2.2.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定定理1，2
@基础分点练
知识点1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1.如图，在 ABCD中，点E，F是AD的三等分点，点G，H是BC的三等分点，则图中共有平行四边形（ D ）
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
2.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，当CD＝ 5 时，这个四边形是平行四边形.
3.将一条长2 cm不水平的线段向右平移3 cm后，连接对应点得到的图形是 平行四边 形，它的周长是 10 cm.
4.（自贡中考改编）如图，在 ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上.
（1）若点M，N分别是AB，DC的中点，则四边形MBND是 平行四边形 ，依据是 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ；
（2）若AM＝CN，求证：DM＝BN.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵AM＝CN，
∴AB－AM＝CD－CN，
即BM＝DN.又∵BM∥DN，
∴四边形MBND是平行四边形.
∴DM＝BN.
知识点2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
5.在四边形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，CD＝3，要使该四边形是平行四边形，则AD的长为（ B ）
A.3 B.4 C.5 D.6
6.【注重动手操作】如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，则四边形ABCD的形状是 平行四边形 .
7.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠A＝55°，则∠C＝ 55 °.
8.如图，AD⊥AC，BC⊥AC，且AB＝CD，求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵AD⊥AC，BC⊥AC，
∴∠CAD＝∠BCA＝90°.
在Rt△CAD与Rt△ACB中，
∴Rt△CAD≌Rt△ACB（HL）.
∴AD＝BC.
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
@中档提分训练
9.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是（ B ）
A.5
B.10
C.15
D.20
10.已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD.从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法共有（ C ）
A.6种 B.5种 C.4种 D.3种
11.对于命题：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，小明的证明过程（ B ）
已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝BC. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：连接BD， ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD. 又∵AD＝CB，BD＝DB， ∴△ABD≌△CDB（SAS）， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形.
A.已经严谨，不用补充
B.应补充“∠ABD＝∠CDB”
C.应补充“AB＝CD”
D.应补充“DA＝AB”
12.如图，在 BFDE中，A，C分别在DE，BF的延长线上，且AE＝CF.求证：
（1）△ABE≌△CDF；
证明：（1）∵四边形BFDE是平行四边形，
∴∠BED＝∠DFB，BE＝DF.∴∠AEB＝∠CFD.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）.
（2）四边形ABCD是平行四边形.
（2）∵四边形BFDE是平行四边形，
∴DE∥BF，DE＝BF.
∵AE＝CF，
∴AE＋DE＝CF＋BF，即AD＝BC.
∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形.
@拓展素养训练
13.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8，BC＝16，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设运动时间为t秒.
（1）当t＝ 4 时，以点A，B，Q，D为顶点的四边形是平行四边形；
（2）当t＝ 时，以点A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形.
第2课时 平行四边形的判定定理3
@基础分点练
知识点1 对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.下面条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（ B ）
A.一组对角相等
B.对角线互相平分
C.一组对边相等
D.对角线互相垂直
2.小玲的爸爸在做平行四边形框架时，采用如下方法：如图，将两根木条AC，BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种做法的依据是 对角线互相平分的四边形是平行四边形 .
第2题图
3.如图，AO＝OC，BD＝16 cm，则当OB＝ 8 cm时，四边形ABCD是平行四边形.
第3题图
4.（杭州中考）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝FD，连接AE，EC，CF，FA.求证：四边形AECF是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
∵BE＝DF，∴EO＝FO.
∴四边形AECF是平行四边形.
知识点2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
5.下列条件中，能说明四边形ABCD是平行四边形的是（ A ）
A.∠A＝30°，∠B＝150°，∠C＝30°，∠D＝150°
B.∠A＝60°，∠B＝60°，∠C＝120°，∠D＝120°
C.∠A＝60°，∠B＝90°，∠C＝60°，∠D＝150°
D.∠A＝60°，∠B＝70°，∠C＝110°，∠D＝120°
6.下面给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ C ）
A.1∶2∶3∶4 B.2∶2∶3∶3
C.2∶3∶2∶3 D.2∶3∶3∶2
7.在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝48°，则当∠B＝∠D＝ 132 °时，四边形ABCD是平行四边形.
8.在四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠B＋2∠C＝225°，∠B－∠C＝90°.求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵∠B＋2∠C＝225°，∠B－∠C＝90°，
∴∠B＝135°，∠C＝45°.
∴∠D＝360°－∠A－∠B－∠C＝360°－45°－135°－45°＝135°.
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D.
∴四边形ABCD是平行四边形.
@中档提分训练
9.下面条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ C ）
A.∠B＝∠D，∠A＝∠C
B.AB∥CD，AD∥BC
C.AB∥CD，AD＝BC
D.∠B＋∠DAB＝180°，∠B＋∠BCD＝180°
10.（河北中考）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形.（1）～（3）是其作图过程.
（1）作BD的垂直平分线交BD于点O；
（2）连接AO，在AO的延长线上截取OC＝AO；
（3）连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求.
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ C ）
A.两组对边分别平行
B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分
D.一组对边平行且相等
11.如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？
解：四边形BFDE是平行四边形.理由：
在 ABCD中，
∠ABC＝∠CDA，∠A＝∠C，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠1＝∠2＝∠ADC，
∠3＝∠4＝∠ABC.
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4.
∵∠DFB＝∠C＋∠1，∠BED＝∠3＋∠A，
∴∠DFB＝∠BED，
∴四边形BFDE是平行四边形.
@拓展素养训练
12.如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，点E，F分别为垂足，BE＝DF，AF∥CE.
（1）试判断四边形AECF、四边形ABCD的形状，并说明理由；
解：（1）四边形AECF、四边形ABCD都是平行四边形.理由如下：
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF.
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形.
∴OA＝OC，OE＝OF.
又∵BE＝DF，
∴BE＋OE＝DF＋OF.
即OB＝OD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
（2）如果AF＝10，EF＝8，BE＝7，求BC的长.
解：（2）由（1），得四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF.
在Rt△AEF中，
AE＝＝＝6，
∴CF＝6.
∵BE＝7，EF＝8，
∴BF＝BE＋EF＝15.
在Rt△BCF中，
BC＝＝＝3.2.2.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定定理1，2
@基础分点练
知识点1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1.如图，在 ABCD中，点E，F是AD的三等分点，点G，H是BC的三等分点，则图中共有平行四边形（ ）
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
2.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，当CD＝ 时，这个四边形是平行四边形.
3.将一条长2 cm不水平的线段向右平移3 cm后，连接对应点得到的图形是 形，它的周长是 cm.
4.（自贡中考改编）如图，在 ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上.
（1）若点M，N分别是AB，DC的中点，则四边形MBND是 ，依据是 ；
（2）若AM＝CN，求证：DM＝BN.
知识点2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
5.在四边形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，CD＝3，要使该四边形是平行四边形，则AD的长为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
6.【注重动手操作】如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，则四边形ABCD的形状是 .
7.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠A＝55°，则∠C＝ °.
8.如图，AD⊥AC，BC⊥AC，且AB＝CD，求证：四边形ABCD是平行四边形.
@中档提分训练
9.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是（ ）
A.5
B.10
C.15
D.20
10.已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD.从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法共有（ ）
A.6种 B.5种 C.4种 D.3种
11.对于命题：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，小明的证明过程（ ）
已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝BC. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：连接BD， ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD. 又∵AD＝CB，BD＝DB， ∴△ABD≌△CDB（SAS）， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形.
A.已经严谨，不用补充
B.应补充“∠ABD＝∠CDB”
C.应补充“AB＝CD”
D.应补充“DA＝AB”
12.如图，在 BFDE中，A，C分别在DE，BF的延长线上，且AE＝CF.求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形ABCD是平行四边形.
@拓展素养训练
13.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8，BC＝16，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设运动时间为t秒.
（1）当t＝ 时，以点A，B，Q，D为顶点的四边形是平行四边形；
（2）当t＝ 时，以点A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形.
第2课时 平行四边形的判定定理3
@基础分点练
知识点1 对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.下面条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（ ）
A.一组对角相等
B.对角线互相平分
C.一组对边相等
D.对角线互相垂直
2.小玲的爸爸在做平行四边形框架时，采用如下方法：如图，将两根木条AC，BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种做法的依据是 .
第2题图
3.如图，AO＝OC，BD＝16 cm，则当OB＝ cm时，四边形ABCD是平行四边形.
第3题图
4.（杭州中考）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝FD，连接AE，EC，CF，FA.求证：四边形AECF是平行四边形.
知识点2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
5.下列条件中，能说明四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A.∠A＝30°，∠B＝150°，∠C＝30°，∠D＝150°
B.∠A＝60°，∠B＝60°，∠C＝120°，∠D＝120°
C.∠A＝60°，∠B＝90°，∠C＝60°，∠D＝150°
D.∠A＝60°，∠B＝70°，∠C＝110°，∠D＝120°
6.下面给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A.1∶2∶3∶4 B.2∶2∶3∶3
C.2∶3∶2∶3 D.2∶3∶3∶2
7.在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝48°，则当∠B＝∠D＝ °时，四边形ABCD是平行四边形.
8.在四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠B＋2∠C＝225°，∠B－∠C＝90°.求证：四边形ABCD是平行四边形.
@中档提分训练
9.下面条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A.∠B＝∠D，∠A＝∠C
B.AB∥CD，AD∥BC
C.AB∥CD，AD＝BC
D.∠B＋∠DAB＝180°，∠B＋∠BCD＝180°
10.（河北中考）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形.（1）～（3）是其作图过程.
（1）作BD的垂直平分线交BD于点O；
（2）连接AO，在AO的延长线上截取OC＝AO；
（3）连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求.
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A.两组对边分别平行
B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分
D.一组对边平行且相等
11.如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？
@拓展素养训练
12.如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，点E，F分别为垂足，BE＝DF，AF∥CE.
（1）试判断四边形AECF、四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）如果AF＝10，EF＝8，BE＝7，求BC的长.
