专题训练一 方程思想在勾股定理中的应用
类型1 单勾股列方程
模型 展示 （8－x）2＋62＝x2
方法 指导 勾股定理是等式，方程也是等式，我们在求直角三角形中的线段长度问题时，可以设某条线段为未知数，将直角三角形的三条线段用含有未知数的代数式和具体的数值表示出来，结合勾股定理建立方程，从而解决线段的长度问题
【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，求CE的长.
解：连接AE.
∵DE为AB的垂直平分线，
∴AE＝BE.
在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝4.
设CE＝x，则BE＝AE＝4－x.
在Rt△ACE中，由勾股定理，得x2＋32＝（4－x）2，解得x＝.
∴CE的长为.
@针对训练
@
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，则CD的长是（ C ）
A. B.
C.3 D.5
2.已知等腰△ABC的底边BC＝5，D是腰AB上一点，且CD＝4，BD＝3，则AD的长为 .
第2题图
3.如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 4 .
第3题图
4.如图所示，在长方形ABCD中，AB＝CD＝5，BC＝AD＝3.
（1）如图1，将长方形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点D'处，求BF的长；
图1
解：∵将长方形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点D'处，∴AF＝CF.
设BF＝x，则AF＝CF＝AB－BF＝5－x，
在Rt△BFC中，∵BF2＋BC2＝FC2，
∴x2＋32＝（5－x）2，解得x＝.
∴BF＝.\
（2）如图2，将△ABD沿BD翻折至△A'BD，若A'B交CD于点E，则此时CE的长为 .
图1 图2
类型2 双勾股列方程
模型 展示 52－x2＝72－（8－x）2 72－x2＝82－（3＋x）2
方法 指导 两个直角三角形共用一条直角边，形成连环勾股定理. 常见辅助线：作三角形的高
【例2】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝6，BC＝7，AC＝5，求AD的长.
解：设BD＝x，则CD＝7－x.
在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2＝62－x2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2＝52－（7－x）2，
∴62－x2＝52－（7－x）2，解得x＝.
∴AD＝＝＝.
【变式】如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝13，AB＝15，求三角形ABC的面积.
解：过点A作AD⊥BC于点D.设CD＝x，则BD＝4＋x.
在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2＝152－（4＋x）2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2＝132－x2，
∴152－（4＋x）2＝132－x2，解得x＝5.
∴AD＝＝＝12.
∴S△ABC＝BC·AD＝×4×12＝24.
@针对训练
5.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（ D ）
A.29 B.32
C.36 D.45
6.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CE是斜边AB上的中线，CD是斜边AB上的高，则DE的长是 .
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上任一点，求证：AB2－AD2＝BD·DC.
证明：作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE.
∵AB2＝AE2＋BE2，
AD2＝AE2＋DE2，
∴AB2－AD2＝BE2－DE2＝（BE＋DE）·（BE－DE）＝BD·（CE－DE）＝BD·DC，
即AB2－AD2＝BD·DC.
专题训练二 利用勾股定理解决路径最短问题
类型1 平面内最短路径问题
1.如图，某高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA'＝2km，BB'＝4km，且A'B'＝8km.要在高速公路上的A'，B'之间建一个出口P，使A，B两城镇到出口P的距离之和最短，最短距离为 10 km.
类型2 立体图形中的最短路径问题
圆柱 则AB2＝B'A2＋B'B2
长方体 甲 乙丙
阶梯 问题
基本 思路 将立体图形展开成平面图形→利用“两点之间，线段最短”确定最短路线→构造直角三角形→利用勾股定理求解
2.如图，有一个圆柱，它的高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱的下底面点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点B处的食物，需要爬行的最短路程是 15 cm.（π取3）
第2题图
【变式】（广安中考）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 10 cm.（杯壁厚度不计）
变式题图
3.如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要爬行的最短路程是 2.6 m.
第3题图
4.如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm.一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是 25 cm.
第4题图
专题训练三 角平分线中常见辅助线的作法
类型1 沿角平分线翻折或在角的一边截取相等线段来构造全等三角形
1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B.求证：AB＝AC＋CD.
证明：在AB上截取AE＝AC，并连接ED.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
在△EAD和△CAD中，
∴△EAD≌△CAD（SAS）.
∴∠AED＝∠C，ED＝CD.
∵∠C＝2∠B，∴∠AED＝2∠B.
∵∠AED＝∠B＋∠EDB，
∴∠B＝∠EDB.∴BE＝DE.
∵AB＝AE＋BE，
∴AB＝AC＋CD.
类型2 作两边的垂线段构造对称图形
2.如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板PCD的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA，OB相交于点C，D，问PC与PD相等吗？试说明理由.
解：PC＝PD.理由如下：
过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F.
∵OP平分∠AOB，
∴PE＝PF.
∵∠EPF＝∠FPC＋∠CPE＝90°，∠CPF＋∠DPF＝90°，
∴∠EPC＝∠FPD.
在△PEC和△PFD中，
∴△PEC≌△PFD（ASA）.
∴PC＝PD.
类型3 延长作对称图形法
3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD交AD于点D，连接CD，若△ABC的面积为20，求△ADC的面积.
解：延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAD.
∵BD⊥AD，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°.
在△ABD和△AED中，
∴△ABD≌△AED（ASA）.
∴BD＝ED，S△ABD＝S△AED.
∴S△BDC＝S△CDE.
∴S△ABD＋S△BDC＝S△AED＋S△CDE＝S△ADC.
∴S△ADC＝S△ABC＝×20＝10.
类型4 翻折法构造对称图形
4.如图，AD为△ABC的中线，DE，DF分别是△ADB和△ADC的角平分线.求证：BE＋CF＞EF.
证明：∵DE是△ADB的角平分线，
∴将△BDE沿DE折叠，点B恰好与AD上一点重合，
设此点为H，连接EH，FH，
则△BDE≌△HDE.
∴BD＝HD，BE＝HE.
∵AD是边BC上的中线，
∴CD＝BD＝HD.
∵DF是△ADC的角平分线，
∴∠CDF＝∠HDF.
又∵DF＝DF，
∴△CDF≌△HDF（SAS）.
∴CF＝HF.
在△HEF中，∵HE＋HF＞EF，
∴BE＋CF＞EF.专题训练一 方程思想在勾股定理中的应用
类型1 单勾股列方程
模型 展示 （8－x）2＋62＝x2
方法 指导 勾股定理是等式，方程也是等式，我们在求直角三角形中的线段长度问题时，可以设某条线段为未知数，将直角三角形的三条线段用含有未知数的代数式和具体的数值表示出来，结合勾股定理建立方程，从而解决线段的长度问题
【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，求CE的长.
@针对训练
@
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，则CD的长是（ ）
A. B.
C.3 D.5
2.已知等腰△ABC的底边BC＝5，D是腰AB上一点，且CD＝4，BD＝3，则AD的长为 .
第2题图
3.如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 .
第3题图
4.如图所示，在长方形ABCD中，AB＝CD＝5，BC＝AD＝3.
（1）如图1，将长方形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点D'处，求BF的长；
图1
\
（2）如图2，将△ABD沿BD翻折至△A'BD，若A'B交CD于点E，则此时CE的长为 .
图1 图2
类型2 双勾股列方程
模型 展示 52－x2＝72－（8－x）2 72－x2＝82－（3＋x）2
方法 指导 两个直角三角形共用一条直角边，形成连环勾股定理. 常见辅助线：作三角形的高
【例2】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝6，BC＝7，AC＝5，求AD的长.
【变式】如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝13，AB＝15，求三角形ABC的面积.
@针对训练
5.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（ ）
A.29 B.32
C.36 D.45
6.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CE是斜边AB上的中线，CD是斜边AB上的高，则DE的长是 .
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上任一点，求证：AB2－AD2＝BD·DC.
专题训练二 利用勾股定理解决路径最短问题
类型1 平面内最短路径问题
1.如图，某高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA'＝2km，BB'＝4km，且A'B'＝8km.要在高速公路上的A'，B'之间建一个出口P，使A，B两城镇到出口P的距离之和最短，最短距离为 km.
类型2 立体图形中的最短路径问题
圆柱 则AB2＝B'A2＋B'B2
长方体 甲 乙丙
阶梯 问题
基本 思路 将立体图形展开成平面图形→利用“两点之间，线段最短”确定最短路线→构造直角三角形→利用勾股定理求解
2.如图，有一个圆柱，它的高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱的下底面点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点B处的食物，需要爬行的最短路程是 cm.（π取3）
第2题图
【变式】（广安中考）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 cm.（杯壁厚度不计）
变式题图
3.如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要爬行的最短路程是 m.
第3题图
4.如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm.一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是 cm.
第4题图
专题训练三 角平分线中常见辅助线的作法
类型1 沿角平分线翻折或在角的一边截取相等线段来构造全等三角形
1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B.求证：AB＝AC＋CD.
类型2 作两边的垂线段构造对称图形
2.如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板PCD的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA，OB相交于点C，D，问PC与PD相等吗？试说明理由.
类型3 延长作对称图形法
3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD交AD于点D，连接CD，若△ABC的面积为20，求△ADC的面积.
类型4 翻折法构造对称图形
4.如图，AD为△ABC的中线，DE，DF分别是△ADB和△ADC的角平分线.求证：BE＋CF＞EF.
