2.5.2 矩形的判定
@基础分点练
知识点1 一个角是直角的平行四边形是矩形
1.在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形，你添加的条件是 答案不唯一，如∠A＝90°等 （写出一种即可）.
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.
证明：∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥CD，BD＝CD.
∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD綊AE.
又∵BD＝CD，∴CD綊AE，
∴四边形ADCE是平行四边形.
又∵AD⊥CD，
∴四边形ADCE是矩形.
知识点2 三个角是直角的四边形是矩形
3.检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（ D ）
A.测量两条对角线，是否相等
B.测量两条对角线，是否互相平分
C.测量两条对角线，是否互相垂直
D.测量门框的三个角，是否都是直角
4.如图，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证：四边形BFDE为矩形.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB.
∴∠CDE＋∠DEB＝180°.
∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠DEB＝∠BFD＝90°，
∴∠CDE＝90°.
∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝90°.
∴四边形BFDE为矩形.
知识点3 对角线相等的平行四边形是矩形
5.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它是矩形的是（ D ）
A.AO＝CO，BO＝OD
B.AB＝BC，AO＝CO
C.AO＝CO，BO＝DO，AC⊥DB
D.AO＝CO＝BO＝DO
6.（遂宁中考）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其他判定定理.
（1）实践与操作
①任意作两条相交的直线，交点记为O；
②以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA，OB，OC，OD；
③顺次连接所得的四点得到四边形ABCD.
于是可以判定四边形ABCD是平行四边形，则该判定定理是： 对角线互相平分的四边形是平行四边形 .
（2）猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形ABCD是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知和求证.
请你完成证明过程.
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC.
在△BAD和△ABC中，
∴△BAD≌△ABC（SSS）.
∴∠BAD＝∠ABC.
∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°.
∴∠BAD＝∠ABC＝90°.
∴四边形ABCD是矩形.
@中档提分训练
7.（上海中考）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（ C ）
A.AB∥CD B.AD＝BC
C.∠A＝∠B D.∠A＝∠D
8.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为（ C ）
A.2 B.2.2 C.2.4 D.2.5
第8题图
9.如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P是BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件 BC＝2AB 时，四边形PEMF为矩形.
第9题图
10.如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E，F，G，H分别是各边的中点，若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积是 12 .
11.如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中，①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使 ABCD为矩形.
（1）你添加的条件是 ① （填序号）；
（2）添加条件后，请证明 ABCD为矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC.
∴∠A＋∠D＝180°.
在△ABM和△DCM中，
∴△ABM≌△DCM（SAS）.
∴∠A＝∠D，∴∠A＝∠D＝90°.
∴ ABCD为矩形.
@拓展素养训练
12.如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接AF，DE，DF.
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长.
解：（1）证明：∵CF＝BE，
∴CF＋EC＝BE＋EC.
即EF＝BC.
∵在 ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，
∴AD∥EF且AD＝EF.
∴四边形AEFD是平行四边形.
∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°.
∴四边形AEFD是矩形.
（2）∵四边形AEFD是矩形，DE＝8，
∴AF＝DE＝8.
∵AB＝6，BF＝10，
∴AB2＋AF2＝62＋82＝100＝BF2.
∴△ABF是直角三角形，∠BAF＝90°.
∴S△ABF＝AB·AF＝BF·AE.
∴AE＝＝＝.2.5.2 矩形的判定
@基础分点练
知识点1 一个角是直角的平行四边形是矩形
1.在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形，你添加的条件是 （写出一种即可）.
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.
知识点2 三个角是直角的四边形是矩形
3.检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（ ）
A.测量两条对角线，是否相等
B.测量两条对角线，是否互相平分
C.测量两条对角线，是否互相垂直
D.测量门框的三个角，是否都是直角
4.如图，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证：四边形BFDE为矩形.
知识点3 对角线相等的平行四边形是矩形
5.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它是矩形的是（ ）
A.AO＝CO，BO＝OD
B.AB＝BC，AO＝CO
C.AO＝CO，BO＝DO，AC⊥DB
D.AO＝CO＝BO＝DO
6.（遂宁中考）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其他判定定理.
（1）实践与操作
①任意作两条相交的直线，交点记为O；
②以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA，OB，OC，OD；
③顺次连接所得的四点得到四边形ABCD.
于是可以判定四边形ABCD是平行四边形，则该判定定理是： .
（2）猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形ABCD是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知和求证.
请你完成证明过程.
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
@中档提分训练
7.（上海中考）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（ ）
A.AB∥CD B.AD＝BC
C.∠A＝∠B D.∠A＝∠D
8.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为（ ）
A.2 B.2.2 C.2.4 D.2.5
第8题图
9.如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P是BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件 时，四边形PEMF为矩形.
第9题图
10.如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E，F，G，H分别是各边的中点，若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积是 .
11.如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中，①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使 ABCD为矩形.
（1）你添加的条件是 （填序号）；
（2）添加条件后，请证明 ABCD为矩形.
@拓展素养训练
12.如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接AF，DE，DF.
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长.
