2.6.1 菱形的性质
@基础分点练
知识点1 菱形的定义
1.如图，要使平行四边形ABCD变为菱形，需要添加的条件是（ D ）
A.AC＝BD
B.AD＝BC
C.AB＝CD
D.AB＝BC
知识点2 菱形的性质
2.（衡阳期末）下列选项中，菱形不具有的性质是（ C ）
A.四条边相等
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.每条对角线平分一组对角
3.如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ C ）
A.20° B.60°
C.70° D.80°
第3题图
4.（乐山中考）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE等于（ B ）
第4题图
A.2 B.
C.3 D.4
5.如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（ D ）
A. B.1 C. D.
第5题图
6.（福建中考）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为 10 .
第6题图
7.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，BD＝4，AC＝8，求菱形ABCD的周长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝AC＝4，OB＝BD＝2，AC⊥BD.
∴AB＝＝＝2.
∴菱形ABCD的周长为4AB＝8.
知识点3 菱形面积的计算
8.（长沙期末）已知菱形的两条对角线的长度分别为6和8，则它的面积为（ A ）
A.24 B.48 C.12 D.96
9.已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1∶2，则菱形的面积为（ D ）
A.8 B.8
C.4 D.2
10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝13，AC＝10，则该菱形的面积为 120 .
@中档提分训练
11.如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH的长为（ C ）
A.4
B.4.5
C.4.8
D.5
12.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CFD等于（ D ）
A.50° B.60°
C.70° D.80°
第12题图
13.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC于点E，则OE＝ 4 .
第13题图
14.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF.
（1）求证：AE＝AF；
解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
又∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°.
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（AAS）.
∴AE＝AF.
（2）若∠B＝60°，求∠AEF的度数.
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＋∠BAD＝180°.
∵∠B＝60°，∴∠BAD＝120°.
又∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°.
由（1）知△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF＝30°.
∴∠EAF＝120°－30°－30°＝60°.
又∵AE＝AF，
∴△AEF是等边三角形.
∴∠AEF＝60°.
@拓展素养训练
15.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，DF＝BE，连接AF，CE.
（1）求证：∠AFD＝∠CEB；
解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠D＝∠B，AD＝CB.
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（SAS）.
∴∠AFD＝∠CEB.
（2）点H，G分别是AF，CE上的点，若AH＝CG，∠AEH＋∠AFD＝90°，试探究四边形HEGF的形状，并证明你的结论.
解：（2）四边形HEGF是矩形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB.∴∠DCE＝∠CEB.
∵∠AFD＝∠CEB，∴∠AFD＝∠DCE.
∴AF∥CE.
∵△ADF≌△CBE，∴AF＝CE.
∵AH＝CG，∴AF－AH＝CE－CG，
即HF＝GE.
∴四边形HEGF是平行四边形.
∵∠AEH＋∠AFD＝90°，∠AFD＝∠CEB，
∴∠AEH＋∠CEB＝90°.
∴∠HEG＝180°－（∠AEH＋∠CEB）＝90°.
∴四边形HEGF是矩形.2.6.1 菱形的性质
@基础分点练
知识点1 菱形的定义
1.如图，要使平行四边形ABCD变为菱形，需要添加的条件是（ ）
A.AC＝BD
B.AD＝BC
C.AB＝CD
D.AB＝BC
知识点2 菱形的性质
2.（衡阳期末）下列选项中，菱形不具有的性质是（ ）
A.四条边相等
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.每条对角线平分一组对角
3.如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A.20° B.60°
C.70° D.80°
第3题图
4.（乐山中考）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE等于（ ）
第4题图
A.2 B.
C.3 D.4
5.如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（ ）
A. B.1 C. D.
第5题图
6.（福建中考）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为 .
第6题图
7.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，BD＝4，AC＝8，求菱形ABCD的周长.
知识点3 菱形面积的计算
8.（长沙期末）已知菱形的两条对角线的长度分别为6和8，则它的面积为（ ）
A.24 B.48 C.12 D.96
9.已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1∶2，则菱形的面积为（ ）
A.8 B.8
C.4 D.2
10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝13，AC＝10，则该菱形的面积为 .
@中档提分训练
11.如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH的长为（ ）
A.4
B.4.5
C.4.8
D.5
12.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CFD等于（ ）
A.50° B.60°
C.70° D.80°
第12题图
13.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC于点E，则OE＝ .
第13题图
14.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF.
（1）求证：AE＝AF；
（2）若∠B＝60°，求∠AEF的度数.
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15.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，DF＝BE，连接AF，CE.
（1）求证：∠AFD＝∠CEB；
（2）点H，G分别是AF，CE上的点，若AH＝CG，∠AEH＋∠AFD＝90°，试探究四边形HEGF的形状，并证明你的结论.
