长.
12.如图，已知 ABCD和 EBFD的顶点A，E，F，C在一条直线上.求证：AE＝CF.
@拓展素养训练
13.【推理能力】（重庆中考A卷）学行四边形后，小虹进行了拓展性研究.她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分.她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论.请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交DC于点E，交AB于点F，垂足为O.（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为O.求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB.
∴∠ECO＝ .
∵EF垂直平分AC，
∴ .
又∵∠EOC＝ ，
∴△COE≌△AOF（ASA）.
∴OE＝OF.
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征.请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线 .2.2.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形边、角的性质
@基础分点练
知识点1 平行四边形的定义
1.如图，点D，E，F分别在△ABC的三边BC，AC，AB上，且DE∥AB，DF∥AC，EF∥BC，则图中共有 3 个平行四边形，它们分别记作 AFDE， BDEF， CEFD .
知识点2 平行四边形边的性质
2.如图，在 ABCD中，若AD＝3 cm，AB＝4 cm，则 ABCD的周长是（ C ）
A.12 cm B.13 cm
C.14 cm D.16 cm
第2题图
3.如图，在 ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，则 ABCD的面积为（ B ）
第3题图
A.30 B.60
C.65 D.
4.如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E.求证：DA＝DE.
证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AED，
∴∠DAE＝∠AED，
∴DA＝DE.
知识点3 平行四边形角的性质
5.如图，在平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝100°，则∠B的度数为（ D ）
A.50° B.80°
C.100° D.130°
【变式】若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较大的内角是 120 度.
6.如图，将 ABCD的一边延长至点E，若∠A＝120°，则∠1＝ 60 °.
第6题图
7.如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DC，∠A＝65°，CE⊥BD于点E，则∠BCE＝ 25 °.
第7题图
知识点4 夹在两条平行线间的平行线段相等
8.如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G，则下列说法中错误的是（ D ）
A.AB＝CD
B.CE＝FG
C.EG＝CF
D.BD＝EG
@中档提分训练
9.四边形ABCD为平行四边形，则∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以为（ C ）
A.1∶2∶3∶4 B.2∶3∶4∶1
C.2∶3∶2∶3 D.2∶3∶3∶2
10.如图，在 ABCD中，E为边BC上的一点，AE，DE分别平分∠BAD，∠CDA.若AE＝6，DE＝8，则AB的长为（ B ）
A.4 B.5 C.6 D.7
11.（遂宁中考）如图，在 ABCD中，BD为对角线，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交AD于点E，交AB于点F，若AD⊥BD，BD＝4，BC＝8，则AE的长为 5 .
第11题图
12.如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.
第12题图
（1）若∠EAF＝55°，则∠C＝ 125 °，∠B＝ 55 °；
（2）【面积法】若AE＝4，AF＝6， ABCD的周长为40，则BC＝ 12 .
13.如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F.求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD.
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠BAE＝∠BAD，∠FCD＝∠BCD.
∴∠BAE＝∠FCD.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA）.
∴AE＝CF.
@拓展素养训练
14.如图，在 ABCD中，点E，F分别在DB和BD的延长线上，且BE＝DF，连接CE，CF，AF.
（1）求证：AF＝CE；
解：（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∴∠ADB＝∠CBD.
∴∠ADF＝∠CBE.
又∵DF＝BE，
∴△ADF≌△CBE（SAS）.
∴AF＝CE.
（2）若AD⊥BD，∠BAD＝60°，AD＝2，BE＝1，求△CEF的面积.
（2）∵AD⊥BD，∠BAD＝60°，AD∥BC，
∴∠ABD＝30°，BC⊥BD.
∵BC＝AD＝2，
∴AB＝2AD＝4.
∴BD＝＝＝6.
∵DF＝BE＝1，
∴EF＝DF＋BD＋BE＝8.
∴S△CEF＝EF·BC＝×8×2＝8.
第2课时 平行四边形对角线的性质
@基础分点练
知识点 平行四边形的对角线互相平分
1.平行四边形的对角线一定具有的性质是（ B ）
A.相等 B.互相平分
C.互相垂直 D.互相垂直且相等
2.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，DO＋CO＝16，则对角线AC与BD的和是（ C ）
A.16 B.21
C.32 D.42
第2题图
3.已知 ABCD的对角线AC，BD交于点O，AD＝8，AB＝6，△OBC的周长为20，则△AOB的周长为 18 .
第3题图
4.如图， ABCD的对角线AC与BD交于点O，且△AOB的面积是3 cm2，则△ABC的面积是 6 cm2， ABCD的面积是 12 cm2.
第4题图
【变式】如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝8，边BC上的高为4，则图中阴影部分的面积为 16 .
变式题图
5.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OA，OC的中点，求证：BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵点E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE＝OA，OF＝OC.
∴OE＝OF.
又∵∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE≌△DOF（SAS）.
∴BE＝DF.
6.如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且OA∶OB＝2∶3.
（1）求AC的长；
解：（1）∵OA∶OB＝2∶3，
则设OA＝2x，OB＝3x.
∵AC⊥AB，AB＝2，
∴OA2＋AB2＝OB2，
即（2x）2＋（2）2＝（3x）2.
解得x1＝2，x2＝－2（舍去）.
∴OA＝4.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2OA＝8.
（2）求 ABCD的面积.
解：（2）S ABCD＝AB·AC＝2×8＝16.
@中档提分训练
7.在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝4，则AB的取值范围是（ D ）
A.AB＜10 B.AB＞2
C.2＜AB＜10 D.1＜AB＜5
8.（遂宁中考）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若 ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（ D ）
A.28 B.24
C.21 D.14
第8题图
9.如图，在 ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝1.5，则四边形BCEF的周长为 10 .
第9题图
10.（教材P44练习T1变式）在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长短3 cm，此平行四边形的周长是22 cm，则AD＝ 4 cm，AB＝ 7 cm.
11.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，DB⊥AD，BF⊥CD于点F，OB＝1.5，AD＝4，求DC，BF的长.
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BD＝2OB＝3.
∵BD⊥AD，
∴AB＝＝5，
∴DC＝AB＝5.
∵S ABCD＝AD·BD＝DC·BF，
∴5BF＝3×4，∴BF＝.
12.如图，已知 ABCD和 EBFD的顶点A，E，F，C在一条直线上.求证：AE＝CF.
证明：连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO＝AC.
∵四边形EBFD是平行四边形，
∴EO＝FO＝EF.
∴AO－EO＝CO－FO，即AE＝CF.
@拓展素养训练
13.【推理能力】（重庆中考A卷）学行四边形后，小虹进行了拓展性研究.她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分.她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论.请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交DC于点E，交AB于点F，垂足为O.（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为O.求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB.
∴∠ECO＝ ∠FAO .
∵EF垂直平分AC，
∴ OA＝OC .
又∵∠EOC＝ ∠FOA ，
∴△COE≌△AOF（ASA）.
∴OE＝OF.
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征.请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线 被一组对边截得的线段被对角线的中点平分 .
