2.4 三角形的中位线
@基础分点练
知识点 三角形的中位线
1.如图，在△ABC中，AC＝10，DE是△ABC的中位线，则DE的长度是（ D ）A.3 B.4
C.4.8 D.5
第1题图
2.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为AB的中点，且OE＝5，则BC的长为（ A ）
第2题图
A.10 B.9 C.8 D.5
3.如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，点D，E，F分别为AC，BC和AB边的中点，则四边形BEDF的周长是（ C ）
A.10 B.12
C.14 D.16
第3题图
4.（浙江中考）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，DE.若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为 4 .
第4题图
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AB的中点，∠BAC＝40°.则∠ADE＝ 20 °.
6.如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，连接AC，点E，F，M分别是AD，DC，AC的中点，连接EF，BM.求证：EF＝BM.
证明：∵点E，F分别是AD，DC的中点，
∴EF是△ADC的中位线.
∴EF＝AC.
∵AB⊥BC，点M是AC的中点，
∴BM＝AC.∴EF＝BM.
7.如图，△ABC的中线BD，CE相交于点O，F，G分别是BO，CO的中点，连接DE，FG，EF，DG.求证：EG与DF互相平分.
证明：∵D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC.
同理可得FG∥BC，FG＝BC.
∴DE∥FG，DE＝FG.
∴四边形EDGF是平行四边形.
∴EG与DF互相平分.
@中档提分训练
8.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点.连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（ B ）A.2 B.3 C.4 D.5
第8题图
9.（泸州中考）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（ A ）
第9题图
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D，E分别为AC，BC的中点，DE＝2，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F，则四边形ABFD的面积为 8 .
11.如图所示，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，G，F分别为BH，CH的中点.
（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；
证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，G，F分别为BH，CH的中点，
∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线.
∴DE∥BC，DE＝BC，GF∥BC，GF＝BC.
∴DE∥GF，DE＝GF.
∴四边形DEFG为平行四边形.
（2）若DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，则BG的长度为 .
@拓展素养训练
12.（1）用数学的眼光观察
如图1，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点.求证：∠PMN＝∠PNM.
解：（1）证明：∵P是BD的中点，N是DC的中点，M是AB的中点，
∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线.
∴PN＝BC，PM＝AD.
∵AD＝BC，∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM.
（2）用数学的思维思考
如图2，延长图中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F.求证：∠AEM＝∠F.
解：（2）证明：由（1）知，PN是△BDC的中位线，PM是△ABD的中位线，∴PN∥BC，PM∥AD.
∴∠PNM＝∠F，∠PMN＝∠AEM.
∵∠PNM＝∠PMN，∴∠AEM＝∠F.
（3）用数学的语言表达
如图3，在△ABC中，AC＜AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD.若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明.
解：（3）△CGD是直角三角形.理由如下：
取BD的中点P，连接PM，PN，
∵N是CD的中点，M是AB的中点，
∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，∴PN∥BC，PN＝BC，PM∥AD，PM＝AD.
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN.
∵PM∥AD，∴∠PMN＝∠ANM＝60°.
∴∠PNM＝∠PMN＝60°.
∵PN∥BC，∴∠CGN＝∠PNM＝60°.
又∵∠CNG＝∠ANM＝60°，
∴△CGN是等边三角形.∴CN＝GN.
又∵CN＝DN，∴DN＝GN.
∴∠NDG＝∠NGD＝∠CNG＝30°.
∴∠CGD＝∠CGN＋∠NGD＝90°.
∴△CGD是直角三角形.2.4 三角形的中位线
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知识点 三角形的中位线
1.如图，在△ABC中，AC＝10，DE是△ABC的中位线，则DE的长度是（ ）A.3 B.4
C.4.8 D.5
第1题图
2.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为AB的中点，且OE＝5，则BC的长为（ ）
第2题图
A.10 B.9 C.8 D.5
3.如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，点D，E，F分别为AC，BC和AB边的中点，则四边形BEDF的周长是（ ）
A.10 B.12
C.14 D.16
第3题图
4.（浙江中考）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，DE.若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为 .
第4题图
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AB的中点，∠BAC＝40°.则∠ADE＝ °.
6.如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，连接AC，点E，F，M分别是AD，DC，AC的中点，连接EF，BM.求证：EF＝BM.
7.如图，△ABC的中线BD，CE相交于点O，F，G分别是BO，CO的中点，连接DE，FG，EF，DG.求证：EG与DF互相平分.
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8.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点.连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（ ）A.2 B.3 C.4 D.5
第8题图
9.（泸州中考）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（ ）
第9题图
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D，E分别为AC，BC的中点，DE＝2，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F，则四边形ABFD的面积为 .
11.如图所示，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，G，F分别为BH，CH的中点.
（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；
（2）若DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，则BG的长度为 .
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12.（1）用数学的眼光观察
如图1，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点.求证：∠PMN＝∠PNM.
（2）用数学的思维思考
如图2，延长图中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F.求证：∠AEM＝∠F.
（3）用数学的语言表达
如图3，在△ABC中，AC＜AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD.若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明.
