2.6.2 菱形的判定
@基础分点练
知识点1 一组邻边相等的平行四边形是菱形
1.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，添加下列条件，其中能判定四边形ABCD为菱形的是（ A ）
A.AB＝BC
B.AC＝BC
C.∠B＝60°
D.∠ACB＝60°
知识点2 四条边都相等的四边形是菱形
2.如图，△ABC为等腰三角形，如果把它沿底边BC翻折后，得到△DBC，那么四边形ABDC为（ A ）
A.菱形
B.正方形
C.矩形
D.一般平行四边形
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别为边BC，AB，AC的中点，连接DE，DF.求证：四边形AEDF是菱形.
证明：∵D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，∴DE＝AC＝AF.
同理DF＝AB＝AE.
又∵AB＝AC，∴DE＝DF＝AF＝AE.
∴四边形AEDF是菱形.
知识点3 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4.能判定一个四边形是菱形的条件是（ C ）
A.对角线互相平分，一组邻角相等
B.两组对边分别相等，对角线互相平分
C.两组对角分别相等，对角线互相垂直
D.对角线互相垂直，一组邻边相等
5.（江西中考节选）【课本再现】
思考
我们知道，菱形的对角线互相垂直.反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
【定理证明】
（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程.
已知：在 ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O.
求证： ABCD是菱形.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO.又∵BD⊥AC，∴直线AC是BD的垂直平分线.
∴AB＝AD.∴ ABCD是菱形.
【知识应用】
（2）如图2，在 ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6.求证： ABCD是菱形.
证明：（2）∵ ABCD中，AC＝8，BD＝6，
∴AO＝AC＝4，DO＝BD＝3.
又∵AD＝5，∴AD2＝AO2＋DO2.
∴△AOD是直角三角形，∠AOD＝90°，
即BD⊥AC.
∴ ABCD是菱形.
@中档提分训练
6.已知，如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为8 cm，B，D之间的距离为6 cm，则线段AB的长为（ A ）
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
第6题图
7.如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC.若AB＝2 cm，四边形OACB的面积为4 cm2，则OC的长为 4 cm.
第7题图
8.（重庆中考）在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论，根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
（1）如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE（不写作法，保留作图痕迹）.
（2）已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且EF⊥AC，求证：四边形AECF是菱形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD.
∴ ∠CFO＝∠AEO ，∠FCO＝∠EAO.
∵点O是AC的中点，
∴ OC＝OA .
∴△CFO≌△AEO（AAS）.
∴ OF＝OE .
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形.
进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论： 四边形AECF是菱形 .
@拓展素养训练
9.（遂宁中考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点O为对角线BD的中点，过点O的直线l分别与AD，BC所在的直线相交于点E，F（点E不与点D重合）.
（1）求证：△DOE≌△BOF；
解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ODE＝∠OBF，
∵点O为对角线BD的中点，∴OD＝OB.
在△DOE和△BOF中，
∴△DOE≌△BOF（ASA）.
（2）当直线l⊥BD时，连接BE，DF，试判断四边形EBFD的形状，并说明理由.
解：（2）四边形EBFD是菱形.理由如下：
∵OD＝OB，直线l经过点O且l⊥BD，
∴直线l是线段BD的垂直平分线.
∴DE＝BE，DF＝BF.
∵△DOE≌△BOF，∴DE＝BF.
∵DE＝BE＝DF＝BF，
∴四边形EBFD是菱形.2.6.2 菱形的判定
@基础分点练
知识点1 一组邻边相等的平行四边形是菱形
1.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，添加下列条件，其中能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A.AB＝BC
B.AC＝BC
C.∠B＝60°
D.∠ACB＝60°
知识点2 四条边都相等的四边形是菱形
2.如图，△ABC为等腰三角形，如果把它沿底边BC翻折后，得到△DBC，那么四边形ABDC为（ ）
A.菱形
B.正方形
C.矩形
D.一般平行四边形
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别为边BC，AB，AC的中点，连接DE，DF.求证：四边形AEDF是菱形.
知识点3 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4.能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A.对角线互相平分，一组邻角相等
B.两组对边分别相等，对角线互相平分
C.两组对角分别相等，对角线互相垂直
D.对角线互相垂直，一组邻边相等
5.（江西中考节选）【课本再现】
思考
我们知道，菱形的对角线互相垂直.反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
【定理证明】
（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程.
已知：在 ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O.
求证： ABCD是菱形.
【知识应用】
（2）如图2，在 ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6.求证： ABCD是菱形.
@中档提分训练
6.已知，如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为8 cm，B，D之间的距离为6 cm，则线段AB的长为（ ）
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
第6题图
7.如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC.若AB＝2 cm，四边形OACB的面积为4 cm2，则OC的长为 cm.
第7题图
8.（重庆中考）在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论，根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
（1）如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE（不写作法，保留作图痕迹）.
（2）已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且EF⊥AC，求证：四边形AECF是菱形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD.
∴ ，∠FCO＝∠EAO.
∵点O是AC的中点，
∴ .
∴△CFO≌△AEO（AAS）.
∴ .
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形.
进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论： .
@拓展素养训练
9.（遂宁中考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点O为对角线BD的中点，过点O的直线l分别与AD，BC所在的直线相交于点E，F（点E不与点D重合）.
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）当直线l⊥BD时，连接BE，DF，试判断四边形EBFD的形状，并说明理由.
