4.3 一次函数的图象
第1课时 正比例函数的图象和性质
@基础分点练
知识点1 画正比例函数的图象
1.在同一平面直角坐标系中，画出正比例函数y＝x和y＝－x的图象.
解：直线y＝x过点（0，0），（2，3）；直线y＝－x过点（0，0），（2，－3）.
如图所示.
知识点2 正比例函数的图象和性质
2.（株洲期末）下列各点中，不在正比例函数y＝2x图象上的是（ D ）
A.（－1，－2） B.（0，0）
C.（1，2） D.（2，3）
【变式1】已知正比例函数y＝kx的图象经过点（1，2），则k＝ 2 .
【变式2】若一个正比例函数的图象经过A（3，－6），B（m，－4）两点，则m的值为 2 .
3.对于正比例函数y＝3x，下列说法中错误的是（ D ）
A.过点（－1，－3）
B.图象位于第一、三象限
C.y随x的增大而增大
D.它的图象比y＝4x的图象陡
4.正比例函数y＝（k－2）x中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 k＜2 .
5.已知点（－4，y1），（2，y2）都在直线y＝－0.5x上，则y1与y2的大小关系是 y1＞y2 .
知识点3 实际问题中的正比例函数
6.图1是饮水机的图片.打开出水口，饮水桶中水面由图1的位置下降到图2的位置的过程中，如果水减少的体积是y，水面下降的高度是x，那么能够表示y与x之间函数关系的图象可能是（ C ）
7.（教材P124练习T2变式）小明用20元零花钱购买水果慰问老人，已知水果单价是4元，设买水果x千克用去的钱为y元.
（1）求买水果用去的钱与水果的质量之间的函数表达式；
解：（1）根据题意，得y＝4x.
∵用20元零花钱购买水果，
∴y的范围是0≤y≤20.
∵水果单价是4元，∴x的范围是0≤x≤5.
∴买水果用去的钱与水果的质量之间的函数表达式为y＝4x（0≤x≤5）.
（2）画出这个函数图象；
解：（2）如图所示.
（3）当x＝3或4时，y是多少？
解：（3）当x＝3时，y＝12；
当x＝4时，y＝16.
@中档提分训练
8.函数y＝2x，y＝－3x，y＝－x的共同特点是（ D ）
A.图象位于同样的象限
B.y随x的增大而减小
C.y随x的增大而增大
D.图象都过原点
9.甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（m）与赛跑时间t（s）的关系如图所示，则下列说法正确的是（ D ）
A.乙先到达终点
B.乙比甲跑的路程多
C.乙用的时间短
D.甲的速度比乙的速度快
10.如图，关于x的正比例函数y＝ax，y＝bx，y＝cx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系是 a＞b＞c .
第10题图
11.如图，点B，C分别在直线y＝2x和y＝kx上，点A，D是x轴上的两点，且四边形ABCD是正方形.
第11题图
（1）若正方形ABCD的边长为2，则点B，C的坐标分别为 （1，2），（3，2） ；
（2）若正方形ABCD的边长为a，则k＝ .
12.已知函数y＝（k＋3）x.
（1）当k为何值时，函数为正比例函数；
（2）当k为何值时，函数的图象经过第一、三象限；
（3）当k为何值时，y随x的增大而减小？
（4）当k为何值时，函数图象经过点（1，1）？
解：（1）根据题意，得k＋3≠0，解得k≠－3.
即当k≠－3时，函数为正比例函数.
（2）根据题意，得k＋3＞0，解得k＞－3.
即当k＞－3时，函数的图象经过第一、三象限.
（3）根据题意，得k＋3＜0，解得k＜－3.
即当k＜－3时，y随x的增大而减小.
（4）把点（1，1）代入y＝（k＋3）x，得k＋3＝1.
解得k＝－2.
即当k＝－2时，函数图象经过点（1，1）.
@拓展素养训练
13.如图，正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3.
（1）求正比例函数的表达式；
（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3，
∴点A的纵坐标为－2.
∴点A的坐标为（3，－2）.
∵正比例函数y＝kx的图象经过点A.
∴3k＝－2，解得k＝－.
∴正比例函数的表达式为y＝－x.
（2）存在.
∵△AOP的面积为5，点A的坐标为（3，－2），S△AOP＝OP·AH＝5，
∴OP＝5.
∴点P的坐标为（5，0）或（－5，0）.
第2课时 一次函数的图象和性质
@基础分点练
知识点1 一次函数图象的平移
1.将正比例函数y＝－2x的图象向上平移3个单位，则平移后所得图象的关系式是（ A ）
A.y＝－2x＋3 B.y＝2x＋3
C.y＝－2x－3 D.y＝2x－3
2.在平面直角坐标系中，将正比例函数y＝－2x的图象向右平移3个单位得到一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象，则该一次函数的表达式为（ B ）
A.y＝－2x＋3 B.y＝－2x＋6
C.y＝－2x－3 D.y＝－2x－6
知识点2 一次函数图象的画法
3.（1）通过列表、描点、连线画出一次函数y＝2x＋4的图象.
①列表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y＝2x＋4 … 0 2 4 6 8 …
②描点；
③连线.
解：②③如图所示.
（2）通过观察画好的一次函数图象，我们发现，一次函数的图象是 一条直线 .因此，画一次函数的图象时，只需要确定 两 个点的坐标就可以了，这是因为 两点确定一条直线 .
知识点3 一次函数的图象和性质
4.一次函数y＝x＋1的图象不经过（ D ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x－3的图象是（ D ）
6.在平面直角坐标系中，已知点A（，m），点B（，n）是直线y＝kx＋b（k＜0）上的两点，则m，n的大小关系是 m＜n .
7.已知一次函数y＝（2a＋4）x＋（3－b），根据给定条件，确定a，b的值.
（1）y随x的增大而增大；
（2）图象经过第二、三、四象限；
（3）图象与y轴的交点在x轴上方.
解：（1）∵y随x的增大而增大，
∴2a＋4＞0.∴a＞－2.
（2）∵图象经过第二、三、四象限，
∴2a＋4＜0，3－b＜0.
∴a＜－2，b＞3.
（3）∵图象与y轴的交点在x轴上方，
∴3－b＞0，2a＋4≠0.
∴b＜3，a≠－2.
知识点4 实际问题中的一次函数
8.汽车开始行驶时，油箱内有50升油，如果每小时耗油5升，则油箱内剩余油量Q（升）与行驶时间t（时）的关系用图象表示应为（ C ）
@中档提分训练
9.在平面直角坐标系中，若k＞0，b＜0，则一次函数y＝kx－b的图象大致是（ B ）
10.一次函数y1＝k1x＋b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得到直线l2，l2的函数表达式为y2＝k2x＋b2.下列说法中错误的是（ B ）
A.k1＝k2
B.b1＜b2
C.b1＞b2D.当x＝5时，y01＞y2
第10题图
11.（辽宁中考）如图，直线y＝2x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点， OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则 OCDE的面积为 2 .
第11题图
12.若直线y1＝k1x＋b1（k1≠0），y2＝k2x＋b2（k2≠0），则称直线y＝（k1＋k2）x＋b1b2为这两条直线的“友好直线”.
（1）直线y＝3x＋2与y＝－4x＋3的“友好直线”为 y＝－x＋6 ；
（2）若直线l是直线y＝－2x＋m与y＝3mx－6（m≠0）的“友好直线”，且直线l经过第一、三、四象限，则m的取值范围为 m＞ .
13.已知一次函数y＝kx－3的图象与直线y＝2x＋1平行.
（1）求这个函数的表达式；
（2）此函数图象经过哪几个象限？
（3）求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积.
解：（1）∵函数y＝kx－3的图象与直线y＝2x＋1平行，
∴k＝2.
∴这个函数的表达式为y＝2x－3.
（2）∵k＝2＞0，b＝－3＜0，
∴此函数图象经过第一、三、四象限.
（3）当x＝0时，y＝－3；
当y＝0时，x＝.
∴此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是××3＝.
@拓展素养训练
14.如图，已知直线y＝2x＋2分别交x轴、y轴于点B，A.
（1）直接写出点A，B的坐标；
（2）将直线AB沿y轴正半轴方向平移1个单位后得到直线CD，求直线CD与x轴的交点C的坐标.\
解：（1）A（0，2），B（－1，0）.
（2）∵将直线AB沿y轴正半轴方向平移1个单位后得到直线CD，直线AB：y＝2x＋2.
∴直线CD的关系式为y＝2x＋2＋1＝2x＋3.
∴当y＝0时，x＝－，即点C的坐标为（－，0）.4.3 一次函数的图象
第1课时 正比例函数的图象和性质
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知识点1 画正比例函数的图象
1.在同一平面直角坐标系中，画出正比例函数y＝x和y＝－x的图象.
知识点2 正比例函数的图象和性质
2.（株洲期末）下列各点中，不在正比例函数y＝2x图象上的是（ ）
A.（－1，－2） B.（0，0）
C.（1，2） D.（2，3）
【变式1】已知正比例函数y＝kx的图象经过点（1，2），则k＝ .
【变式2】若一个正比例函数的图象经过A（3，－6），B（m，－4）两点，则m的值为 .
3.对于正比例函数y＝3x，下列说法中错误的是（ ）
A.过点（－1，－3）
B.图象位于第一、三象限
C.y随x的增大而增大
D.它的图象比y＝4x的图象陡
4.正比例函数y＝（k－2）x中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 .
5.已知点（－4，y1），（2，y2）都在直线y＝－0.5x上，则y1与y2的大小关系是 .
知识点3 实际问题中的正比例函数
6.图1是饮水机的图片.打开出水口，饮水桶中水面由图1的位置下降到图2的位置的过程中，如果水减少的体积是y，水面下降的高度是x，那么能够表示y与x之间函数关系的图象可能是（ ）
7.（教材P124练习T2变式）小明用20元零花钱购买水果慰问老人，已知水果单价是4元，设买水果x千克用去的钱为y元.
（1）求买水果用去的钱与水果的质量之间的函数表达式；
（2）画出这个函数图象；
（3）当x＝3或4时，y是多少？
@中档提分训练
8.函数y＝2x，y＝－3x，y＝－x的共同特点是（ ）
A.图象位于同样的象限
B.y随x的增大而减小
C.y随x的增大而增大
D.图象都过原点
9.甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（m）与赛跑时间t（s）的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.乙先到达终点
B.乙比甲跑的路程多
C.乙用的时间短
D.甲的速度比乙的速度快
10.如图，关于x的正比例函数y＝ax，y＝bx，y＝cx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系是 .
第10题图
11.如图，点B，C分别在直线y＝2x和y＝kx上，点A，D是x轴上的两点，且四边形ABCD是正方形.
第11题图
（1）若正方形ABCD的边长为2，则点B，C的坐标分别为 ；
（2）若正方形ABCD的边长为a，则k＝ .
12.已知函数y＝（k＋3）x.
（1）当k为何值时，函数为正比例函数；
（2）当k为何值时，函数的图象经过第一、三象限；
（3）当k为何值时，y随x的增大而减小？
（4）当k为何值时，函数图象经过点（1，1）？
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13.如图，正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3.
（1）求正比例函数的表达式；
（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.
第2课时 一次函数的图象和性质
@基础分点练
知识点1 一次函数图象的平移
1.将正比例函数y＝－2x的图象向上平移3个单位，则平移后所得图象的关系式是（ ）
A.y＝－2x＋3 B.y＝2x＋3
C.y＝－2x－3 D.y＝2x－3
2.在平面直角坐标系中，将正比例函数y＝－2x的图象向右平移3个单位得到一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象，则该一次函数的表达式为（ ）
A.y＝－2x＋3 B.y＝－2x＋6
C.y＝－2x－3 D.y＝－2x－6
知识点2 一次函数图象的画法
3.（1）通过列表、描点、连线画出一次函数y＝2x＋4的图象.
①列表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y＝2x＋4 … …
②描点；
③连线.
（2）通过观察画好的一次函数图象，我们发现，一次函数的图象是 .因此，画一次函数的图象时，只需要确定 个点的坐标就可以了，这是因为 .
知识点3 一次函数的图象和性质
4.一次函数y＝x＋1的图象不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x－3的图象是（ ）
6.在平面直角坐标系中，已知点A（，m），点B（，n）是直线y＝kx＋b（k＜0）上的两点，则m，n的大小关系是 .
7.已知一次函数y＝（2a＋4）x＋（3－b），根据给定条件，确定a，b的值.
（1）y随x的增大而增大；
（2）图象经过第二、三、四象限；
（3）图象与y轴的交点在x轴上方.
知识点4 实际问题中的一次函数
8.汽车开始行驶时，油箱内有50升油，如果每小时耗油5升，则油箱内剩余油量Q（升）与行驶时间t（时）的关系用图象表示应为（ ）
@中档提分训练
9.在平面直角坐标系中，若k＞0，b＜0，则一次函数y＝kx－b的图象大致是（ ）
10.一次函数y1＝k1x＋b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得到直线l2，l2的函数表达式为y2＝k2x＋b2.下列说法中错误的是（ ）
A.k1＝k2
B.b1＜b2
C.b1＞b2D.当x＝5时，y01＞y2
第10题图
11.（辽宁中考）如图，直线y＝2x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点， OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则 OCDE的面积为 .
第11题图
12.若直线y1＝k1x＋b1（k1≠0），y2＝k2x＋b2（k2≠0），则称直线y＝（k1＋k2）x＋b1b2为这两条直线的“友好直线”.
（1）直线y＝3x＋2与y＝－4x＋3的“友好直线”为 ；
（2）若直线l是直线y＝－2x＋m与y＝3mx－6（m≠0）的“友好直线”，且直线l经过第一、三、四象限，则m的取值范围为 .
13.已知一次函数y＝kx－3的图象与直线y＝2x＋1平行.
（1）求这个函数的表达式；
（2）此函数图象经过哪几个象限？
（3）求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积.
@拓展素养训练
14.如图，已知直线y＝2x＋2分别交x轴、y轴于点B，A.
（1）直接写出点A，B的坐标；
（2）将直线AB沿y轴正半轴方向平移1个单位后得到直线CD，求直线CD与x轴的交点C的坐标.\
