3.3 轴对称和平移的坐标表示
第1课时 轴对称的坐标表示
@基础分点练
知识点1 关于x轴对称的点的坐标
1.在平面直角坐标系中，点M（12，－17）关于x轴对称的点在（ A ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知点P（3，a）关于x轴的对称点为Q（b，2），则ab等于 －6 .
3.若点A（2m＋n，1）与B（4，m－n）关于x轴对称，试求n2＋5m的平方根.
解：∵A（2m＋n，1）与B（4，m－n）关于x轴对称，
∴解得
∴n2＋5m＝9，
∴n2＋5m的平方根为±3.
知识点2 关于y轴对称的点的坐标
4.下列各组点关于y轴对称的是（ B ）
A.点（0，10）与点（0，－10）
B.点（－3，－2）与点（3，－2）
C.点（－3，－2）与点（3，2）
D.点（－3，－2）与点（－3，2）
5.在平面直角坐标系中，点A（m，3）与点B（2，n）关于y轴对称，则m＝ －2 ，n＝ 3 .
知识点3 平面直角坐标系中简单图形的轴对称
6.如图，线段AB关于y轴对称的线段是（ D ）
A.DE B.BC
C.HI D.FG
7.如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为（－1，4）.将△ABC沿y轴翻折到第一象限，则点C的对应点C'的坐标是（ A ）
A.（3，1） B.（－3，－1）
C.（1，－3） D.（3，－1）
知识点4 轴对称作图
8.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）.
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1的坐标；
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为（2，－4），点B1的坐标为（1，－1）.
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点A2，B2的坐标.
解：（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（－2，4），点B2的坐标为（－1，1）.
@中档提分训练
9.某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示.若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x轴、y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（－6，2），则点B的坐标为（ A ）
A.（6，2） B.（－6，－2）
C.（2，6） D.（2，－6）
10.【注重规律探索】如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（1，2），则经过第2 025次变换后点A的对应点的坐标为（ C ）
A.（1，－2） B.（－1，－2）
C.（－1，2） D.（1，2）
11.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，－3），作点A关于x轴的对称点，得到点A'，再作点A'关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是 （－4，3） .
12.已知点P1关于x轴的对称点P2（3－2a，2a－5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则点P1的坐标是 （－1，1） .
13.在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1.格点△ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别是（－4，6），（－1，4）.
（1）请在图中的网格内建立平面直角坐标系；
解：（1）如图所示.
（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
解：（2）如图所示.
（3）请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小.
解：（3）作点B1关于y轴的对称点B2，连接CB2交y轴于点P，则点P即为所求.
@拓展素养训练
14.【运算能力】如图，△COB是由△AOB经过某种变换后得到的图形，观察点A与点C的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）若点M的坐标为（x，y），则它的对应点N的坐标为 （x，－y） ；
（2）若点P（a，2）与点Q（－3，b）关于x轴对称，求代数式＋＋＋…＋的值.
解：∵点P（a，2）与点Q（－3，b）关于x轴对称，
∴a＝－3，b＝－2.
∴＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝－＋－＋…＋－
＝－
＝.
第2课时 图形的一次平移与坐标变化
@基础分点练
知识点1 左右平移
1.（广东中考）在平面直角坐标系中，将点（1，1）向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ A ）
A.（3，1） B.（－1，1）
C.（1，3） D.（1，－1）
2.在平面直角坐标系中，有一点M的坐标为（4，5），点M向左平移3个单位后的坐标是（ C ）
A.（4，2） B.（4，8）
C.（1，5） D.（7，5）
3.如图，在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点坐标分别为A（6，3），B（6，0），O（0，0），若将△ABO向左平移3个单位得到△CDE，则点A的对应点C的坐标是 （3，3） .
知识点2 上下平移
4.在平面直角坐标系中，将点P（1，－2）向上平移3个单位，得到点P'，则点P'的坐标为（ C ）
A.（4，－2） B.（－2，－2）
C.（1，1） D.（1，－5）
5.在平面直角坐标系中，将点P（－4，3）向下平移5个单位得到点P'，则点P'所在象限为（ C ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
知识点3 平移作图
6.如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，2），B（－3，1），C（－2，－2）.
（1）将△ABC向右平移2个单位，作出△A'B'C'；
解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求.
（2）写出△A'B'C'的顶点坐标.
解：（2）△A'B'C'的顶点坐标为A'（2，2），B'（－1，1），C'（0，－2）.
@中档提分训练
7.在平面直角坐标系中，将三角形各点的横坐标都加上2，纵坐标保持不变，所得图形与原图形相比（ A ）
A.向右平移了2个单位
B.向左平移了2个单位
C.向上平移了2个单位
D.向下平移了2个单位
8.将点P（2m＋3，m－2）向上平移1个单位得到点P'，且点P'在x轴上，那么点P的坐标是（ B ）
A.（9，－1） B.（5，－1）
C.（7，0） D.（1，－3）
9.如图，点A，B的坐标分别为（1，2），（4，0），将△AOB沿x轴向右平移，得到△CDE，已知DB＝1，则点C的坐标为 （4，2） ，连接AC，则四边形AODC的面积为 6 .
第3课时 图形的两次平移与坐标变化
@基础分点练
知识点 两次平移的点的坐标变化
1.点P（－2，－3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（ A ）
A.（－3，0） B.（－1，6）
C.（－3，－6） D.（－1，0）
2.如图，在平面直角坐标系中，将点A（－1，2）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的点的坐标为（ C ）
A.（1，－1） B.（－1，5）C.（－3，－1） D.（－3，5）
第2题图
3.已知将点P（－2，4）横坐标加2，纵坐标减3得到点P'，那么点P在平面直角坐标系中变化得到点P'的步骤可能是（ D ）
A.先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
D.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
4.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，1），将线段AB沿某一方向平移后，若点A的对应点A'的坐标为（－2，0），则点B的对应点B'的坐标为 （－1，－2） .
第4题图
5.在平面直角坐标系中，将点A（1，－2）先向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点B，则点B关于y轴的对称点在第 一 象限.
6.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为A（2，－1），B（4，3），C（1，2）.将△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A1B1C1.
（1）请在图中画出△A1B1C1；
（2）写出平移后的△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（ －2 ， －3 ），B1（ 0 ， 1 ），C1（ －3 ， 0 ）.
解：如图所示，△A1B1C1即为所求.
@中档提分训练
7.（益阳期末）如果将点A（3，m＋2）向上平移2个单位，再向右平移3个单位得（n－4，6），则m，n的值分别为（ D ）
A.1，9 B.6，10
C.6，9 D.2，10
8.如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点坐标分别为A（－2，1），B（－1，3），C（－4，4）.先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2.若B2（2，1），则点A2的坐标为（ B ）
A.（1，5）
B.（1，3）
C.（5，3）
D.（5，5）
9.（易错题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其中一个端点到点C（3，2），则平移后另一端点的坐标为（ D ）
A.（1，3） B.（5，1）
C.（1，3）或（3，5） D.（1，3）或（5，1）
第9题图
10.在平面直角坐标系中，把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B.若点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝ 4 .
11.如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A（－3，5），B（－4，3），A1（3，3），则点B1的坐标为 （2，1） .
第11题图
12.如图，△ABC先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到△A1B1C1，已知A（2，1），B（5，3），C（3，4）.
（1）画出△A1B1C1，并直接写出△A1B1C1三个顶点的坐标；
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求.
A1（－1，2），B1（2，4），C1（0，5）.
（2）△ABC的面积为 .
@拓展素养训练
13.综合与实践.
【问题背景】
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－3，5），点B的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，5），将线段AB沿AC方向平移，平移距离为线段AC的长度.
【动手操作】
（1）画出AB平移后的线段CD，直接写出点B的对应点D的坐标；
解：（1）如图所示，线段CD即为所作.
D（7，1）.
【探究证明】
（2）连接BD，试探究∠BAC，∠BDC的数量关系，并证明你的结论；
解：（2）∠BAC＝∠BDC.理由如下：
∵线段AB平移后得到线段CD，
∴AB∥CD，AC∥BD.
∴四边形ABDC为平行四边形.
∴∠BAC＝∠BDC.
【拓展延伸】
（3）若点E在线段BD上，连接AD，AE，且满足∠EAD＝∠CAD，求证∠AEB＝2∠ADB.
解：（3）证明：∵AC∥BD，
∴∠CAD＝∠ADB，∠AEB＝∠CAE.
∵∠EAD＝∠CAD，
∴∠CAE＝2∠CAD.
∴∠AEB＝2∠ADB.3.3 轴对称和平移的坐标表示
第1课时 轴对称的坐标表示
@基础分点练
知识点1 关于x轴对称的点的坐标
1.在平面直角坐标系中，点M（12，－17）关于x轴对称的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知点P（3，a）关于x轴的对称点为Q（b，2），则ab等于 .
3.若点A（2m＋n，1）与B（4，m－n）关于x轴对称，试求n2＋5m的平方根.
知识点2 关于y轴对称的点的坐标
4.下列各组点关于y轴对称的是（ ）
A.点（0，10）与点（0，－10）
B.点（－3，－2）与点（3，－2）
C.点（－3，－2）与点（3，2）
D.点（－3，－2）与点（－3，2）
5.在平面直角坐标系中，点A（m，3）与点B（2，n）关于y轴对称，则m＝ ，n＝ .
知识点3 平面直角坐标系中简单图形的轴对称
6.如图，线段AB关于y轴对称的线段是（ ）
A.DE B.BC
C.HI D.FG
7.如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为（－1，4）.将△ABC沿y轴翻折到第一象限，则点C的对应点C'的坐标是（ ）
A.（3，1） B.（－3，－1）
C.（1，－3） D.（3，－1）
知识点4 轴对称作图
8.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）.
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1的坐标；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点A2，B2的坐标.
@中档提分训练
9.某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示.若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x轴、y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（－6，2），则点B的坐标为（ ）
A.（6，2） B.（－6，－2）
C.（2，6） D.（2，－6）
10.【注重规律探索】如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（1，2），则经过第2 025次变换后点A的对应点的坐标为（ ）
A.（1，－2） B.（－1，－2）
C.（－1，2） D.（1，2）
11.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，－3），作点A关于x轴的对称点，得到点A'，再作点A'关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是 .
12.已知点P1关于x轴的对称点P2（3－2a，2a－5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则点P1的坐标是 .
13.在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1.格点△ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别是（－4，6），（－1，4）.
（1）请在图中的网格内建立平面直角坐标系；
（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（3）请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小.
@拓展素养训练
14.【运算能力】如图，△COB是由△AOB经过某种变换后得到的图形，观察点A与点C的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）若点M的坐标为（x，y），则它的对应点N的坐标为 ；
（2）若点P（a，2）与点Q（－3，b）关于x轴对称，求代数式＋＋＋…＋的值.
第2课时 图形的一次平移与坐标变化
@基础分点练
知识点1 左右平移
1.（广东中考）在平面直角坐标系中，将点（1，1）向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）
A.（3，1） B.（－1，1）
C.（1，3） D.（1，－1）
2.在平面直角坐标系中，有一点M的坐标为（4，5），点M向左平移3个单位后的坐标是（ ）
A.（4，2） B.（4，8）
C.（1，5） D.（7，5）
3.如图，在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点坐标分别为A（6，3），B（6，0），O（0，0），若将△ABO向左平移3个单位得到△CDE，则点A的对应点C的坐标是 .
知识点2 上下平移
4.在平面直角坐标系中，将点P（1，－2）向上平移3个单位，得到点P'，则点P'的坐标为（ ）
A.（4，－2） B.（－2，－2）
C.（1，1） D.（1，－5）
5.在平面直角坐标系中，将点P（－4，3）向下平移5个单位得到点P'，则点P'所在象限为（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
知识点3 平移作图
6.如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，2），B（－3，1），C（－2，－2）.
（1）将△ABC向右平移2个单位，作出△A'B'C'；
（2）写出△A'B'C'的顶点坐标.
@中档提分训练
7.在平面直角坐标系中，将三角形各点的横坐标都加上2，纵坐标保持不变，所得图形与原图形相比（ ）
A.向右平移了2个单位
B.向左平移了2个单位
C.向上平移了2个单位
D.向下平移了2个单位
8.将点P（2m＋3，m－2）向上平移1个单位得到点P'，且点P'在x轴上，那么点P的坐标是（ ）
A.（9，－1） B.（5，－1）
C.（7，0） D.（1，－3）
9.如图，点A，B的坐标分别为（1，2），（4，0），将△AOB沿x轴向右平移，得到△CDE，已知DB＝1，则点C的坐标为 ，连接AC，则四边形AODC的面积为 .
第3课时 图形的两次平移与坐标变化
@基础分点练
知识点 两次平移的点的坐标变化
1.点P（－2，－3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（ ）
A.（－3，0） B.（－1，6）
C.（－3，－6） D.（－1，0）
2.如图，在平面直角坐标系中，将点A（－1，2）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的点的坐标为（ ）
A.（1，－1） B.（－1，5）C.（－3，－1） D.（－3，5）
第2题图
3.已知将点P（－2，4）横坐标加2，纵坐标减3得到点P'，那么点P在平面直角坐标系中变化得到点P'的步骤可能是（ ）
A.先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
D.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
4.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，1），将线段AB沿某一方向平移后，若点A的对应点A'的坐标为（－2，0），则点B的对应点B'的坐标为 .
第4题图
5.在平面直角坐标系中，将点A（1，－2）先向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点B，则点B关于y轴的对称点在第 象限.
6.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为A（2，－1），B（4，3），C（1，2）.将△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A1B1C1.
（1）请在图中画出△A1B1C1；
（2）写出平移后的△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（ ， ），B1（ ， ），C1（ ， ）.
@中档提分训练
7.（益阳期末）如果将点A（3，m＋2）向上平移2个单位，再向右平移3个单位得（n－4，6），则m，n的值分别为（ ）
A.1，9 B.6，10
C.6，9 D.2，10
8.如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点坐标分别为A（－2，1），B（－1，3），C（－4，4）.先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2.若B2（2，1），则点A2的坐标为（ ）
A.（1，5）
B.（1，3）
C.（5，3）
D.（5，5）
9.（易错题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其中一个端点到点C（3，2），则平移后另一端点的坐标为（ ）
A.（1，3） B.（5，1）
C.（1，3）或（3，5） D.（1，3）或（5，1）
第9题图
10.在平面直角坐标系中，把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B.若点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝ .
11.如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A（－3，5），B（－4，3），A1（3，3），则点B1的坐标为 .
第11题图
12.如图，△ABC先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到△A1B1C1，已知A（2，1），B（5，3），C（3，4）.
（1）画出△A1B1C1，并直接写出△A1B1C1三个顶点的坐标；
（2）△ABC的面积为 .
@拓展素养训练
13.综合与实践.
【问题背景】
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－3，5），点B的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，5），将线段AB沿AC方向平移，平移距离为线段AC的长度.
【动手操作】
（1）画出AB平移后的线段CD，直接写出点B的对应点D的坐标；
【探究证明】
（2）连接BD，试探究∠BAC，∠BDC的数量关系，并证明你的结论；
【拓展延伸】
（3）若点E在线段BD上，连接AD，AE，且满足∠EAD＝∠CAD，求证∠AEB＝2∠ADB.
