第1章直角三角形
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出该项）
1.在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，则∠A的度数为（ ）
A.20° B.30° C.40° D.50°
2.在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，在下列条件中，不能确定△ABC的形状是直角三角形的是（ ）
A.（a＋b）2＝c2 B.a∶b∶c＝1∶1∶
C.AB＝8，AC＝15，BC＝17 D.∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线ED是AC的垂直平分线，交AB于点F，若∠A＝50°，则∠FCB的度数为（ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
第3题图
4.如图，在3×3的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，A，B均在格点上，则线段AB的长为（ ）
第4题图
A.1 B.2 C. D.
5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为（ ）
第5题图
A.1.5 B.2 C.3 D.4
6.如图，AC⊥BE于点C，DF⊥BC于点F，且BC＝EF，如果添上一个条件后，仍不能证明Rt△ABC≌Rt△DEF，这个条件是（ ）
A.∠D＝∠A
B.∠B＝∠E
C.AB＝DE
D.AC＝DE
7.如果正整数a，b，c满足等式a2＋b2＝c2，那么正整数a，b，c叫作勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成右表，观察表中每列数的规律，可知x＋y的值为（ ）
A.47 B.62
C.79 D.98
8.如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点F，交AC于点E，分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部交于点G，作射线AG交BC于点D.若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（ ）
A. B.1
C. D.2
9.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，图2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A.50.5寸 B.52寸
C.101寸 D.104寸
第9题图
10.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为（ ）
第10题图
A.2 B.3 C.3.5 D.4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11.如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC＝BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是 .
第11题图
12.如图，OA＝OB，OC＝3，BC＝1，数轴上点A表示的数是 .
第12题图
13.如图，在水塔O的东北方向8 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向6 m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为 m.
第13题图
14.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PD＝4，则PC的长为 .
第14题图
15.如图，点P，M，N分别在等边三角形ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N，若AB＝12 cm，则CM的长为 cm.
第15题图
16.如图，某地方政府决定在相距50km的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C，D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA＝30km，CB＝20km，那么基地E应建在离A站 km的地方.
第16题图
17.（衡阳期末）勾股定理a2＋b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫作勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），….分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3＋1），12＝2×（5＋1），24＝3×（7＋1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 .
18.（湖南中考）图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图.已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l.若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为 分米（结果用含根号的式子表示）.
图1 图2
三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.（6分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足（a＋2b－11）2＋｜2a－b－2｜＝10c－25－c2，请你判断△ABC的形状，并求出其周长与面积.
20.（6分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，CD∥AB交BD于点D，已知∠1＝32°，求∠D的度数.
21.（8分）我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察.发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
22.（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，连接AC.
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求△ACD中边AD上的高.
23.（9分）如图，一艘船在灯塔C的正东方向8海里的A处，以20海里/时的速度沿北偏西30°方向（AN方向）行驶.
（1）多长时间后，船距灯塔最近？
（2）多长时间后，船到达灯塔的正北方向？此时船距灯塔有多远？（参考数据：162－82≈13.92）
24.（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°.点D是边AB的中点，点E为边AC上一点，连接CD，DE，以DE为边在DE的左侧作等边三角形DEF，连接BF.
（1）△BCD的形状为 ；
（2）随着点E位置的变化，∠DBF的度数是否变化？并结合图说明你的理由.
（10分）如图，△ABC的角平分线AE，BF交于点O.
（1）若∠ACB＝70°，则∠BOA＝ ；
（2）求证：点O在∠ACB的平分线上；
（3）若OE＝OF，求∠ACB的度数.
26.（10分）如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB.
（1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA＝1.6 m，AP＝1.2 m，则甲房间的宽度AB＝ m.
（2）当他在乙房间时，测得MA＝2.4 m，MP＝2.5 m，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB；
（3）当他在丙房间时，测得MA＝2.8 m，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°.
①求∠MPN的度数；②求丙房间的宽AB.第1章直角三角形
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出该项）
1.在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，则∠A的度数为（ D ）
A.20° B.30° C.40° D.50°
2.在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，在下列条件中，不能确定△ABC的形状是直角三角形的是（ A ）
A.（a＋b）2＝c2 B.a∶b∶c＝1∶1∶
C.AB＝8，AC＝15，BC＝17 D.∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线ED是AC的垂直平分线，交AB于点F，若∠A＝50°，则∠FCB的度数为（ B ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
第3题图
4.如图，在3×3的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，A，B均在格点上，则线段AB的长为（ C ）
第4题图
A.1 B.2 C. D.
5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为（ B ）
第5题图
A.1.5 B.2 C.3 D.4
6.如图，AC⊥BE于点C，DF⊥BC于点F，且BC＝EF，如果添上一个条件后，仍不能证明Rt△ABC≌Rt△DEF，这个条件是（ D ）
A.∠D＝∠A
B.∠B＝∠E
C.AB＝DE
D.AC＝DE
7.如果正整数a，b，c满足等式a2＋b2＝c2，那么正整数a，b，c叫作勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成右表，观察表中每列数的规律，可知x＋y的值为（ C ）
A.47 B.62
C.79 D.98
8.如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点F，交AC于点E，分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部交于点G，作射线AG交BC于点D.若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（ C ）
A. B.1
C. D.2
9.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，图2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ C ）
A.50.5寸 B.52寸
C.101寸 D.104寸
第9题图
10.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为（ B ）
第10题图
A.2 B.3 C.3.5 D.4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11.如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC＝BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是 AC＝DE .
第11题图
12.如图，OA＝OB，OC＝3，BC＝1，数轴上点A表示的数是 － .
第12题图
13.如图，在水塔O的东北方向8 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向6 m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为 10 m.
第13题图
14.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PD＝4，则PC的长为 8 .
第14题图
15.如图，点P，M，N分别在等边三角形ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N，若AB＝12 cm，则CM的长为 4 cm.
第15题图
16.如图，某地方政府决定在相距50km的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C，D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA＝30km，CB＝20km，那么基地E应建在离A站 20 km的地方.
第16题图
17.（衡阳期末）勾股定理a2＋b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫作勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），….分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3＋1），12＝2×（5＋1），24＝3×（7＋1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 （11，60，61） .
18.（湖南中考）图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图.已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l.若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为 （6－2） 分米（结果用含根号的式子表示）.
图1 图2
三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.（6分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足（a＋2b－11）2＋｜2a－b－2｜＝10c－25－c2，请你判断△ABC的形状，并求出其周长与面积.
解：由题意，得（a＋2b－11）2＋｜2a－b－2｜＋c2－10c＋25＝0，
∴（a＋2b－11）2＋｜2a－b－2｜＋（c－5）2＝0.
∴
∴a＝3，b＝4，c＝5.
∵a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，它的周长是3＋4＋5＝12，面积是×3×4＝6.
20.（6分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，CD∥AB交BD于点D，已知∠1＝32°，求∠D的度数.
解：∵∠BAC＝90°，∠1＝32°，
∴∠ABC＝90°－32°＝58°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝29°.
∵CD∥AB，
∴∠D＝∠ABD＝29°.
21.（8分）我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察.发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
解：由题意得，AC＝400 m，AB＝500 m，
由勾股定理，得
BC＝＝＝300（m），
300÷10＝30 m/s＝108（km/h），
答：敌方汽车的速度是108 km/h.
22.（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，连接AC.
（1）求证：△ACD是直角三角形；
解：（1）证明：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25，
∴AC＝5.
∵CD＝12，AD＝13，
∴AC2＋CD2＝AD2.
∴△ACD是直角三角形.
（2）求△ACD中边AD上的高.
解：（2）过点C作CH⊥AD于点H，
则S△ACD＝AD·CH＝AC·CD.
∴CH＝＝.
23.（9分）如图，一艘船在灯塔C的正东方向8海里的A处，以20海里/时的速度沿北偏西30°方向（AN方向）行驶.
（1）多长时间后，船距灯塔最近？
解：（1）过C作CD⊥AN于点D，易知当船行驶到点D时，距灯塔最近，由题意知∠DAC＝90°－30°＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝×8＝4（海里）.
4÷20＝0.2（小时），
0.2小时＝12分钟，
∴12分钟后，船距灯塔最近.
（2）多长时间后，船到达灯塔的正北方向？此时船距灯塔有多远？（参考数据：162－82≈13.92）
解：（2）过C作BC⊥AC交AN于点B，易知船到达灯塔的正北方向时在B处，∠CBA＝30°，
∴AB＝2AC＝2×8＝16（海里）.16÷20＝0.8（小时），0.8小时＝48分钟.
在Rt△BCA中，BC2＝AB2－AC2＝162－82≈13.92，
∴BC＝13.9海里，
∴48分钟后，船到达灯塔的正北方向，此时船距灯塔约13.9海里.
24.（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°.点D是边AB的中点，点E为边AC上一点，连接CD，DE，以DE为边在DE的左侧作等边三角形DEF，连接BF.
（1）△BCD的形状为 等边三角形 ；
（2）随着点E位置的变化，∠DBF的度数是否变化？并结合图说明你的理由.
解：（2）∠DBF的度数不变.理由如下：
根据（1），知△BDC为等边三角形.
∴BD＝DC，∠BDC＝60°.
又∵△DEF为等边三角形，
∴DF＝DE，∠FDE＝60°.
∴∠BDF＋∠FDC＝∠EDC＋∠FDC＝60°.∴∠BDF＝∠CDE.
在△BDF和△CDE中，
∴△BDF≌△CDE（SAS）.∴∠DBF＝∠DCE.
∵点D为AB的中点，∴CD＝AD.∴∠DCA＝∠A＝30°.
∴∠DBF＝∠DCE＝30°.即∠DBF的度数不变.
25.（10分）如图，△ABC的角平分线AE，BF交于点O.
（1）若∠ACB＝70°，则∠BOA＝ 125° ；
（2）求证：点O在∠ACB的平分线上；
解：（2）证明：过点O作OD⊥BC于点D，OG⊥AB于点G，OH⊥AC于点H，
∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，
∴OG＝OH，OG＝OD.
∴OD＝OH.∴点O在∠ACB的平分线上.
（3）若OE＝OF，求∠ACB的度数.
解：（3）连接OC，在Rt△OED和Rt△OFH中，
∴Rt△OED≌Rt△OFH（HL）.∴∠EOD＝∠FOH.
∴∠EOF＝∠DOH＝180°＋180°－90°－90°－∠ACB＝180°－∠ACB.
∵AE，BF是△ABC的角平分线，
∴∠AOB＝180°－＝90°＋∠ACB，
又∵∠AOB＝∠EOF，即90°＋∠ACB＝180°－∠ACB.
∴∠ACB＝60°.
26.（10分）如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB.
（1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA＝1.6 m，AP＝1.2 m，则甲房间的宽度AB＝ 3.2 m.
（2）当他在乙房间时，测得MA＝2.4 m，MP＝2.5 m，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB；
解：（2）∵∠MPN＝90°，∴∠APM＋∠BPN＝90°，
∵∠APM＋∠AMP＝90°，∴∠AMP＝∠BPN.
在△AMP与△BPN中，
∴△AMP≌△BPN，∴MA＝PB＝2.4 m.
∵PA＝＝0.7 m，
∴AB＝PA＋PB＝0.7＋2.4＝3.1 m.
（3）当他在丙房间时，测得MA＝2.8 m，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°.
①求∠MPN的度数；②求丙房间的宽AB.
解：（3）①∠MPN＝180°－∠APM－∠BPN＝60°；
②过N点作MA的垂线，垂足为D，连接NM.
设AB＝x m，且AB＝ND＝x m.
∵梯子的倾斜角∠BPN为45°，
∴△BNP为等腰直角三角形，△PNM为等边三角形（180°－45°－75°＝60°，梯子长度相同），∠MND＝15°.
∵∠APM＝75°，∴∠AMP＝15°.
∴∠DNM＝∠AMP.
∵△PNM为等边三角形，∴NM＝PM.
∴△AMP≌△DNM（AAS）.∴AM＝DN.
∴AB＝DN＝AM＝2.8 m.
即丙房间的宽AB是2.8 m.
