第2章四边形
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出该项）
1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
2.一个n边形的每一个外角都是72°，则n等于（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
3.如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于点E，CE＝4，AB＝2BC，则BC的长为（ ）A.2 B.3 C.4 D.5
第3题图
4.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝CA，AE交CD于点F，则∠DAF的度数为（ ）
第4题图
A.45° B.30°
C.20° D.22.5°
5.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定 ABCD为矩形的是（ ）
第5题图
A.AC＝BD B.AB＝6，BC＝8，AC＝10
C.AC⊥BD D.∠1＝∠2
6.已知矩形的对角线长为10，两邻边之比为3∶4，则矩形的面积为（ ）
A.50 B.48 C.24 D.12
7.（长沙期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A.当∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形
B.当AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形
C.当AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形
D.当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是正方形
8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB于E，交CD于点F，则EF的长为（ ）
A.4.8 B. C.5 D.6
第8题图
9.中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法.如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG.若DE＝6，GB＝4，则△ABC的面积是（ ）
第9题图
A.60 B.48 C.36 D.24
10.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M.若BE＝DF＝1，则DM的长度为（ ）
第10题图
A.2 B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11.在平行四边形ABCD中，∠A与∠B的度数之比为2∶1，则∠C＝ °.
12.如图，△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是6，AB＝3，则△DOC中CD边上的高是 .
第12题图
13.如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6cm，则EF＝ cm.
第13题图
14.将正三角形、正方形、正五边形，按如图所示的位置摆放，且每一个图形的一个顶点都在另一个图形的一条边上，则∠1＋∠2＋∠3＝ .
第14题图
15.（湖南模拟）小佳同学在整理菱形的判定方法时，将知识整理成如图所示.请帮她在横线上填上一个适当的条件，该条件可以是 .
第15题图
16.如图，活动衣帽架由三个相同的菱形组成，利用四边形的不稳定性，调整菱形的内角∠A，使衣帽架拉伸或收缩.若菱形的边长等于10cm，∠A＝120°，则AD＝ cm.
第16题图
17.如图，正方形ABCD的边长为6，点E为CD边的中点，连接BE，将△BCE沿BE翻折得到△BFE，延长BF交AD于点G，则AG的长为 .
18.矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1.当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 .
第17题图
三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.（6分）如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'关于某点中心对称，找出它们的对称中心.
20.（6分）若一个多边形的内角和比它的外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数和对角线的条数.
21.（8分）（浙江中考）尺规作图问题：
如图1，点E是 ABCD边AD上一点（不包含A，D），连接CE.用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点.
小明：如图2，以点C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE.
小丽：以点A为圆心，CE的长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE.
小明：小丽，你的作法有问题.
小丽：哦…我明白了！
（1）求证：AF∥CE；
（2）指出小丽作法中存在的问题.
22.（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DB，DE，过点E作EF∥DB，交AB的延长线于点F.
（1）证明：BF＝DE；
（2）若BD＝5，DE＝3，求BC的长.
23.（9分）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP.
（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
（2）请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？
24.（9分）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，点E在线段OB上（不与点B，点O重合），点F在线段OD上，且DF＝BE，连接AE，AF，CE，CF.
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AC＝4，BD＝8，当BE＝3时，判断△ADE的形状，说明理由.
25.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为点F，连接CD，BE.
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB的中点，当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由.
26.（10分）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE＋CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.第2章四边形
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出该项）
1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ C ）
2.一个n边形的每一个外角都是72°，则n等于（ C ）
A.3 B.4 C.5 D.6
3.如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于点E，CE＝4，AB＝2BC，则BC的长为（ C ）A.2 B.3 C.4 D.5
第3题图
4.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝CA，AE交CD于点F，则∠DAF的度数为（ D ）
第4题图
A.45° B.30°
C.20° D.22.5°
5.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定 ABCD为矩形的是（ C ）
第5题图
A.AC＝BD B.AB＝6，BC＝8，AC＝10
C.AC⊥BD D.∠1＝∠2
6.已知矩形的对角线长为10，两邻边之比为3∶4，则矩形的面积为（ B ）
A.50 B.48 C.24 D.12
7.（长沙期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ D ）
A.当∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形
B.当AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形
C.当AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形
D.当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是正方形
8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB于E，交CD于点F，则EF的长为（ A ）
A.4.8 B. C.5 D.6
第8题图
9.中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法.如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG.若DE＝6，GB＝4，则△ABC的面积是（ B ）
第9题图
A.60 B.48 C.36 D.24
10.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M.若BE＝DF＝1，则DM的长度为（ D ）
第10题图
A.2 B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11.在平行四边形ABCD中，∠A与∠B的度数之比为2∶1，则∠C＝ 120 °.
12.如图，△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是6，AB＝3，则△DOC中CD边上的高是 4 .
第12题图
13.如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6cm，则EF＝ 2 cm.
第13题图
14.将正三角形、正方形、正五边形，按如图所示的位置摆放，且每一个图形的一个顶点都在另一个图形的一条边上，则∠1＋∠2＋∠3＝ 102° .
第14题图
15.（湖南模拟）小佳同学在整理菱形的判定方法时，将知识整理成如图所示.请帮她在横线上填上一个适当的条件，该条件可以是 四条边相等（答案不唯一） .
第15题图
16.如图，活动衣帽架由三个相同的菱形组成，利用四边形的不稳定性，调整菱形的内角∠A，使衣帽架拉伸或收缩.若菱形的边长等于10cm，∠A＝120°，则AD＝ 30 cm.
第16题图
17.如图，正方形ABCD的边长为6，点E为CD边的中点，连接BE，将△BCE沿BE翻折得到△BFE，延长BF交AD于点G，则AG的长为 .
18.矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1.当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 2或1＋ .
第17题图
三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.（6分）如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'关于某点中心对称，找出它们的对称中心.
解：如图所示，连接CC'，DD'交于点O，则点O即为所求.
20.（6分）若一个多边形的内角和比它的外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数和对角线的条数.
解：设这个多边形的边数为n，则内角和为180°（n－2），根据题意，得180°（n－2）＝360°×3＋180°.
解得n＝9.
∴这个多边形对角线的条数为＝27.
答：这个多边形的边数是9，对角线的条数为27.
21.（8分）（浙江中考）尺规作图问题：
如图1，点E是 ABCD边AD上一点（不包含A，D），连接CE.用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点.
小明：如图2，以点C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE.
小丽：以点A为圆心，CE的长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE.
小明：小丽，你的作法有问题.
小丽：哦…我明白了！
（1）求证：AF∥CE；
解：（1）证明：根据小明的作法知，CF＝AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴CF∥AE.
∴四边形AFCE是平行四边形.
∴AF∥CE.
（2）指出小丽作法中存在的问题.
解：（2）以点A为圆心，EC的长为半径画弧，交BC于点F，此时可能会有两个交点，只有其中一个点符合题意.故小丽的作法有问题.
22.（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DB，DE，过点E作EF∥DB，交AB的延长线于点F.
（1）证明：BF＝DE；
解：（1）证明：∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE∥AB，DE＝AB.
又∵EF∥DB，
∴四边形BDEF是平行四边形.
∴BF＝DE.
（2）若BD＝5，DE＝3，求BC的长.
解：（2）∵点D是AC的中点，∠ABC＝90°，
∴BD＝AC.
又∵BD＝5，∴AC＝10.
∵DE＝3，∴AB＝6.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝＝8.
23.（9分）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP.
（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
解：（1）四边形BPCO为平行四边形.
理由：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD.
∵以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，
∴OB＝CP，BP＝OC.∴四边形BPCO为平行四边形.
（2）请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？
解：（2）当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形BPCO为正方形.
∵AC⊥BD，∴∠BOC＝90°.∵AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC，
∴OB＝OC.∵四边形BPCO为平行四边形，∴四边形BPCO为正方形.
24.（9分）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，点E在线段OB上（不与点B，点O重合），点F在线段OD上，且DF＝BE，连接AE，AF，CE，CF.
（1）求证：四边形AECF是菱形；
解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO.
∵BE＝DF，BO＝DO，
∴BO－BE＝DO－DF，即OE＝OF.
∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形.
∵AC⊥BD，∴四边形AECF是菱形.
（2）若AC＝4，BD＝8，当BE＝3时，判断△ADE的形状，说明理由.
解：（2）△ADE是直角三角形.
理由：∵AC＝4，BD＝8，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝2，BO＝DO＝4.
∵BE＝3，∴OE＝4－3＝1，DE＝DO＋OE＝4＋1＝5，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD2＝AO2＋DO2＝22＋42＝20；
在Rt△AOE中，由勾股定理，得AE2＝AO2＋OE2＝22＋12＝5.
∵DE2＝52＝25，∴AD2＋AE2＝DE2.
∴∠DAE＝90°，即△ADE是直角三角形.
25.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为点F，连接CD，BE.
（1）求证：CE＝AD；
解：（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE.
∵MN∥AB，
∴四边形ADEC是平行四边形.
∴CE＝AD.
（2）当D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
解：（2）四边形BECD是菱形.
理由：∵点D为AB的中点，∴AD＝BD.
∵CE＝AD，∴BD＝CE.
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形.
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD.
∴四边形BECD是菱形.
（3）若D为AB的中点，当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由.
解：（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形.
理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC.
∵D为BA的中点，∴CD⊥AB.
∴∠CDB＝90°.
由（2）知四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形.
即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形.
26.（10分）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
解：（1）证明：如图，作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，
∴∠DNE＝∠FME＝90°.
又∵∠BCD＝90°，∴∠MEN＝90°.
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN.
∵∠DEF＝90°，∴∠DEF－∠NEF＝∠MEN－∠NEF.
∴∠DEN＝∠FEM.在△DEN和△FEM中，
∴△DEN≌△FEM（ASA）.∴DE＝FE.
又∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形.
（2）探究：CE＋CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.
解：（2）CE＋CG的值是定值，定值为6.理由如下：
在正方形DEFG和正方形ABCD中，DE＝DG，AD＝CD.
∵∠CDG＋∠CDE＝∠ADE＋∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE.
在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS）.
∴AE＝CG.∴CE＋CG＝CE＋AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值.
