第3章 图形与坐标
专题训练九 平面直角坐标系中图形面积的求法
类型1 直接利用面积公式求图形面积
模型展示
S△ABC＝（xB－xA）·（yC－yA） S△ABC＝（yA－yB）·｜xC｜
【例1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－6，0），B（3，0），C（－7，8）.
（1）求线段AB的长；
（2）求△ABC的面积S.
@针对训练
@
1.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（－1，5），B（－1，0），C（－4，3），则△ABC的面积为 .
2.如图，已知A（－2，3），B（4，3），C（－1，－3）.
（1）求点C到x轴的距离；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标.
类型2 利用割补法求图形面积
模型展示 分割法 S△ABC＝BD·（AF＋CE）
补形法 S△ABC＝S四边形AMNC－（S△ABM＋S△BCN）
【例2】如图，已知在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为A（0，0），B（9，0），C（7，4），D（2，8），求四边形ABCD的面积.
@针对训练
@
3.如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3），则△ABC的面积为 .
4.如图，在平面直角坐标系中，A（－3，－2），B（－1，－4）.
（1）S△OAB＝ ；
（2）延长AB交y轴于P点，求P点坐标；
（3）Q点在y轴上，以A，B，O，Q为顶点的四边形的面积为6，求Q点坐标.
类型3 利用和差法求图形面积
模型 展示 S△ABC＝S△AOC＋S△BOC－S△AOB
【例3】如图所示，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2），求△ABC的面积.
@针对训练
@
5.如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（0，1），（3，0），（2，2）.
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（a，2），试用含a的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下是否存在点P，使得四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
专题训练十 平面直角坐标系中的创新题
类型1 新定义题
1.在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换，
①f（a，b）＝（－a，b），如：f（1，3）＝（－1，3）；
②g（a，b）＝（b，a），如：g（1，3）＝（3，1）；
③h（a，b）＝（－a，－b），如：h（1，3）＝（－1，－3）.
按照以上变换有：f（g（2，－3））＝f（－3，2）＝（3，2），那么f（h（5，－3））等于（ ）
A.（－5，－3） B.（5，3）
C.（5，－3） D.（－5，3）
2.平面直角坐标系中有两点M（a，b），N（c，d），规定（a，b） （c，d）＝（a＋c，b＋d），则称点Q（a＋c，b＋d）为M，N的“和点”.若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”.现有点A（2，5），B（－1，3），若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是 .
3.在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“友好距离”，给出如下定义：
若｜x1－x2｜≥｜y1－y2｜，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“友好距离”为｜x1－x2｜；
若｜x1－x2｜＜｜y1－y2｜，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“友好距离”为｜y1－y2｜.
已知点A（－，0），点B为y轴上的动点.
（1）若点A与点B的“友好距离”为3，则点B的坐标为 ；
（2）求点A与点B的“友好距离”的最小值.
类型2 规律探究题
4.如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2 024次运动后，动点P的坐标是（ ）
A.（2 024，0） B.（2 024，2）
C.（2 023，2） D.（2 023，0）
5.（长沙雅礼中学期中）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4，A5，A6，…的坐标依次为A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，按此规律排列，则点A2 024的坐标是 .第3章 图形与坐标
专题训练九 平面直角坐标系中图形面积的求法
类型1 直接利用面积公式求图形面积
模型展示
S△ABC＝（xB－xA）·（yC－yA） S△ABC＝（yA－yB）·｜xC｜
【例1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－6，0），B（3，0），C（－7，8）.
（1）求线段AB的长；
解：（1）AB的长为3－（－6）＝9.
（2）求△ABC的面积S.
解：（2）∵点C的坐标为（－7，8），
∴在△ABC中，AB边上的高为8.
∴S＝×AB×8＝×9×8＝36.
@针对训练
@
1.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（－1，5），B（－1，0），C（－4，3），则△ABC的面积为 7.5 .
2.如图，已知A（－2，3），B（4，3），C（－1，－3）.
（1）求点C到x轴的距离；
解：（1）∵C（－1，－3），｜－3｜＝3.
∴点C到x轴的距离为3.
（2）求△ABC的面积；
解：（2）∵A（－2，3），B（4，3），C（－1，－3），
∴AB＝4－（－2）＝6，点C到边AB的距离为3－（－3）＝6.
∴S△ABC＝×6×6＝18.
（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标.
解：（3）设点P的坐标为（0，y），
∵△ABP的面积为6，
∴×6×｜y－3｜＝6.
∴y＝1或y＝5.
∴点P的坐标为（0，1）或（0，5）.
类型2 利用割补法求图形面积
模型展示 分割法 S△ABC＝BD·（AF＋CE）
补形法 S△ABC＝S四边形AMNC－（S△ABM＋S△BCN）
【例2】如图，已知在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为A（0，0），B（9，0），C（7，4），D（2，8），求四边形ABCD的面积.
解：过点D，C分别作DE，CF垂直AB，E，F分别为垂足，则
S四边形ABCD＝S△AED＋S梯形EFCD＋S△CFB
＝AE·DE＋（CF＋DE）·EF＋BF·CF
＝×2×8＋×（8＋4）×5＋×2×4＝42.
故四边形ABCD的面积为42.
@针对训练
@
3.如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3），则△ABC的面积为 4 .
4.如图，在平面直角坐标系中，A（－3，－2），B（－1，－4）.
（1）S△OAB＝ 5 ；
（2）延长AB交y轴于P点，求P点坐标；
解：（2）设P（0，t），
∵S△OAP－S△OBP＝S△OAB，
∴×（－t）×3－×（－t）×1＝5，解得t＝－5.
∴P点的坐标为（0，－5）.
（3）Q点在y轴上，以A，B，O，Q为顶点的四边形的面积为6，求Q点坐标.
解：（3）当Q在y轴的正半轴上时，
∵S四边形ABOQ＝S△AOB＋S△AOQ，
∴S△AOQ＝6－5＝1.
∴×3×OQ＝1，解得OQ＝.
则此时Q点的坐标为.
当Q在y轴的负半轴上时，
∵S四边形ABQO＝S△AOB＋S△BOQ，
∴S△BOQ＝6－5＝1.
∴×1×OQ＝1，解得OQ＝2.
则此时Q点的坐标为（0，－2）.
即Q点坐标为或（0，－2）.
类型3 利用和差法求图形面积
模型 展示 S△ABC＝S△AOC＋S△BOC－S△AOB
【例3】如图所示，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2），求△ABC的面积.
解：如图，连接OB.
S△ABC＝S△ABO＋S△BCO－S△ACO＝×4×4＋×2×3－×2×4＝7.
@针对训练
@
5.如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（0，1），（3，0），（2，2）.
（1）求△ABC的面积；
解：（1）连接OC，
∵A，B，C三点的坐标分别为（0，1），（3，0），（2，2），
∴OA＝1，OB＝3.
∴S△ABC＝S△OAC＋S△OCB－S△OAB＝×1×2＋×3×2－×1×3＝2.5.
（2）如果在第二象限内有一点P（a，2），试用含a的式子表示四边形ABOP的面积；
解：（2）S四边形ABOP＝S△PAO＋S△OAB＝＋＝.
（3）在（2）的条件下是否存在点P，使得四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（3）当＝2.5时，a＝－2，
故存在点P，使得四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等.
P点坐标为（－2，2）.
专题训练十 平面直角坐标系中的创新题
类型1 新定义题
1.在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换，
①f（a，b）＝（－a，b），如：f（1，3）＝（－1，3）；
②g（a，b）＝（b，a），如：g（1，3）＝（3，1）；
③h（a，b）＝（－a，－b），如：h（1，3）＝（－1，－3）.
按照以上变换有：f（g（2，－3））＝f（－3，2）＝（3，2），那么f（h（5，－3））等于（ B ）
A.（－5，－3） B.（5，3）
C.（5，－3） D.（－5，3）
2.平面直角坐标系中有两点M（a，b），N（c，d），规定（a，b） （c，d）＝（a＋c，b＋d），则称点Q（a＋c，b＋d）为M，N的“和点”.若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”.现有点A（2，5），B（－1，3），若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是 （1，8）或（－3，－2）或（3，2） .
3.在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“友好距离”，给出如下定义：
若｜x1－x2｜≥｜y1－y2｜，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“友好距离”为｜x1－x2｜；
若｜x1－x2｜＜｜y1－y2｜，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“友好距离”为｜y1－y2｜.
已知点A（－，0），点B为y轴上的动点.
（1）若点A与点B的“友好距离”为3，则点B的坐标为 （0，3）或（0，－3） ；
（2）求点A与点B的“友好距离”的最小值.
解：（2）设B（0，y），根据题意，得
＝，｜0－y｜＝｜y｜.
当≥｜y｜时，点A与点B的“友好距离”为；
当＜｜y｜时，点A与点B的“友好距离”为｜y｜.
此时点A与点B的“友好距离”大于.
综上所述，点A与点B的“友好距离”的最小值为.
类型2 规律探究题
4.如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2 024次运动后，动点P的坐标是（ A ）
A.（2 024，0） B.（2 024，2）
C.（2 023，2） D.（2 023，0）
5.（长沙雅礼中学期中）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4，A5，A6，…的坐标依次为A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，按此规律排列，则点A2 024的坐标是 （1 012，0） .
