2.5.1 矩形的性质
@基础分点练
知识点1 矩形的定义
1.【情境素材题】工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图1），使AB＝CD，EF＝GH；
（2）摆放成如图2的四边形，则这时窗框的形状是 平行四边形 ，根据的数学道理是： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ；
（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图3），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图4），说明窗框合格，这时窗框是 矩 形，根据的数学道理是： 有一个角是直角的平行四边形是矩形 .
知识点2 矩形的性质
2.矩形不一定具备的性质是（ D ）
A.对边相等 B.对角相等
C.对角线相等 D.对角线互相垂直
3.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝1，那么AC的长是（ C ）
A.1
B.
C.2
D.2
4.在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（ D ）
A.3 B.4 C.6 D.8
5.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为 2.5 .
第5题图
6.如图，已知点O是矩形ABCD的对称中心，E，F分别是边AD，BC上的点，且关于点O中心对称，如果矩形ABCD的面积是22，那么图中阴影部分的面积是 5.5 .
第6题图
7.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠ADB＝38°，则∠E＝ 19 °.
8.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且AE＝DF.求证：△ABE≌△DCF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，AD＝BC，AB∥CD，∠ABE＝90°.
∴∠ABE＝∠DCF＝90°.
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）.
@中档提分训练
9.如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠EAO＝15°，则∠BOE的度数为（ C ）
A.85° B.80° C.75° D.70°
第9题图
10.【数学文化】出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建的.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F，G，则EF＋EG＝ .
第10题图
11.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E在AD上，点F在BC上，FE平分∠DFB.
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若点F是BC的中点，求AE的长.
解：（1）△DEF是等腰三角形.理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC.
∴∠BFE＝∠DEF.
∵FE平分∠DFB，∴∠BFE＝∠DFE.
∴∠DEF＝∠DFE.
∴DE＝DF.
∴△DEF是等腰三角形.
（2）∵AB＝1，BC＝2，∴CD＝1，AD＝2.
∵点F是BC的中点，∴FC＝BC＝1.
在Rt△DCF中，∠C＝90°，
∴DF＝＝＝.
∴DE＝DF＝.
∴AE＝AD－DE＝2－.
@拓展素养训练
12.如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形ABCD上方，点Q在矩形ABCD内.
（1）求∠PCQ的度数；
（2）求证：∠APB＝∠QPC.
解：（1）∵△PBC是等边三角形，∴∠PCB＝60°.
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB＝90°.
∴∠DCP＝30°.
同理可得∠QCB＝30°.
∴∠PCQ＝30°.
（2）证明：∵△PBC是等边三角形，
∴PB＝PC.
∵△QCD是等边三角形，
∴DC＝QC.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC.
∴AB＝QC.
∵∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝90°－60°＝30°，
∴∠PBA＝∠PCQ.
在△PBA和△PCQ中，
∴△PBA≌△PCQ（SAS）.
∴∠APB＝∠QPC.2.5.1 矩形的性质
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知识点1 矩形的定义
1.【情境素材题】工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图1），使AB＝CD，EF＝GH；
（2）摆放成如图2的四边形，则这时窗框的形状是 ，根据的数学道理是： ；
（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图3），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图4），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是： .
知识点2 矩形的性质
2.矩形不一定具备的性质是（ ）
A.对边相等 B.对角相等
C.对角线相等 D.对角线互相垂直
3.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝1，那么AC的长是（ ）
A.1
B.
C.2
D.2
4.在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（ ）
A.3 B.4 C.6 D.8
5.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为 .
第5题图
6.如图，已知点O是矩形ABCD的对称中心，E，F分别是边AD，BC上的点，且关于点O中心对称，如果矩形ABCD的面积是22，那么图中阴影部分的面积是 .
第6题图
7.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠ADB＝38°，则∠E＝ °.
8.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且AE＝DF.求证：△ABE≌△DCF.
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9.如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠EAO＝15°，则∠BOE的度数为（ ）
A.85° B.80° C.75° D.70°
第9题图
10.【数学文化】出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建的.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F，G，则EF＋EG＝ .
第10题图
11.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E在AD上，点F在BC上，FE平分∠DFB.
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若点F是BC的中点，求AE的长.
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12.如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形ABCD上方，点Q在矩形ABCD内.
（1）求∠PCQ的度数；
（2）求证：∠APB＝∠QPC.
