北师大版八年级数学下册试题 1.1等腰三角形 同步练习（含解析）

1.1等腰三角形
一、单选题
1．等腰三角形的一个底角为，则这个等腰三角形的顶角为( )．
A． B． C． D．或
2．如图，在中，为边上的中线，，则的度数为( )
A． B． C． D．
3．下列条件中，可以判定是等腰三角形的是( )
A．， B．
C． D．三个角的度数之比是
4．一个等腰三角形的周长为，只知其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长为( )
A． B． C． D．或
5．如图，等腰直角三角形中，，D是的中点，于点E，交的延长线于点F，若，则的面积为( )
A．16 B．20 C．48 D．32
二、填空题
6．等腰三角形一边的长是4，另一边的长是8，则它的周长是 ．
7．在中，，要使为等腰三角形，写出一个可添加的条件： ．
8．“三等分角”是由古希腊人提出来，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒、组成．两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、在槽中滑动，若，则 ．
9．如图，在中，，，延长至D，使，延长至E，使，连接和，则的度数为 ．
10．如图，的顶点A，C在直线l上，，，若点P在直线l上运动，当是等腰三角形时，的度数是 ．
三、解答题
11．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少
(2)能围成有一边的长为的等腰三角形吗 如果能，请求出另两边长．
12．如图，在和中，，，，与交于点P，点C在上．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
13．如图，在中，，，点在边上，，，垂足为，与交于点，
(1)求的长．
(2)求的长．
14．如图，在中，，，分别交、于点、，点在的延长线上，且，
(1)求证：是等腰三角形；
(2)连接，当，，的周长为时，求的周长．
15．在中，是的中线，是的平分线， 交的延长线于F．
(1)若，求的度数；
(2)求证：是等腰三角形．
16．如图，点D、E在的边上，，．

(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
17.如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E．
(1)若，求的度数；
(2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形．
(3)若平分的周长，的周长为15，求的周长．
18．如图，在中，，D为延长线上一点，于点E，交于点F．

(1)求证：是等腰三角形
(2)若，求线段的长．
19．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点B落在点E处，，
(1)试判断折叠后重叠部分的形状，并说明理由．
(2)求重叠部分的面积．
20.(1)如图1，，平分，则的形状是 三角形；
(2)如图2，平分，，，则 ．
(3)如图3，有中，是角平分线，交于点D．若，则 ．
(4)如图4，在中，与的平分线交于点F，过点F作，分别交，于点D，E．若，则的周长为 ．
(5)如图，在中，cm，分别是和的平分线，且，则的周长是 ．
21.概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．

理解概念：
(1)如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”；
概念应用：
(2)如图2，在中，为角平分线，，．求证：为的等角分割线；
动手操作：
(3)在中，若，是的等角分割线，请求出所有可能的的度数．
答案
一、单选题
1．A
【分析】本题主要查了等腰三角形的性质．根据“等腰三角形两底角相等”，即可求解．
【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为，
∴等腰三角形的顶角为．
故选：A
2．B
【解析】略
3．D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．利用三角形内角和定理，等腰三角形的判定，进行计算并逐一判断即可解答．
【详解】解：A．∵，，
∴，
∴不是等腰三角形，
故选项A错误；
B．∵，，
∴，，，
∴不是等腰三角形，
故选项B错误；
C．∵，，
∴，
∴，
而无法判断与的大小，
∴不是等腰三角形，
故选项C错误；
D．∵三个角的度数之比是，
∴三个角的度数分别是，，，
∴是等腰三角形，
故选项D错误；
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；分为两种情况：是等腰三角形的腰或是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
【详解】解：若为等腰三角形的腰长，则底边长为：，此时三角形的三边长分别为，，，符合三角形的三边关系；
若为等腰三角形的底边，则腰长为：，此时三角形的三边长分别为，，，符合三角形的三边关系；
该等腰三角形的腰长为或，
故选：D．
5．A
【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题关键是掌握并会运用全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质定理．
先得出，根据可证，推出；然后可得出，进而得到长，求出、长；再根据三角形的面积公式得出的面积等于，代入求出即可．
【详解】，
，
，
，
，，，
．
在和中
，
，
．
，为中点，
．
，
，
，
，
的面积是．
故选：A．
二、填空题
6．20
【解析】略
7．(或)
【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，等腰三角形的判定，熟记等腰三角形的定义与判定方法是解本题的关键．
【详解】解：∵中，，要使为等腰三角形，
∴可添加(或)．
故答案为：(或)
8．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．由等腰三角形的性质得，由三角形外角的性质得，然后根据即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
9．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理与外角的性质，根据等边对等角可得，，，再结合三角形外角的性质，可得，，由此可解．
【详解】解： 中，，，
，
，，
，，
又，，
，，
．
故答案为：．
10．，，或
【详解】本题考查了等腰三角形的性质，先利用三角形内角和定理可得：，分三种情况：当时；当时；当时，分别讨论是解题的关键．
解：∵，，
∴，
分三种情况：
当时，若点P在的延长线上，如图：
+
∵是的一个外角，
∴，
∵，
∴；
当时，若点P在上，如图：

∵，，
∴；
当时，如图：

∵，
∴，
∴；
当时，如图：

∵，
∴；
综上所述：当是等腰三角形时，的度数是，，或，
故答案为：，，或．
三、解答题
11．(1)设底边长为，则腰长为，
根据题意得，，
解得；
则
三角形的三边分别为．
(2)①若为底时，腰长，
三角形的三边分别为，能围成三角形
②若为腰时，底边，
三角形的三边分别为，
，
不能围成三角形，
综上所述，能围成一个底边是，腰长是的等腰三角形．
12．(1)∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
(2)∵，，
∴，
又∵，
∴，
由(1)知，
∴．
13．(1)解：在中，，，
，
，
；
(2)解：如图，连接，
，
∵AE⊥CD，，
平分，
，
在 CAE和中，
，
，
，，
设，则，
由勾股定理可得：，
，
解得：，
．
14．(1)证明：根据题意得：
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
(2)解：如图，连接，
当时，
，
，
的周长，，，
的周长的周长．
15．(1)解：∵是的中线，
∴；
(2)证明：∵是的平分线
∴
∵
∴
∴，
∴
∴是等腰三角形．
16．(1)过点作于.

∵.
∴,
∴.
(2)∵，，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
设，则，
∴，
根据三角形的内角和可得，
解得：，
∴，
17.(1)解：，
，
∵，
∴，
，为的中点，
，
，
∴；
(2)证明：平分，
，
又∵，
∴，
∴，
，
是等腰三角形；
(3)解：的周长为15，
，
，
，
即，
平分的周长，
，
的周长．
18.(1)解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
(2)∵，，
∴，
∵，
∴．
19.(1)解：是等腰三角形．理由如下：
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
由图形折叠的性质可知：，
∴．
∴是等腰三角形；
(2)解：设，则，
在中，
，
解得：，
∴，
∴．
故重叠部分的面积为10．
20.解：(1)∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
故答案为：等腰；
(2)∵平分，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：3；
(3)同法(2)可得：，
∴；
故答案为：12；
(4)同法(2)可得：，
∴ ADE的周长；
故答案为：30；
(5)同法(2)可得：，
∴的周长；
故答案为：5cm．
21.解：(1)∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴与，与，与是“等角三角形”；
(2)∵在中，，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，，，，
∴为的等角分割线；

(3)当是等腰三角形，时，如图，

则，
∴；
当是等腰三角形，时，如图，

则，，
∴；
当是等腰三角形，的情况不存在；
当是等腰三角形，时，如图，

则，
∴；
当是等腰三角形，时，如图，

则，
设，则，
则，
由题意得，，
解得，，
∴，
∴，
综上所述：的度数为或或或．