北师大版九年级数学下册试题 2.4二次函数的应用 同步练习（含解析）

2.4二次函数的应用
一．选择题
1．一名男生推铅球，铅球行进高度(单位：与水平距离(单位：之间的关系是．则他将铅球推出的距离是　　．
A．8 B．9 C．10 D．11
2．用总长为米的材料做成如图1所示的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为平方米，关于的函数图象如图2，则的值是　　
A．16 B．12 C．8 D．4
3．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是　　
A． B．
C． D．
4．运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高与水平的距离之间的函数关系式为，则该运动员的成绩是　　
A． B． C． D．
5．如图，小球的飞行高度(单位：与飞行时间(单位：具有的函数关系，下列解释正确的是　　
A．小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是
B．小球飞行时飞行高度为，并将继续上升
C．小球从飞出到落地要用
D．小球的飞行高度可以达到
6．某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为　　
A． B． C． D．
7．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：与小球运动时间(单位：之间的函数关系为，其中．有下列结论：
①当时，小球运动到最大高度；
②当小球的运动高度为时，运动时间为或；
③小球运动中的最大高度为；
④小球从抛出到落地需要．
其中正确的结论有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如表记录了二次函数中两个变量与的5组对应值，其中．
5
0 0
若当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是　　
A． B．-29．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱的长度为　　
A．6米 B．5米 C．4.5米 D．4米
二．填空题
10．某商店从厂家以每件30元的价格购回一批商品，该商店可自行定价．若每件商品售价为元，则可卖出件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的，如果要使商店获得利润最多，每件商品定价应为　 　元．
11．小敏在今年的校运动会跳高比赛中跳出了满意一跳，函数的单位：，的单位：可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是 　　．
12．如图，有一矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙(墙足够长)，另三边用16米的长篱笆围成，则矩形面积的最大值是 　　．
13．飞机着陆后滑行的距离(单位：关于滑行的时间(单位：的函数解析式是，飞机着陆后滑行 　　米才能停下来．
14．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面上升，水面宽度减少 　　．
15.雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞(如图①，可以发现数学的研究对象一一抛物线．在如图②所示的平面直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨、的交点．点为抛物线的顶点，点、在抛物线上，、关于轴对称．分米，点到轴的距离是0.6分米，、两点之间的距离是4分米．分别延长、交抛物线于点、，则雨伞撑开时的最大直径的长为 　　分米．
三．解答题
16．某店只销售某种进价为40元的产品，已知该店按60元出售时，每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加．
(1)若该店销售这种产品计划每天获利2240元，单价应降价多少元？
(2)当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？
17．疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．实验中学数学兴趣小组统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数y(单位：人)随时间x(单位：分钟)的变化y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为(351225)，其中0≤x≤35．校门口有一个体温检测棚，每分钟可检测48人．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？
(3)检测体温到第2分钟时，为减少排队等候时间，学校在校门口临时增设一个人工体温检测点．已知人工每分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况(直接写出结果)．
18．小红和小琪在玩沙包游戏，某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表长．小红在点处将沙包(看作点)抛出，其运动的路线为抛物线为常数，的一部分，小琪恰在点处接住沙包，然后跳起在点处将沙包回传，其运动的路线为抛物线为常数)的一部分．
(Ⅰ)写出抛物线的顶点坐标，并求出，的值；
(Ⅱ)若小红在轴右侧、距离轴的位置上，且与点的垂直距离小于的范围内可以接到回传的沙包，求的整数值；
(Ⅲ)若小红在轴上方、距离轴的高度上，且与点的水平距离不超过的范围内可以接到回传的沙包，求的整数值(直接写出结果即可)．
19.我们将抛物线，且与抛物线称之为“轮换抛物线”．例如：抛物线与抛物线就是一组轮换抛物线．已知抛物线，其轮换抛物线记作．
(1)若与交于轴上的同一点，求的值；
(2)在(1)的条件下且，抛物线与其轮换抛物线的另一个交点记作点，若将点绕点顺时针旋转后，的对应点恰好落在抛物线的图象上，求出此时的值；
(3)小明同学阅读了《苏科版(数学)》课本九年级下册页《数学实验室》介绍的用几何画板画二次函数图象内容后，自己动手画了抛物线及其轮换抛物线的图象，与与轴的交点分别记作、、两点不重合)．小明发现，不论、为何值时，两抛物线始终有一交点点在与轴垂直的某一固定直线上运动．若，记，求的最大值．
20.如图，抛物线与轴分别交于、两点、分别在原点左右两侧)，与轴交于点，点为抛物线上第一象限内一动点，过点、点的直线交轴于点，过点、点的直线交轴于点，连接、、，试探究、、、之间的数量关系．为探究该问题，拟采用研究问题的一般路径一一由特殊到一般的研究方式：
(1)设，，．
①若点的横坐标为3，计算：　　，　　；
比较大小： 　　(填“”、“ ”或“” ．
②若点的横坐标为，上述、之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
小明在研究该问题时发现：当、两点的横坐标为、时，将抛物线解析式变形为，研究此问题更加方便．
请借助小明的发现验证你的猜想．
(2)请利用上述解决问题的经验，解决项目式学习中的问题；
(3)若，直接写出的取值范围．
21.已知：如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若为抛物线上一点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求与函数关系式；(不要求写出自变量的取值范围)
(3)在(2)的条件下，点在线段上，点是位于、两点之间的抛物线上一点，，，且，求点的坐标．
22.如图，将二次函数的图象沿轴翻折，然后向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象．函数的图象的顶点为，函数的图象的顶点为，和轴的交点为，(点位于点左侧)．
(1)求函数的解析式；
(2)从，，三点中任取两点和点构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；
(3)点是线段上的动点，是三边上的动点，是否存在以为斜边的，使的面积为面积的？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
答案
一．选择题
1．
【分析】铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值．
【解答】解：令函数式中，，
即，
解得，(舍去)，
即铅球推出的距离是．
故选：．
2．
【分析】因为时，面积最大为4，根据图形是矩形，由面积公式易得另一边为2米，从而得出的值．
【解答】解：由图象可知，当时，有最大，最大值为4，
当米，窗框的最大面积是4平方米，
根据矩形面积计算公式，另一边为(米，
材料总长(米．
故选：．
3．
【分析】根据售价减去进价表示出实际的利润．
【解答】解：根据题意可得：，
故选：．
4．
【分析】铅球落地才能计算成绩，此时，即，解方程即可．在实际问题中，注意负值舍去．
【解答】解：由题意可知，把代入解析式得：
，
解方程得，(舍去)，
即该运动员的成绩是10米．
故选：．
5．
【分析】根据函数表达式，可以求出的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程的意义为时所用的时间，据此解答．
【解答】解：的两根与，即时所用的时间，
小球的飞行高度是时，小球的飞行时间是或，故不符合题意；
，
对称轴直线为：，最大值为20，故不符合题意；
时，，此时小球继续下降，故不符合题意；
当时，，，
，
小球从飞出到落地要用，故符合题意．
故选：．
6．
【分析】把二次函数的一般式写成顶点式，找出顶点坐标，即可知道多长时间后得到最高点．
【解答】解：
，
这个二次函数图象开口向下．
当时，升到最高点．
故选：．
7．
【分析】把函数解析式化为顶点式，可以判断①③；令，解方程求出的值，可以判断②；令，解方程求出的值，可以判断④．
【解答】解：，
，
当时，小球运动到最大高度，最大高度为，
故①③错误；
当时，，
解得，，
当运动时间为或时，小球的运动高度为，
故②正确；
令，则，
解得，，
小球从抛出到落地需要，
故④正确，
正确的结论有2个，
故选：．
8．
【分析】利用二次函数的图象的对称性求得抛物线的对称轴，利用待定系数法求得，的值，再利用二次函数与直线的交点的特性解答即可．
【解答】解：由表中信息可知：抛物线经过点和，
抛物线的对称轴为直线，
，
．
根据表中信息，抛物线经过点，
，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
，
该抛物线的顶点坐标为，抛物线的开口方向向上，抛物线经过，，
当时，由最小值，
当时，，当时，；
当时，，
如图：
当0．
故选：．
9．
【分析】设拱桥两端分别为点、，拱桥顶端为点，以所在的直线为轴，以的中点为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则点，，，点，的横坐标为6，再求出抛物线的解析式，即可求解．
【解答】解：如图，
设拱桥两端分别为点、，以所在的直线为轴，则点，，，点，的横坐标为6，
设抛物线的解析式为，
把点，代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，
当时，，
支柱的高度为，米．
故选：．
二．填空题
10．【分析】根据进价、售价以及数量可列出利润与售价之间的关系式．根据每件商品加价不能超过进价的，从而求出定价的整数值．
【解答】解：设利润为，
则
，
当时，取最大值，但物价局限定每件商品加价不超过进价的，
∴a≤30（1+40%），即a≤42，
当x≤65时，随的增大而增大，
元，商店获得利润最多，即每件商品的售价为42元．
11．
【分析】先将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，即可得到该函数的最大值，从而可以得到的值．
【解答】解：，
当时，取得最大值，
故他起跳后到重心最高时所用的时间是，
故答案为：．
12．
【分析】设矩形的宽为，进而确定矩形的另一条边长，根据矩形的面积公式即可求出函数关系式，再利用配方法求出函数最值．
【解答】解：设矩形的宽为，面积为，
根据题意得：
，
时，菜园面积最大，最大面积是．
故答案为：．
13．
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出的最大值即可得．
【解答】解：，
当时，取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来，
故答案为：600．
14．
【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度减少了多少．
【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线的解析式为，
由题意可得：点在此抛物线上，
则：，
解得：，
，
水面上升，
当，即时，
解得：，
此时水面的宽度为．
水面宽度减少了．
故答案为：．
15．
【分析】依据题意，设抛物线解析式为：，，，求出抛物线解析式，然后求出直线解析式，可得与抛物线的交点坐标，根据抛物线的对称性计算出点坐标，利用横坐标之差计算线段长．
【解答】解：由题意题意，设抛物线解析式为：，将坐标代入解析式得：，
解得：，
抛物线解析式为：．
又设直线解析式为，将坐标代入得，，解得，
直线解析式为：．
联立函数解析式：，
解得：或(不符合题意舍去)，
点坐标为．．
又抛物线的对称轴是轴，
点的坐标为．
．
故答案为：10．
三．解答题
16．解：(1)设单价应降价元，
根据题意得：，
解得：，，
答：单价应降价4元或6元．
(2)设该店每天的总利润元，降价为元，
则，
当时，最大，最大值为2250，
答：当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元．
17．解：(1)∵顶点坐标为(351225)，
∴设y＝a(x﹣35)2+1225，
将(00)代入，得：1225a+1225＝0，
解得a＝1，
∴y＝﹣(x﹣35)2+1225＝﹣x2+70x；
(2)设第x分钟时的排队等待人数为n人，
由题意可得：n＝y﹣48x＝﹣x2+70x﹣48x＝﹣x2+22x＝﹣(x﹣11)2+121，
∵1＜0，0＜11＜30，
∴当x＝11时，n的最大值为121，
答：排队等待人数最多时是121人；
(3)设人工检测m分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况，
由题意得，﹣(2+m)2+70(2+m)﹣48×2﹣(48+12)m＝0，
整理得：m2﹣6m﹣40＝0，
解得：m1＝10，m2＝﹣4(舍)．
答：人工检测10分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况．
18．解：(1)抛物线，
的顶点坐标为，
点在抛物线上，
，
，
抛物线，
当时，；
(2)小红在轴右侧、距离轴的位置上，且与点的垂直距离小于的范围内可以接到回传的沙包，
点的坐标范围是，，，
当经过时，，
解得；
当经过时，，
解得．
，
的整数值为5；
(3)小红在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到回传的沙包，
此时，点的坐标范围是，，，
当经过时，，
解得：，
当经过时，，
解得：，
∴≤n≤ ，
为整数，
符合条件的的整数值为4和5．
19.解：(1)抛物线，
轮换抛物线，
与交于轴上的同一点，
，
解得；
(2)，
抛物线，轮换抛物线，
当时，或，
，
由可知，
过点作轴交于，过点作交于，
，
，
，
，
，
，
，，
，
当时，点在点的上方，按顺时针方向旋转后的坐标为，
，
方程无解；
当时，，
，
解得；
综上所述：的值为；
(3)抛物线的轮换抛物线为：，
，，
、不重合，
，
，
当时，整理得，
解得或，
点的横坐标为1，
，
，
，
，
，
，
，
当时，有最大值．
20.解：(1)①当，，时，，
当时，，
解得或，
，，
，，
，
点的横坐标为3，
，
当时，，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
同理可求直线的解析式为，
，
，，
，
，
故答案为：，，；
②仍成立，理由如下：
点的横坐标为，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
同理可求直线的解析式为，
，
，，
，
；
(2)，
，，，，，
设点横坐标为，
，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
，，，，
，，
；
(3)
，
令，
，
，
，
∴k≤且．
21.解：(1)当时，，
，
将代入中，得，
，
，
，
将代入得，
解得，
抛物线的解析式为；
(2)令，
解得或，
，
，
过点作于，如图，
，
，，
，，
，，
，
即；
(3)当时，解得(正值舍去)，
当时，，
，
设直线的解析式为：，
，解得，
直线的解析式为：，
如图，分别过点，点作轴的垂线，分别过与点，点作的轴的平行线分别交于点，点，过点作轴的垂线，垂足为，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
设，，
，，，，
，，
(负值舍去)，
．
22.解：(1)的图象沿轴翻折，得．
把向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得，
所求的函数的解析式为；
(2)，
，
当时，，
解得，
则，；
当时，，则，
从点，，三个点中任取两个点和点构造三角形的有：，，，
，，，，，，
为等腰三角形，
构造的三角形是等腰三角形的概率；
(3)存在．
，0，，．
的解析式为，，
设点的坐标为，，
①当点在上，如图1，
的面积为面积的，
，解得，，
当时，点的坐标为，，
则，，
；
当时，点的坐标为，，
则，，
；
②当点在上，如图2，
，
，
解得，
，
，
；
③当点在上，如图3，作于，
设，则，
由②得，
则，
，
，
，即，
，
，
即，
整理得，
△，方程没有实数解，
点在上不符合条件，
综上所述，的值为1或4或．