第4章一次函数
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出该项）
1.下列函数中，是一次函数的是（ ）
A.y＝－1 B.y＝x2＋3
C.y＝3x D.y＝k＋b（k，b是常数）
2.已知小明从A地走到B地，速度为4 km/h，A，B两地相距3 km，若用x（h）表示行走的时间，y（km）表示余下的路程，则y与x之间的函数表达式是（ ）
A.y＝4x B.y＝4x－3
C.y＝－4x D.y＝－4x＋3
3.函数y＝2kx－k，当x＝－1时，y＝6，则k的值为（ ）
A.－1 B.－2 C.1 D.2
4.若点P在一次函数y＝－2x－3的图象上，则点P一定不在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.若点（m，n）在第二象限，则一次函数y＝nx＋m的图象可能是（ ）
6.将直线y＝－2x＋1向下平移2个单位，平移后的直线表达式为（ ）
A.y＝－2x－5 B.y＝－2x－3
C.y＝－2x－1 D.y＝－2x＋3
7.下列关于一次函数y＝kx＋b（k＜0，b＞0）的说法，错误的是（ ）
A.图象经过第一、二、四象限 B.y随x的增大而减小
C.图象与y轴交于点（0，b） D.当x＞－时，y＞0
8.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，直线y＝x＋5和直线y＝ax＋b相交于点P，根据图象可知，方程x＋5＝ax＋b的解是（ ）
A.x＝20 B.x＝5 C.x＝25
D.x＝15
第8题图
9.某超市以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价0.3元，直至全部售完.销售金额y（元）与售出西瓜的质量x（kg）之间的关系如图所示，那么超市销售这批西瓜一共赚了（ ）
第9题图
A.20元 B.32元
C.35元 D.36元
10.如图，正方形ABCD的面积为16，动点P从点B出发沿折线BCDA做匀速运动，设点P运动的路程为x，△PAB的面积为y，下列图象能表示y与x之间函数关系的是（ ）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11.若一次函数y＝2mx＋2m－4是正比例函数，则m＝ .
12.当m 时，函数y＝（m－3）x－2中y随x的增大而减小.
13.已知函数y＝3x的图象经过点A（－1，y1），点B（－2，y2），则y1 y2（填“＞”“＜”或“＝”）.
14.一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则不等式kx＋b＜－2的解集为 .
第14题图
15.如图，在平面直角坐标系中将直线y＝－2x平移后得到直线AB，若直线AB经过点（2，0），则直线AB的函数表达式是 .
第15题图
16.（长沙期中）如图，一次函数y＝6－x与正比例函数y＝kx的图象如图所示，则k的值为 .
第16题图
17.如图，弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的关系是一次函数，则弹簧不挂物体时的长度为 cm.
第17题图
18.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x－与x轴交于点A1，以OA1为边作正方形A1B1C1O，点C1在y轴上，延长C1B1交直线l于点A2，以C1A2为边作正方形A2B2C2C1，点C2在y轴上，以同样的方式依次作正方形A3B3C3C2，…，正方形A2 025B2 025C2 025C2 024，则点B2 025的横坐标是 .
三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.（6分）（娄底月考）已知y关于x的函数关系式为y＝（m－1）x＋m＋2.
（1）若y是x的正比例函数，求m的值；
（2）若y是x的一次函数，且图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围.
20.（6分）画出y＝2x－4的图象，确定x取何值时，（1）y＞0；（2）y＜－4.
21.（8分）（1）点（m，n）在函数y＝2x＋1的图象上，求n－2m的值；
（2）将直线y＝2x向下平移4个单位长度后，经过点P（m，2），求m的值.
22.（8分）已知水银体温计的读数y（℃）与水银柱的长度x（cm）之间是一次函数关系.现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度.
水银柱的长度x（cm） 4.2 … 8.2 9.8
体温计的读数y（℃） 35.0 … 40.0 42.0
（1）求y关于x的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm，求此时体温计的读数.
23.（8分）（娄底月考）如图，直线y＝－2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B.
（1）求点A，B的坐标；
（2）若点C在x轴上，且S△ABC＝2S△AOB，求点C的坐标.
24.（10分）某工厂新开发生产一种机器，每台机器成本y（万元）与生产数量x（台）之间满足一次函数关系（其中10≤x≤70，且为整数），函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x（单位：台） 10 20 30
y（单位：万元/台） 60 55 50
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元/台）之间满足如图所示的函数关系.则当该厂第一个月生产的这种机器40台都按同一售价全部售出，请求出该厂第一个月销售这种机器的总利润（注：利润＝售价－成本）.
25.（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），且与正比例函数y＝x的图象交于点C（m，3）.
（1）求m的值及一次函数y＝kx＋b的表达式；
（2）点D在y轴上，当△ACD是以AC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标.
26.（10分）对于点P（x，y），规定：若x＋y＝a，那么就把a叫作点P的亲密数.例如：若P（1，3），则1＋3＝4，那么4叫作点P的亲密数.
（1）在平面直角坐标系中，已知点A（－3，9）.
①B（2，3），C（3，3），D（6，0），与点A的亲密数相等的点为 ；
②若点E在直线y＝－2x上，且与点A的亲密数相同，则点E的坐标是 ；
③若点F在直线y＝x＋6上，且与点A的亲密数相同，则点F的坐标是 ；
（2）如图，点P是矩形GHMN边上的任意点，且点H（2，3），N（－2，－3），点Q是直线y＝－x＋b上的任意点，若存在两点P，Q的亲密数相同，请求出b的取值范围.第4章一次函数
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出该项）
1.下列函数中，是一次函数的是（ C ）
A.y＝－1 B.y＝x2＋3
C.y＝3x D.y＝k＋b（k，b是常数）
2.已知小明从A地走到B地，速度为4 km/h，A，B两地相距3 km，若用x（h）表示行走的时间，y（km）表示余下的路程，则y与x之间的函数表达式是（ D ）
A.y＝4x B.y＝4x－3
C.y＝－4x D.y＝－4x＋3
3.函数y＝2kx－k，当x＝－1时，y＝6，则k的值为（ B ）
A.－1 B.－2 C.1 D.2
4.若点P在一次函数y＝－2x－3的图象上，则点P一定不在（ A ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.若点（m，n）在第二象限，则一次函数y＝nx＋m的图象可能是（ B ）
6.将直线y＝－2x＋1向下平移2个单位，平移后的直线表达式为（ C ）
A.y＝－2x－5 B.y＝－2x－3
C.y＝－2x－1 D.y＝－2x＋3
7.下列关于一次函数y＝kx＋b（k＜0，b＞0）的说法，错误的是（ D ）
A.图象经过第一、二、四象限 B.y随x的增大而减小
C.图象与y轴交于点（0，b） D.当x＞－时，y＞0
8.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，直线y＝x＋5和直线y＝ax＋b相交于点P，根据图象可知，方程x＋5＝ax＋b的解是（ A ）
A.x＝20 B.x＝5 C.x＝25
D.x＝15
第8题图
9.某超市以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价0.3元，直至全部售完.销售金额y（元）与售出西瓜的质量x（kg）之间的关系如图所示，那么超市销售这批西瓜一共赚了（ B ）
第9题图
A.20元 B.32元
C.35元 D.36元
10.如图，正方形ABCD的面积为16，动点P从点B出发沿折线BCDA做匀速运动，设点P运动的路程为x，△PAB的面积为y，下列图象能表示y与x之间函数关系的是（ B ）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11.若一次函数y＝2mx＋2m－4是正比例函数，则m＝ 2 .
12.当m ＜3 时，函数y＝（m－3）x－2中y随x的增大而减小.
13.已知函数y＝3x的图象经过点A（－1，y1），点B（－2，y2），则y1 ＞ y2（填“＞”“＜”或“＝”）.
14.一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则不等式kx＋b＜－2的解集为 x＜0 .
第14题图
15.如图，在平面直角坐标系中将直线y＝－2x平移后得到直线AB，若直线AB经过点（2，0），则直线AB的函数表达式是 y＝－2x＋4 .
第15题图
16.（长沙期中）如图，一次函数y＝6－x与正比例函数y＝kx的图象如图所示，则k的值为 2 .
第16题图
17.如图，弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的关系是一次函数，则弹簧不挂物体时的长度为 12 cm.
第17题图
18.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x－与x轴交于点A1，以OA1为边作正方形A1B1C1O，点C1在y轴上，延长C1B1交直线l于点A2，以C1A2为边作正方形A2B2C2C1，点C2在y轴上，以同样的方式依次作正方形A3B3C3C2，…，正方形A2 025B2 025C2 025C2 024，则点B2 025的横坐标是 （1＋）2024 .
三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.（6分）（娄底月考）已知y关于x的函数关系式为y＝（m－1）x＋m＋2.
（1）若y是x的正比例函数，求m的值；
（2）若y是x的一次函数，且图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围.
解：对于y关于x的函数y＝（m－1）x＋m＋2，
（1）∵y是x的正比例函数，
∴m＋2＝0且m－1≠0，
解得m＝－2.
（2）∵y是x的一次函数，且图象经过第一、二、四象限，
∴解得－2＜m＜1.
20.（6分）画出y＝2x－4的图象，确定x取何值时，（1）y＞0；（2）y＜－4.
解：当x＝0时，y＝－4；
当y＝0时，2x－4＝0，
解得x＝2.
∴函数图象与两坐标轴的交点为（0，－4），（2，0）.
图象如图所示.由图象可知：
（1）当x＞2时，y＞0；
（2）当x＜0时，y＜－4.
21.（8分）（1）点（m，n）在函数y＝2x＋1的图象上，求n－2m的值；
（2）将直线y＝2x向下平移4个单位长度后，经过点P（m，2），求m的值.
解：（1）将点（m，n）代入y＝2x＋1，得n＝2m＋1，
∴n－2m＝1.
（2）依题意，平移后的解析式为y＝2x－4，将P（m，2）代入，得，
2＝2m－4，解得m＝3.
22.（8分）已知水银体温计的读数y（℃）与水银柱的长度x（cm）之间是一次函数关系.现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度.
水银柱的长度x（cm） 4.2 … 8.2 9.8
体温计的读数y（℃） 35.0 … 40.0 42.0
（1）求y关于x的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
解：（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx＋b，由题意，得
解得
∴y＝1.25x＋29.75.
（2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm，求此时体温计的读数.
解：（2）当x＝6.2时，y＝1.25×6.2＋29.75＝37.5.
答：此时体温计的读数为37.5℃.
23.（8分）（娄底月考）如图，直线y＝－2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B.
（1）求点A，B的坐标；
解：（1）令y＝－2x＋2中y＝0，则－2x＋2＝0，
解得x＝1，
∴A（1，0）.
令y＝－2x＋2中x＝0，则y＝2，
∴B（0，2）.
（2）若点C在x轴上，且S△ABC＝2S△AOB，求点C的坐标.
解：（2）设点C的坐标为（m，0），
S△AOB＝OA·OB＝×1×2＝1，S△ABC＝AC·OB＝｜m－1｜×2＝｜m－1｜，
∵S△ABC＝2S△AOB，
∴｜m－1｜＝2，
解得m＝3或m＝－1，
即点C的坐标为（3，0）或（－1，0）.
24.（10分）某工厂新开发生产一种机器，每台机器成本y（万元）与生产数量x（台）之间满足一次函数关系（其中10≤x≤70，且为整数），函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x（单位：台） 10 20 30
y（单位：万元/台） 60 55 50
（1）求y与x之间的函数表达式；
解：（1）设每台机器成本y（万元）与生产数量x（台）之间的函数表达式为y＝kx＋b，将（10，60），（20，55）代入，得
解得
即y与x之间的函数表达式为y＝－0.5x＋65.
（2）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元/台）之间满足如图所示的函数关系.则当该厂第一个月生产的这种机器40台都按同一售价全部售出，请求出该厂第一个月销售这种机器的总利润（注：利润＝售价－成本）.
解：（2）当x＝40时，y＝－0.5×40＋65＝45，
设z与a之间的函数表达式为z＝ma＋n，根据题中图象，得
解得
即z与a之间的函数表达式为z＝－a＋90.
当z＝40时，40＝－a＋90，解得a＝50.
（50－45）×40＝5×40＝200（万元）.
答：该厂第一个月销售这种机器的总利润是200万元.
25.（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），且与正比例函数y＝x的图象交于点C（m，3）.
（1）求m的值及一次函数y＝kx＋b的表达式；
解：（1）将点C（m，3）代入y＝x，得3＝m，
∴m＝2.∴C（2，3）.
将B（0，2），C（2，3）代入一次函数的解析式y＝kx＋b，得解得
∴y＝x＋2.
（2）点D在y轴上，当△ACD是以AC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标.
（2）设D（0，n），∵A（－4，0），C（2，3），
∴AC2＝（4＋2）2＋32＝45，AD2＝n2＋42，CD2＝22＋（n－3）2.
①当∠CAD＝90°时，AC2＋AD2＝CD2，
∴45＋n2＋42＝22＋（n－3）2，解得n＝－8，
∴点D的坐标为（0，－8）；
②当∠ACD＝90°时，AC2＋CD2＝AD2，
∴45＋22＋（n－3）2＝n2＋42，解得n＝7.
∴点D的坐标为（0，7）.
综上所述，点D的坐标为（0，－8）或（0，7）.
26.（10分）对于点P（x，y），规定：若x＋y＝a，那么就把a叫作点P的亲密数.例如：若P（1，3），则1＋3＝4，那么4叫作点P的亲密数.
（1）在平面直角坐标系中，已知点A（－3，9）.
①B（2，3），C（3，3），D（6，0），与点A的亲密数相等的点为 点C，D ；
②若点E在直线y＝－2x上，且与点A的亲密数相同，则点E的坐标是 （－6，12） ；
③若点F在直线y＝x＋6上，且与点A的亲密数相同，则点F的坐标是 （0，6） ；
（2）如图，点P是矩形GHMN边上的任意点，且点H（2，3），N（－2，－3），点Q是直线y＝－x＋b上的任意点，若存在两点P，Q的亲密数相同，请求出b的取值范围.
解：点P是矩形GHMN边上的任意点，点Q是直线y＝－x＋b上的任意点，P，Q两点的亲密数相同，
∴直线y＝－x＋b与矩形GHMN的边有交点.
如图，当直线y＝－x＋b过点N（－2，－3）时，
2＋b＝－3，解得b＝－5；
当直线y＝－x＋b过点H（2，3）时，
－2＋b＝3，解得b＝5.
∴－5≤b≤5.
