第4章 一次函数 专题训练
专题训练十一 函数图象信息题
类型1 根据实际问题判断函数图象
1.（河北中考）一种轨道示意图如图所示，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且AM＝CN.现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M→A→D→C→N和N→C→B→A→M.若移动时间为x，两个机器人之间距离为y.则y与x关系的图象大致是（ D ）
类型2 根据函数图象描述实际问题
2.匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满.在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线）.这个容器的形状可能是（ A ）
类型3 动点问题中描述函数图象
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ D ）
类型4 从函数图象中获取信息
4.甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（ D ）
A.甲车的平均速度为60 km/h
B.乙车的平均速度为100 km/h
C.乙车比甲车先到B城
D.乙车比甲车先出发1 h
5.（长沙师大附中期末）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为 17 .
图1 图2
专题训练十二 利用平移求一次函数的表达式
直线的平移
（1）将直线y＝kx＋b向不同方向平移m（m＞0）个单位长度，可简记为“上加下减，左加右减”，上下平移给整体加减，左右平移只给x加减.
①直线y＝kx＋b直线y＝ kx＋b＋m ；
②直线y＝kx＋b直线y＝ kx＋b－m ；
③直线y＝kx＋b直线y＝ k（x＋m）＋b ；
④直线y＝kx＋b直线y＝ k（x－m）＋b ；
（2）直线y＝k1x＋b1和直线y＝k2x＋b2平行 k1 ＝ k2，且b1 ≠ b2.
【例】（1）将一次函数y＝－2x＋4的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为 y＝－2x＋1 ；
（2）将一次函数y＝－2x＋4的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为 y＝－2x－2 .
@针对训练
@
1.一次函数y＝x＋3的图象可看作由y＝x－2的图象如何平移得到的（ A ）
A.向上平移5个单位得到的
B.向下平移5个单位得到的
C.向左平移2个单位得到的
D.向右平移2个单位得到的
2.若将一次函数y＝－x－3的图象按下列方式平移后经过原点，则下列平移方式正确的是（ A ）
A.向上平移3个单位长度
B.向右平移3个单位长度
C.向下平移3个单位长度
D.向左平移3个单位长度
3.（长沙长郡中学模拟）将一次函数y＝3x＋5的图象先向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的函数图象的表达式为 y＝3x＋16 .
4.将直线y＝－ax＋4先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后，经过点（6，3），则平移后直线的表达式为 y＝2x－9 .
5.如图，已知点A（－2，0），点B（0，6），M为线段AB上一点，MN⊥x轴，垂足为N.
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若点M的纵坐标为3，将直线AB平移使其经过点N，求平移后的直线表达式.\
解：（1）设直线AB的表达式为y＝kx＋b，
把点A（－2，0），B（0，6）代入直线，
得解得
∴直线AB的函数表达式为y＝3x＋6.
（2）把y＝3代入y＝3x＋6，得x＝－1，
∴点M坐标为（－1，3）.
∵MN⊥x轴，垂足为N，∴N（－1，0）.
设平移后的直线为y＝3x＋n，
把N的坐标代入，得0＝－3＋n，解得n＝3.
∴平移后的直线表达式为y＝3x＋3.
专题训练十三 一次函数与面积问题
类型1 直接利用面积公式求几何图形面积
当所求三角形的一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，直接利用三角形的面积公式计算三角形的面积.
如图1，S△ABC＝｜xC－xB｜·｜yA｜.
图1 图2
如图2，S△ABC＝｜yC－yB｜·｜xA｜.
【例1】（长沙师大附中期末）如图，已知一次函数的图象经过点A（0，－4），B（3，2），且与x轴交于点C.
（1）求这个一次函数的解析式；
解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx＋b，
把A（0，－4），B（3，2）分别代入，得解得
所以一次函数的解析式为y＝2x－4.
（2）求△BOC的面积.
解：（2）当y＝0时，2x－4＝0，解得x＝2.
所以C点坐标为（2，0）.
所以△BOC的面积＝×2×2＝2.
@针对训练
@
1.（长沙一中开学）如图，直线y＝kx＋b经过点A（－4，0），B（2，6）.
（1）求直线AB的解析式；
解：（1）∵直线y＝kx＋b经过点A（－4，0），B（2，6），
∴解得
∴直线AB的解析式为y＝x＋4.
（2）已知直线CE：y＝－3x－6，求直线CE与直线AB及y轴围成的△CDE的面积.
解：（2）联立
解得∴C.
∵直线AB和直线CE分别交y轴于点D，E，易求得D（0，4），E（0，－6），
∴△CDE的面积为DE·｜xC｜＝×10×＝.
类型2 利用和差法求几何图形面积
当所求图形的面积不能用面积公式直接求出时，通常用和差法将所求图形的面积转化为两个图形的面积的和或差.
如图1，S△ABC＝S△ADC＋S△ADB＝｜yA－yD｜·｜xB－xC｜或S△ABC＝S△ACE－S△BCE＝｜xE－xC｜·｜yA－yB｜.
图1 图2
如图2，连接OB，S四边形ABDO＝S△AOB＋S△ODB＝｜xA｜·｜yB｜＋｜yD｜·｜xB｜或S四边形ABDO＝S△ABC－S△OCD＝｜xC－xA｜·｜yB｜－｜xC｜·｜yD｜.
【例2】（长沙雅礼中学期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx＋b经过点A（2，4），B（4，2），连接OA，OB.
（1）求直线l的解析式；
解：（1）把A（2，4），B（4，2）分别代入y＝kx＋b，得
解得
∴直线l的解析式为y＝－x＋6.
（2）求△AOB的面积.
解：（2）当y＝0时，－x＋6＝0，解得x＝6.
∴直线y＝－x＋6与x轴的交点坐标为（6，0）.
∴△AOB的面积＝×6×4－×6×2＝6.
@针对训练
@
2.一次函数y＝kx＋b的图象经过A（1，6），B（－3，－2）两点.
（1）求一次函数的解析式；
解：（1）把A（1，6），B（－3，－2）代入y＝kx＋b，得
解得
所以一次函数的解析式为
y＝2x＋4.
（2）若一次函数与x轴交于C点，求△AOB的面积.
解：（2）把y＝0代入y＝2x＋4，得2x＋4＝0，解得x＝－2.
∴一次函数与x轴的交点C为（－2，0）.
所以△AOB的面积＝×2×6＋×2×2＝8.
类型3 由图形的面积或面积的数量关系求点的坐标
【例3】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝－x＋3与直线CD：y＝kx－2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A，B，C，D.
（1）求a和k的值；
解：（1）将点M（4，a）代入y＝－x＋3，得a＝1，
故点M（4，1）.
将点M（4，1）代入y＝kx－2，得4k－2＝1，解得k＝.
∴a＝1，k＝.
（2）点P是直线CD上的一个动点，设点P的横坐标为m，当S△PBM＝20时，求点P的坐标.
解：（2）由（1）得直线CD的表达式为y＝x－2，则点D（0，－2）.
∴S△PBM＝S△BDM＋S△BDP＝×BD×｜xM－xP｜＝×（3＋2）｜4－xP｜＝20，解得xP＝－4或xP＝12.
故点P（－4，－5）或P（12，7）.
@针对训练
@
3.如图，一次函数y1＝－3x＋b的图象分别交y轴，x轴于点A，B，一次函数y2＝mx－6的图象分别交y轴，x轴于点C，D，两个一次函数的图象相交于点E（2，－3）.
（1）求y1，y2的解析式；
解：（1）将E（2，－3）代入y1＝－3x＋b，得－3＝－3×2＋b，解得b＝3.
将E（2，－3）代入y2＝mx－6，得－3＝2m－6，解得m＝.
∴解析式分别为y1＝－3x＋3，y2＝x－6.
（2）若直线y2＝mx－6上存在一点P，使S△ACP＝4S△BDE，求符合条件的点P的坐标.
解：（2）对于y1＝－3x＋3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝1，
∴点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（1，0）.
对于y2＝x－6，当x＝0时，y＝－6；当y＝0时，x＝4，
∴点C的坐标为（0，－6），点D的坐标为（4，0）.
∴BD＝3，AC＝9.
∴S△BDE＝BD×｜yE｜＝×3×3＝.
设点P的坐标为（n，n－6），
则S△ACP＝AC×｜xP｜＝×｜n｜，
∵S△ACP＝4S△BDE，
∴×｜n｜＝4×，解得n＝4或n＝－4.
∴符合条件的点P的坐标为（4，0）或（－4，－12）.
专题训练十四 一次函数的实际应用
类型1 行程问题
1.（长春中考）已知A，B两地之间有一条长440千米的高速公路，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示.
（1）m＝ 2 ，n＝ 6 ；
（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数表达式.
解：（2）设两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b，将点（2，200），（6，440）分别代入y＝kx＋b，得
解得
∴两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数表达式为y＝60x＋80.
（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程.
解：（3）∵乙车的速度为（440－200）÷2＝120（千米/时），
∴乙车到达A地所需时间为440÷120＝（小时），
当x＝时，y＝60×＋80＝300，
∴当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为300千米.
类型2 销售问题
2.某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元.
（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4 600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？
（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30％.现该公司要经营1 000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？
解：（1）设该公司当月零售这种农产品x箱，则批发这种农产品（100－x）箱.
根据题意，得70x＋40（100－x）＝4 600，
解得x＝20，∴100－x＝100－20＝80.
答：该公司当月零售这种农产品20箱，批发这种农产品80箱.
（2）设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品（1 000－m）箱.
根据题意，得m≤1 000×30％，解得m≤300.
设该公司获得利润为y元.根据题意，得
y＝70m＋40（1 000－m）＝30m＋40 000.
∵30＞0，∴y随m的增大而增大.
∴当m＝300时，y取最大值，最大值为30×300＋40 000＝49 000，此时1 000－m＝700.
答：该公司零售、批发这种农产品的箱数分别是300箱、700箱时，才能使总利润最大，最大总利润是49 000元.
类型3 与一次函数相关的最值或方案设计问题
3.2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会在成都举行.“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃.已知购买1 kg A种食材和1 kg B种食材共需68元，购买5 kg A种食材和3 kg B种食材共需280元.
（1）求A，B两种食材的单价；
（2）该小吃店计划购买两种食材共36 kg，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用.
解：（1）设A种食材的单价为x元，B种食材的单价为y元.由题意得
解得
∴A种食材单价是38元，B种食材单价是30元.
（2）设购买A种食材m kg，B种食材（36－m）kg，总费用为w元.
由题意得w＝38m＋30（36－m）＝8m＋1 080.
∵m≥2（36－m），解得m≥24.
∴24≤m≤36.
∵8＞0，∴w随m的增大而增大.
∴当m＝24时，w有最小值，w最小＝8×24＋1 080＝1 272.此时36－m＝12.
∴当A种食材购买24 kg，B种食材购买12 kg时，总费用最少，为1 272元.
类型4 分段函数的应用
4.某商店销售一种商品，售出部分商品后进行了降价促销，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，则降价后每件商品的销售价格为（ B ）
A.12元
B.12.5元
C.16.25元
D.20元
5.（广元中考）某移动公司推出A，B两种电话计费方式.
计费 方式 月使用 费/元 主叫限定 时间/min 主叫超时 费/（元/min） 被叫
A 78 200 0.25 免费
B 108 500 0.19 免费
（1）设一个月内用移动电话主叫时间为t min，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，B的计费金额关于t的函数表达式；
解：（1）设方式A的计费金额为y1元，方式B的计费金额为y2元，
根据表格数据可知，当0≤t≤200时，y1＝78；
当t＞200时，y1＝78＋0.25（t－200）＝0.25t＋28；
当0≤t≤500时，y2＝108；
当t＞500时，y2＝108＋0.19（t－500）＝0.19t＋13.
综上所述，y1＝
y2＝
（2）若你预计每月主叫时间为350 min，你将选择A，B哪种计费方式？并说明理由；
解：（2）选择方式B计费，理由如下：
当每月主叫时间为350 min时，
y1＝0.25×350＋28＝115.5，y2＝108，
∵115.5＞108，
∴选择方式B计费.
（3）请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式.
解：（3）令y1＝108，得0.25t＋28＝108，
解得t＝320，
∴当0≤t＜320时，y1＜108.
∴y1＜y2.
∴综上所述，当0≤t＜320时，此时方式A更省钱；当t＝320时，方式A和B的付费金额相同；当t＞320时，方式B更省钱.第4章 一次函数 专题训练
专题训练十一 函数图象信息题
类型1 根据实际问题判断函数图象
1.（河北中考）一种轨道示意图如图所示，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且AM＝CN.现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M→A→D→C→N和N→C→B→A→M.若移动时间为x，两个机器人之间距离为y.则y与x关系的图象大致是（ ）
类型2 根据函数图象描述实际问题
2.匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满.在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线）.这个容器的形状可能是（ ）
类型3 动点问题中描述函数图象
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
类型4 从函数图象中获取信息
4.甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A.甲车的平均速度为60 km/h
B.乙车的平均速度为100 km/h
C.乙车比甲车先到B城
D.乙车比甲车先出发1 h
5.（长沙师大附中期末）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为 .
图1 图2
专题训练十二 利用平移求一次函数的表达式
直线的平移
（1）将直线y＝kx＋b向不同方向平移m（m＞0）个单位长度，可简记为“上加下减，左加右减”，上下平移给整体加减，左右平移只给x加减.
①直线y＝kx＋b直线y＝ ；
②直线y＝kx＋b直线y＝ ；
③直线y＝kx＋b直线y＝ ；
④直线y＝kx＋b直线y＝ ；
（2）直线y＝k1x＋b1和直线y＝k2x＋b2平行 k1 k2，且b1 b2.
【例】（1）将一次函数y＝－2x＋4的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为 ；
（2）将一次函数y＝－2x＋4的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为 .
@针对训练
@
1.一次函数y＝x＋3的图象可看作由y＝x－2的图象如何平移得到的（ ）
A.向上平移5个单位得到的
B.向下平移5个单位得到的
C.向左平移2个单位得到的
D.向右平移2个单位得到的
2.若将一次函数y＝－x－3的图象按下列方式平移后经过原点，则下列平移方式正确的是（ ）
A.向上平移3个单位长度
B.向右平移3个单位长度
C.向下平移3个单位长度
D.向左平移3个单位长度
3.（长沙长郡中学模拟）将一次函数y＝3x＋5的图象先向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的函数图象的表达式为 .
4.将直线y＝－ax＋4先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后，经过点（6，3），则平移后直线的表达式为 .
5.如图，已知点A（－2，0），点B（0，6），M为线段AB上一点，MN⊥x轴，垂足为N.
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若点M的纵坐标为3，将直线AB平移使其经过点N，求平移后的直线表达式.\
专题训练十三 一次函数与面积问题
类型1 直接利用面积公式求几何图形面积
当所求三角形的一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，直接利用三角形的面积公式计算三角形的面积.
如图1，S△ABC＝｜xC－xB｜·｜yA｜.
图1 图2
如图2，S△ABC＝｜yC－yB｜·｜xA｜.
【例1】（长沙师大附中期末）如图，已知一次函数的图象经过点A（0，－4），B（3，2），且与x轴交于点C.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求△BOC的面积.
@针对训练
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1.（长沙一中开学）如图，直线y＝kx＋b经过点A（－4，0），B（2，6）.
（1）求直线AB的解析式；
（2）已知直线CE：y＝－3x－6，求直线CE与直线AB及y轴围成的△CDE的面积.
类型2 利用和差法求几何图形面积
当所求图形的面积不能用面积公式直接求出时，通常用和差法将所求图形的面积转化为两个图形的面积的和或差.
如图1，S△ABC＝S△ADC＋S△ADB＝｜yA－yD｜·｜xB－xC｜或S△ABC＝S△ACE－S△BCE＝｜xE－xC｜·｜yA－yB｜.
图1 图2
如图2，连接OB，S四边形ABDO＝S△AOB＋S△ODB＝｜xA｜·｜yB｜＋｜yD｜·｜xB｜或S四边形ABDO＝S△ABC－S△OCD＝｜xC－xA｜·｜yB｜－｜xC｜·｜yD｜.
【例2】（长沙雅礼中学期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx＋b经过点A（2，4），B（4，2），连接OA，OB.
（1）求直线l的解析式；
（2）求△AOB的面积.
@针对训练
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2.一次函数y＝kx＋b的图象经过A（1，6），B（－3，－2）两点.
（1）求一次函数的解析式；
（2）若一次函数与x轴交于C点，求△AOB的面积.
类型3 由图形的面积或面积的数量关系求点的坐标
【例3】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝－x＋3与直线CD：y＝kx－2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A，B，C，D.
（1）求a和k的值；
（2）点P是直线CD上的一个动点，设点P的横坐标为m，当S△PBM＝20时，求点P的坐标.
@针对训练
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3.如图，一次函数y1＝－3x＋b的图象分别交y轴，x轴于点A，B，一次函数y2＝mx－6的图象分别交y轴，x轴于点C，D，两个一次函数的图象相交于点E（2，－3）.
（1）求y1，y2的解析式；
（2）若直线y2＝mx－6上存在一点P，使S△ACP＝4S△BDE，求符合条件的点P的坐标.
专题训练十四 一次函数的实际应用
类型1 行程问题
1.（长春中考）已知A，B两地之间有一条长440千米的高速公路，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示.
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数表达式.
（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程.
类型2 销售问题
2.某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元.
（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4 600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？
（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30％.现该公司要经营1 000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？
类型3 与一次函数相关的最值或方案设计问题
3.2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会在成都举行.“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃.已知购买1 kg A种食材和1 kg B种食材共需68元，购买5 kg A种食材和3 kg B种食材共需280元.
（1）求A，B两种食材的单价；
（2）该小吃店计划购买两种食材共36 kg，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用.
类型4 分段函数的应用
4.某商店销售一种商品，售出部分商品后进行了降价促销，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，则降价后每件商品的销售价格为（ ）
A.12元
B.12.5元
C.16.25元
D.20元
5.（广元中考）某移动公司推出A，B两种电话计费方式.
计费 方式 月使用 费/元 主叫限定 时间/min 主叫超时 费/（元/min） 被叫
A 78 200 0.25 免费
B 108 500 0.19 免费
（1）设一个月内用移动电话主叫时间为t min，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，B的计费金额关于t的函数表达式；
（2）若你预计每月主叫时间为350 min，你将选择A，B哪种计费方式？并说明理由；
（3）请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式.
