第2章 四边形 专题训练
专题训练四 平行四边形的性质和判定
类型1 平行四边形的性质
1.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F.求证：AE＝CF.
2.（南充中考）如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE＝∠ADF.求证：
（1）AE＝CF；
（2）BE∥DF.
3.（长沙中考）如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F.
（1）求证：AD＝AF；
（2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的长和△ADF的面积.
类型2 平行四边形的判定
4.【开放性试题】如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是 ；
（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形.
5.如图，D为AB上一点，DF交AC于点E，E为AC的中点，CF∥AB.连接DC，FA.求证：四边形AFCD是平行四边形.
类型3 平行四边形的性质和判定的综合
6.（湖南中考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上， .
请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形BCDE为平行四边形；
（2）若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长.
7.（衡阳期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD.过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF.
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）若BD＝2，AD＝3，求DF的长.
专题训练五 特殊四边形的性质与判定
类型1 矩形的性质与判定
1.（新疆中考）如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，E，F分别是AO，DO的中点.
（1）求证：OE＝OF；
（2）当∠A＝30°时，求证：四边形BECF是矩形.
2.（安徽中考改编）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB.
（1）若∠E＝25°，则∠EBG＝ °；
（2）【一题多解题】连接AG，求证：EG－DG＝AG.
类型2 菱形的性质与判定
3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边BC，AB的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.
（1）求证：AF＝CE；
（2）当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状，并说明理由.
4.（达州中考节选）在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：
图1
（1）如图1，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO.
∴AB2＝AO2＋BO2.
又∵AC＝2AO，BD＝2BO，
∴AB2＝ ＋ .
整理，得AC2＋BD2＝ .
【类比探究】（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系.
图2
类型3 正方形的性质与判定
5.（贵州中考）如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）猜想CE与CG之间的位置关系？并说明理由；
（3）若AB＝，则CE＋CG的值为 .
专题训练六 四边形中的折叠问题
【方法指导】折叠的基本性质
如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的点，连接BE，将矩形ABCD沿BE折叠，点A的对应点为点A'，连接AA'.
（1）在△BAE和△BA'E中，相等的角：
①∠ABE＝ ，
②∠BEA＝ ，
③∠BAE＝ ＝ ；
（2）在△BAE和△BA'E中，相等的边：
①BA＝ ，②AE＝ ；
（3）全等图形：△BAE≌ ；
（4）线段位置关系：BE垂直且平分 .
【解题技巧】折叠的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形.
类型1 利用折叠出现等腰三角形求解
【方法指导】当折痕过特殊四边形的对边或对角线时，可利用角平分线（折痕）与平行线（特殊四边形的对边）的性质得到等腰三角形，再利用等腰三角形的性质求解.
【例1】在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O，求证：OA＝OE.
@针对训练
@
1.如图，点E，F分别是 ABCD的边AD，BC上的点，EF＝6，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC'D'，ED'交BC于点G，则△GEF的周长为（ ）
A.9
B.12
C.9
D.18
2.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D＝80°，则∠ECF的度数是 .
类型2 利用折叠出现直角三角形求解
方法 指导 由于矩形的四个内角均为直角，故折叠后易出现与设问相关联的直角三角形，可利用勾股定理列方程求解
模型 解读 图形分析：在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，将矩形按照如图所示折叠. 解题思路：如图，设DF＝x，则 AF＝b－x，BF＝DF＝x.在Rt△ABF中，利用勾股定理可列方程a2＋（b－x）2＝x2
【例2】如图，把一矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D和点B重合，点C落在C'位置，若AB＝4 cm，AD＝12 cm，求BE的长.
@针对训练
@
3.如图，正方形ABCD的边长为3，将正方形折叠，使点A落在边CD上的点A'处，点B落在点B'处，折痕为EF.若A'C＝2，则DF的长是（ ）
A.1 B.
C. D.2
4.如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝4 cm，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，将纸片沿对角线AC对折，CF交边AD于点E，则折叠后图中重合部分的面积是 cm2.
第4题图
5.如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝16，∠B＝60°，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在CD边的中点B'处，折痕与边BC，BA分别交于点M，N.则CM的长为 .
第5题图
6.如图，在矩形ABCD中，AD＝3，点M是CD边上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM，MN，AB的延长线交于点Q，DM＝1.求NQ的长.
类型3 利用折叠出现全等图形求解
【例3】综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ.
（1）如图1，当点M在EF上时，∠EMB＝ °；
（2）改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由.
@针对训练
@
7.（潍坊中考）如图，在矩形ABCD中，AB＞2AD，点E，F分别在边AB，CD上.将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上.连接GE，FH.求证：
（1）△AEH≌△CFG；
（2）四边形EGFH为平行四边形.
专题训练七 四边形中的动态问题
1.如图，在等边三角形ABC中，BC＝6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以1 cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2 cm/s的速度运动，设运动时间为t s，当t为何值时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形？
2.如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝11 cm，点P从点D出发向终点A运动；同时点Q从点B出发向终点C运动.当P，Q两点其中有一点到达终点时，另一点随之停止，点P，Q的速度分别为1 cm/s，2 cm/s，连接PQ，AQ，CP.设点P，Q运动的时间为t s.
（1）如图1，当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（2）如图2，若点E为边AD上一点，当AE＝3 cm时，四边形EQCP可能为菱形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由.
3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，AD＝16 cm，BC＝22 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3 cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t s.
（1）当t为多少时，四边形ABQP为矩形？
（2）四边形PBQD是否能为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由.
专题训练八 特殊平行四边形中的最值问题
类型1 垂线段最短
【解题思路】两个动点，求一条线段的最小值，利用等量代换，根据垂线段最短
1.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最小值为 .
2.如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为（ ）
A.2.4 B.4.8
C.3 D.4
第2题图
3.如图，E为菱形ABCD的对角线AC上的动点，以EA，EB为邻边作平行四边形AFBE，若AB＝15，AC＝18，则EF的最小值为（ ）
第3题图
A.24 B.12 C.20 D.10
类型2 将军饮马
【解题思路】一个动点，求两条线段和，作一个对称点
4.如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点.若AB＝4，则AE＋OE的最小值是（ ）
A.4
B.2＋2
C.2
D.2
5.如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，点E为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，则PB＋PE的最小值为 .
第5题图
6.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点，且BE＝CF，连接BF，DE，则BF＋DE的最小值为 .
第6题图
类型3 利用三角形三边关系求最值
【解题思路】把线段转化到同一个三角形中.7.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E，F分别是AB，DC上的动点，EF∥BC，则AF＋CE的最小值是 .
第7题图
8.如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点B，C分别在边OM，ON上，当B在OM上运动时，点C随之在ON上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中CD＝5，BC＝24，运动过程中，点D到点O的最大距离是（ ）
第8题图
A.24 B.25
C.2 D.26
9.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE＝DF，则DE＋CF的最小值为（ ）
A.3
B.2
C.
D.第2章 四边形 专题训练
专题训练四 平行四边形的性质和判定
类型1 平行四边形的性质
1.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F.求证：AE＝CF.
证明：∵ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AO＝CO，AD∥BC.
∴∠EAO＝∠FCO.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA）.
∴AE＝CF.
2.（南充中考）如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE＝∠ADF.求证：
（1）AE＝CF；
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∴∠DAF＝∠BCE.
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（ASA）.
∴AF＝CE.
∴AF－EF＝CE－EF.
∴AE＝CF.
（2）BE∥DF.
证明：（2）∵△ADF≌△CBE，
∴∠AFD＝∠CEB，
∴BE∥DF.
3.（长沙中考）如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F.
（1）求证：AD＝AF；
解：（1）证明：在 ABCD中，
∵AB∥CD，∴∠CDE＝∠F.
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE.
∴∠F＝∠ADF.∴AD＝AF.
（2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的长和△ADF的面积.
解：（2）∵AF＝AD＝6，AB＝3，
∴BF＝AF－AB＝3.
过点D作DH⊥AF交FA的延长线于H，
∵∠BAD＝120°，∴∠DAH＝60°.
∴∠ADH＝30°.∴AH＝AD＝3，
∴DH＝＝＝3.
∴S△ADF＝AF·DH＝×6×3＝9.
类型2 平行四边形的判定
4.【开放性试题】如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是 AE＝CF（答案不唯一） ；
（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形.
证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF.
又∵AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形.
5.如图，D为AB上一点，DF交AC于点E，E为AC的中点，CF∥AB.连接DC，FA.求证：四边形AFCD是平行四边形.
证明：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE.
∵CF∥AB，
∴∠DAE＝∠FCE.
在△ADE和△CFE中，
∴△ADE≌△CFE（ASA）.
∴DE＝FE.
∵AE＝CE，
∴四边形AFCD是平行四边形.
类型3 平行四边形的性质和判定的综合
6.（湖南中考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上， ①或② .
请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形BCDE为平行四边形；
解：（1）证明：选择①，
∵∠B＝∠AED，∴BC∥DE.
∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形.
选择②，∵AE＝BE，AE＝CD，∴BE＝CD.
∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形.
（2）若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长.
解：（2）由（1）可知，四边形BCDE为平行四边形，
∴DE＝BC＝10.
∵AD⊥AB，∴∠A＝90°.
∴AE＝＝＝6.
7.（衡阳期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD.过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF.
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
解：（1）证明：∵EF∥AD，
∴∠FEC＝∠ADC.
在△FCE和△ACD中，
∴△FCE≌△ACD（ASA）.
∴EF＝AD.
∴四边形ADFE是平行四边形.
（2）若BD＝2，AD＝3，求DF的长.
解：（2）由（1）可知，四边形ADFE是平行四边形，
∴EF＝AD＝3.
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD＝2.
∴CE＝CD＝2.
∴DE＝2CD＝4.
∵EF∥AD，
∴EF⊥BC.
∴∠DEF＝90°.
∴DF＝＝＝5.
专题训练五 特殊四边形的性质与判定
类型1 矩形的性质与判定
1.（新疆中考）如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，E，F分别是AO，DO的中点.
（1）求证：OE＝OF；
证明：（1）∵∠ABO＝∠DCO＝90°，
∴AB∥CD.
∴∠A＝∠D.
在△AOB和△DOC中，
∴△AOB≌△DOC（AAS）.∴AO＝OD.
∵E，F分别是AO，DO的中点，
∴OE＝OA，OF＝OD.∴OE＝OF.
（2）当∠A＝30°时，求证：四边形BECF是矩形.
证明：（2）∵OB＝OC，OE＝OF，
∴四边形BECF是平行四边形.
∵∠A＝30°，∴OB＝OA＝OE.
∵OE＝OF，∴OB＝EF.
∵OB＝OC，∴BC＝EF.
∴四边形BECF是矩形.
2.（安徽中考改编）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB.
（1）若∠E＝25°，则∠EBG＝ 65 °；
（2）【一题多解题】连接AG，求证：EG－DG＝AG.
解：在线段EG上取点P，使得EP＝DG，连接AP.
在△AEF和△ADB中，
∴△AEF≌△ADB（SAS）.
∴∠AEP＝∠ADG.
在△AEP和△ADG中，
∵AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，
∴△AEP≌△ADG（SAS）.
∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG.
∴∠PAG＝∠PAD＋∠DAG＝∠PAD＋∠EAP＝∠DAE＝90°.
∴△PAG为等腰直角三角形.
∴EG－DG＝EG－EP＝PG＝AG，
即EG－DG＝AG.
（本题亦可过点A作AG的垂线，与DB的延长线交于点Q，证明△AEG≌△ADQ）
类型2 菱形的性质与判定
3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边BC，AB的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.
（1）求证：AF＝CE；
（2）当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状，并说明理由.
解：（1）证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，
∴DE∥AC，AC＝2DE.
∵EF＝2DE，
∴EF＝AC.
又∵EF∥AC，
∴四边形ACEF是平行四边形.
∴AF＝CE.
（2）当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形，
理由如下：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，AC＝AB＝AE.
∴△AEC是等边三角形.
∴AC＝CE.
由（1）知四边形ACEF是平行四边形.
∴四边形ACEF是菱形.
4.（达州中考节选）在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：
图1
（1）如图1，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO.
∴AB2＝AO2＋BO2.
又∵AC＝2AO，BD＝2BO，
∴AB2＝ ＋ .
整理，得AC2＋BD2＝ 4AB2 .
【类比探究】（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系.
图2
解：AC2＋BD2＝2AB2＋2AD2，理由如下：
过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，
∴∠DEA＝∠DEB＝∠CFB＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥CB，AD＝BC.
∴∠DAE＝∠CBF.
在△DAE和△CBF中，
∴△DAE≌△CBF（AAS）.
∴AE＝BF，DE＝CF.
在Rt△DBE中，DB2＝DE2＋BE2＝DE2＋（AB－AE）2，
在Rt△CAF中，AC2＝CF2＋AF2＝CF2＋（AB＋BF）2，
∴AC2＋BD2＝2DE2＋AB2－2AB·AE＋AE2＋AB2＋2AB·AE＋AE2＝2（DE2＋AE2）＋2AB2＝2AD2＋2AB2.
类型3 正方形的性质与判定
5.（贵州中考）如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
解：（1）证明：作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，
则四边形EMCN是矩形，
∴∠MEN＝90°.
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN.
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEF＝90°.
∴∠DEN＝∠MEF＝90°－∠FEN.
在△DEN和△FEM中，
∴△DEN≌△FEM（ASA）.
∴DE＝EF.
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形.
（2）猜想CE与CG之间的位置关系？并说明理由；
解：（2）CE⊥CG，理由如下：
∵四边形DEFG和四边形ABCD都是正方形，
∴DE＝DG，AD＝DC，∠ADC＝∠EDG＝90°.
∴∠CDG＋∠CDE＝∠ADE＋∠CDE＝90°.
∴∠CDG＝∠ADE.
在△ADE和△CDG中，
∴△ADE≌△CDG（SAS）.
∴∠CAD＝∠DCG.
∵∠ACD＋∠CAD＋∠ADC＝180°，∠ADC＝90°，
∴∠ACG＝∠ACD＋∠DCG＝∠ACD＋∠CAD＝90°.
∴CE⊥CG.
（3）若AB＝，则CE＋CG的值为 2 .
专题训练六 四边形中的折叠问题
【方法指导】折叠的基本性质
如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的点，连接BE，将矩形ABCD沿BE折叠，点A的对应点为点A'，连接AA'.
（1）在△BAE和△BA'E中，相等的角：
①∠ABE＝ ∠A'BE ，
②∠BEA＝ ∠BEA' ，
③∠BAE＝ ∠BA'E ＝ 90° ；
（2）在△BAE和△BA'E中，相等的边：
①BA＝ BA' ，②AE＝ A'E ；
（3）全等图形：△BAE≌ △BA'E ；
（4）线段位置关系：BE垂直且平分 AA' .
【解题技巧】折叠的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形.
类型1 利用折叠出现等腰三角形求解
【方法指导】当折痕过特殊四边形的对边或对角线时，可利用角平分线（折痕）与平行线（特殊四边形的对边）的性质得到等腰三角形，再利用等腰三角形的性质求解.
【例1】在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O，求证：OA＝OE.
证明：由折叠的性质，可知
BE＝BC＝AD，
∠EBD＝∠CBD.
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD.
∴∠ADB＝∠EBD.∴OD＝OB.
∴AD－OD＝BE－OB.∴OA＝OE.
@针对训练
@
1.如图，点E，F分别是 ABCD的边AD，BC上的点，EF＝6，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC'D'，ED'交BC于点G，则△GEF的周长为（ D ）
A.9
B.12
C.9
D.18
2.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D＝80°，则∠ECF的度数是 40° .
类型2 利用折叠出现直角三角形求解
方法 指导 由于矩形的四个内角均为直角，故折叠后易出现与设问相关联的直角三角形，可利用勾股定理列方程求解
模型 解读 图形分析：在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，将矩形按照如图所示折叠. 解题思路：如图，设DF＝x，则 AF＝b－x，BF＝DF＝x.在Rt△ABF中，利用勾股定理可列方程a2＋（b－x）2＝x2
【例2】如图，把一矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D和点B重合，点C落在C'位置，若AB＝4 cm，AD＝12 cm，求BE的长.
解：设DE＝x cm，根据折叠性质，得BE＝DE＝x cm.
∵AD＝12 cm，
∴AE＝（12－x） cm.
在Rt△ABE中，BE2＝AB2＋AE2，即x2＝42＋（12－x）2.解得x＝.
∴BE的长为 cm.
@针对训练
@
3.如图，正方形ABCD的边长为3，将正方形折叠，使点A落在边CD上的点A'处，点B落在点B'处，折痕为EF.若A'C＝2，则DF的长是（ B ）
A.1 B.
C. D.2
4.如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝4 cm，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，将纸片沿对角线AC对折，CF交边AD于点E，则折叠后图中重合部分的面积是 4 cm2.
第4题图
5.如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝16，∠B＝60°，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在CD边的中点B'处，折痕与边BC，BA分别交于点M，N.则CM的长为 4.8 .
第5题图
6.如图，在矩形ABCD中，AD＝3，点M是CD边上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM，MN，AB的延长线交于点Q，DM＝1.求NQ的长.
解：根据折叠的性质，可知
AN＝AD＝3，MN＝MD＝1，
∠DMA＝∠AMQ，
∠ANM＝∠D＝90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠DMA＝∠MAQ，
∴∠MAQ＝∠AMQ，
∴MQ＝AQ.
设NQ＝x，则AQ＝MQ＝1＋x.
在Rt△ANQ中，根据勾股定理，得
AQ2＝AN2＋NQ2，
∴（1＋x）2＝32＋x2，
解得x＝4，即NQ＝4.
类型3 利用折叠出现全等图形求解
【例3】综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ.
（1）如图1，当点M在EF上时，∠EMB＝ 30 °；
（2）改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由.
解：∠MBQ＝∠CBQ，理由如下：
根据折叠的性质，得
AB＝BM，∠A＝∠BMP＝90°，
∴BC＝AB＝BM，∠BMQ＝∠BMP＝∠C＝90°，
又∵BQ＝BQ，
∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ（HL），
∴∠MBQ＝∠CBQ.
@针对训练
@
7.（潍坊中考）如图，在矩形ABCD中，AB＞2AD，点E，F分别在边AB，CD上.将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上.连接GE，FH.求证：
（1）△AEH≌△CFG；
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，AB∥CD.
∴∠EAH＝∠FCG.
由折叠可得，AG＝AD，CH＝CB，∠CHE＝∠B＝90°，∠AGF＝∠D＝90°，
∴CH＝AG，∠AHE＝∠CGF＝90°.
∴AH＝CG.
在△AEH和△CFG中，
∴△AEH≌△CFG（ASA）.
（2）四边形EGFH为平行四边形.
证明：（2）由（1）知∠AHE＝∠CGF＝90°，△AEH≌△CFG，
∴EH∥FG，EH＝FG.
∴四边形EGFH为平行四边形.
专题训练七 四边形中的动态问题
1.如图，在等边三角形ABC中，BC＝6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以1 cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2 cm/s的速度运动，设运动时间为t s，当t为何值时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形？
解：①当点F在C的左侧时，根据题意，得
AE＝t cm，BF＝2t cm，
则CF＝BC－BF＝（6－2t）cm.
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝6－2t.解得t＝2.
②当点F在C的右侧时，根据题意，得
AE＝t cm，BF＝2t cm，
则CF＝BF－BC＝（2t－6）cm.
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝2t－6.解得t＝6.
综上所述，当t的值为2或6时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形.
2.如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝11 cm，点P从点D出发向终点A运动；同时点Q从点B出发向终点C运动.当P，Q两点其中有一点到达终点时，另一点随之停止，点P，Q的速度分别为1 cm/s，2 cm/s，连接PQ，AQ，CP.设点P，Q运动的时间为t s.
（1）如图1，当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
解：根据题意，得DP＝t cm，BQ＝2t cm，则AP＝（11－t）cm.
（1）若四边形ABQP是矩形，则AP＝BQ，
即11－t＝2t.解得t＝.
故当t的值为时，四边形ABQP是矩形.
（2）如图2，若点E为边AD上一点，当AE＝3 cm时，四边形EQCP可能为菱形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由.
解：（2）能.根据题意，得
PE＝11－3－t＝（8－t）cm，CQ＝（11－2t）cm.
在Rt△PDC中，CP＝＝.
若四边形EQCP为菱形，则PE＝CQ＝CP.
由PE＝CQ，得
8－t＝11－2t.解得t＝3.
当t＝3时，CP＝＝5（cm），PE＝8－t＝5 cm.
∴CP＝PE，满足题意.
故当t的值为3时，四边形EQCP为菱形.
3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，AD＝16 cm，BC＝22 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3 cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t s.
（1）当t为多少时，四边形ABQP为矩形？
解：（1）∵∠ABC＝90°，AP∥BQ，∴当AP＝BQ时，四边形ABQP为矩形.
此时有t＝22－3t，解得t＝.∴当t＝时，四边形ABQP为矩形.
（2）四边形PBQD是否能为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由.
解：（2）四边形PBQD不能为菱形.理由如下：
∵PD∥BQ，
∴当PD＝BQ＝BP时，四边形PBQD为菱形.
由PD＝BQ，得16－t＝22－3t.解得t＝3.
当t＝3时，PD＝BQ＝13，BP＝＝＝＝≠13.
∴四边形PBQD不能为菱形.
专题训练八 特殊平行四边形中的最值问题
类型1 垂线段最短
【解题思路】两个动点，求一条线段的最小值，利用等量代换，根据垂线段最短
1.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最小值为 1 .
2.如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为（ A ）
A.2.4 B.4.8
C.3 D.4
第2题图
3.如图，E为菱形ABCD的对角线AC上的动点，以EA，EB为邻边作平行四边形AFBE，若AB＝15，AC＝18，则EF的最小值为（ B ）
第3题图
A.24 B.12 C.20 D.10
类型2 将军饮马
【解题思路】一个动点，求两条线段和，作一个对称点
4.如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点.若AB＝4，则AE＋OE的最小值是（ D ）
A.4
B.2＋2
C.2
D.2
5.如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，点E为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，则PB＋PE的最小值为 .
第5题图
6.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点，且BE＝CF，连接BF，DE，则BF＋DE的最小值为 4 .
第6题图
类型3 利用三角形三边关系求最值
【解题思路】把线段转化到同一个三角形中.7.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E，F分别是AB，DC上的动点，EF∥BC，则AF＋CE的最小值是 10 .
第7题图
8.如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点B，C分别在边OM，ON上，当B在OM上运动时，点C随之在ON上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中CD＝5，BC＝24，运动过程中，点D到点O的最大距离是（ B ）
第8题图
A.24 B.25
C.2 D.26
9.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE＝DF，则DE＋CF的最小值为（ D ）
A.3
B.2
C.
D.
