北师大版九年级数学下册试题 2.5二次函数与一元二次方程 同步练习（含解析）

2.5二次函数与一元二次方程
一．选择题
1．如图，抛物线与直线相交于，两点，则当时，自变量的取值范围是　　
A． B．-1≤x≤3 C．或 D．x≤-1或x≥3
2．已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴的负半轴于点，点是轴正半轴上一点，连结并延长交抛物线于点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点．连结．若点的横坐标为1，且，则的长为　　
A． B． C．4 D．
4．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，点在抛物线上，有下列结论：
①；
②一元二次方程的正实数根在2和3之间；
③；
④点，在抛物线上，当实数时，．
其中，正确结论的个数是　　
A．4 B．3 C．2 D．1
5．关于二次函数，下列说法正确的是　　
A．图象的对称轴是直线
B．图象与轴有两个交点
C．当时，的值随值的增大而增大
D．当时，取得最大值，且最大值为3
6．将抛物线与轴的交点坐标为　　
A．， B．， C．， D．，
7．关于抛物线，下列说法正确的是　　
A．顶点坐标是 B．对称轴是直线
C．抛物线有最高点 D．抛物线与轴有两个交点
8．下表给出了二次函数与自变量的部分对应值：
0 1 2
5 6 5 2
则关于的一元二次方程的解为　　
A．， B．， C．， D．，
9．抛物线与轴有两个交点，则的值可能为　　
A． B．1 C．3 D．4
10．如图，抛物线的对称轴为，点、点是抛物线与轴的两个交点，若点的坐标为，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
二．填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为 　　．
12．抛物线与轴交于两点，分别是是，，则的值为 　　．
13．若抛物线与轴只有一个交点，则的值为 　　．
14．二次函数的图象如图所示，则函数值y>0时，的取值范围是 　　．
15．如图，二次函数与一次函数为的图象相交于，两点，则不等式的解为 　　．
16．如图，平面直角坐标系中，，．抛物线经过，，三点，直线经过，．当时，的取值范围为 　　．
17．已知抛物线与轴有且只有一个交点，则　　．
18．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则抛物线与轴交点的个数为 　　个．
三．解答题
19．已知抛物线与轴交于点，与轴交于点和点，顶点为．
(1)求此抛物线的表达式及顶点坐标；
(2)联结、，求的余弦值．
20．如图，顶点为的抛物线，与轴交于，两点．
(1)求抛物线顶点的坐标．
(2)求直线的解析式．
21．如图，抛物线与轴交于点、，是抛物线的顶点，的顶点在轴上．
(1)求的值；
(2)若抛物线沿其对称轴向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式．
22．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题．
(1)写出方程的两个根：　　；
(2)写出不等式的解集：　　；
(3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围 　　；
(4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围：　　．
23．已知二次函数的图象过点，．(1)求这个二次函数的解析式；
(2)已知二次函数与直线交于点，，请结合图象直接写出方程的解．
24．在平面直角坐标系中，抛物线、是常数)经过点，．点在抛物线上，且点的横坐标为．
(1)求该抛物线对应的函数表达式．
(2)求点关于抛物线、是常数)的对称轴对称的点的坐标(用含的代数式表示)．
(3)当点在轴上方时，直接写出的取值范围．
(4)若此抛物线在点及点左侧部分的最低点的纵坐标为，求的值．
答案
一．选择题
1．
【分析】根据当时，自变量的取值范围是抛物线图象在一次函数图象上方部分所对应的的取值范围，结合图象进行作答即可．
【解答】解：由图象可知，当时，自变量的取值范围是，
故选：．
2．
【分析】先由抛物线开口方向得到，由抛物线的对称轴位置得到，由抛物线与轴的交点位置得到，则，然后由抛物线与轴有两个交点得到，于是可判断点所在象限．
【解答】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴在轴右侧，
、异号，
，
抛物线与轴的交点在轴的负半轴，
，
，
抛物线与轴有两个交点，
，
点在第一象限．
故选：．
3．
【分析】根据平行线分线段成比例结合点的横坐标为1，求得，解方程得，进而求出点坐标，可求得抛物线解析式为，再计算自变量为1的函数值得到，接着利用点的纵坐标为4，求出点的横坐标，然后计算的长．
【解答】解：过点作，则，
点的横坐标为1，即：，
，
当时，，
解得，，则，
则，
，
，
抛物线解析式为，
当时，，则，
当时，，
解得，，
则，
的长为：．
故选：．
4．
【分析】由抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标在与之间，则根据抛物线与轴的交点问题可对②进行判断；把，和代入抛物解析式可对③进行判断；利用二次函数的增减性对④进行判断．
【解答】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，所以结论①正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标在与之间，
抛物线与轴的另一个交点坐标在与之间，
一元二次方程的正实数根在2和3之间，所以结论②正确；
把，代入抛物线得，，
而，
，
，所以结论③正确；
点，在抛物线上，
当点、都在直线的右侧时，，此时；
当点在直线的左侧，点在直线的右侧时，，此时且，即，
当或时，，所以结论④错误．
故选：．
5．
【分析】根据二次函数解析式得出函数对称轴，顶点坐标，开口方向，然后由函数的性质即可解答．
【解答】解：二次函数，
抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，当时，有最小值，最小值为3，抛物线与轴没有交点，
故，，错误，正确，
故选：．
6．
【分析】令，解一元二次方程即可求解．
【解答】解：令，
解得：或，
故选：．
7．
【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：，
则抛物线的顶点坐标为：，故错误，不符合题意；
函数的对称轴为执行案，故正确，符合题意；
，故抛物线开口向上，函数有最低点，故错误，不符合题意；
由知，抛物线与轴有一个交点，故错误，不符合题意，
故选：．
8．
【分析】根据图表信息找出该二次函数图象的对称轴即可解答．
【解答】解：从表格知道，当时，所对应的值分别为和0，
由二次函数的对称性知，该二次函数图象的对称轴；
设一元二次方程的解分别为和
因为当时，表格所对应的的值为1，
所以，
解得，
所以关于的一元二次方程的解为，
故选：．
9．
【分析】根据抛物线与轴有两个交点，即△即可求出．
【解答】解：抛物线与轴有两个交点，
△，
解得，
选项符合题意．
故选：．
10．
【分析】抛物线的对称轴为直线，点，由点、关于抛物线的对称轴对称，即可求解．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，点，
点、关于抛物线的对称轴对称，
故点，
故选：．
二．填空题
11．
【分析】根据抛物线的轴对称性质得到抛物线与轴的另一个交点坐标，由此求得关于的方程的两根．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
关于的方程的解为或，
故答案为：或．
12．
【分析】利用抛物线解析式与一元二次方程之间的转化关系以及一元二次方程根与系数的关系求得答案即可．
【解答】解：抛物线与轴交于两点，分别是是，，
令，则，为方程的两个根，
，
，
故答案为：3．
13．直接根据题意得到求解即可．
【解答】解：抛物线与轴只有一个交点，
，
解得，
故答案为：4．
14．
【分析】根据函数图象求出与轴的交点坐标，再由图象得出答案．
【解答】解：由可得，，，
观察函数图象可知，当x<-1或x>2时，函数值y>0．
故答案为：x<-1或x>2．
15．
【分析】由图象可知，与图象的交点的横坐标为和3，当时，的图象在的图象的下方，即可得答案．
【解答】解：由图象可知，与图象的交点的横坐标为和3，
当时，的图象在的图象的下方，
不等式的解为．
故答案为：．
16．
【分析】画出函数图象，根据图象即可求解．
【解答】解：观察函数图象，直线经过点，，
当时，的取值范围是，
故答案为：．
17．
【分析】利用判别式△即可得出结论．
【解答】解：抛物线与轴有且只有一个交点，
方程有唯一解．
即△，
解得：．
故答案为：9．
18．
【分析】抛物线与轴的交点的横坐标，即令所对应的一元二次方程的根．
【解答】解：由题意知，抛物线与轴交点的个数为1个，
故答案为：1．
三．解答题
19．解：(1)由题意，将代入得，，
．
抛物线为．
又，
顶点为．
(2)如图，
由题意，令，即．
或．
．
又令，
．
．
，
，
．
．
．
．
20．解：(1)，
则点，；
(2)令，
解得：或4，
即点，
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则直线的表达式为：．
21．解：(1)抛物线，
顶点的坐标为
四边形是平行四边形，
，，
设，的横坐标分别为，，则，
解得，
(2)，
，
设平移后抛物线的解析式为，
把代入得，解得，
平移后抛物线的解析式为，
即．
22．解：(1)由图象可知，图象与轴交于和点，
则方程的两个根为和，
故答案为：1和3；
(2)由图象可知当或时，不等式；
故答案为或；
(3)由图象可知，的图象的对称轴为直线，开口向下，
即当时，随的增大而减小；
故答案为：．
(4)由图象可知，二次函数有两个不相等的实数根，则必须小于的最大值，
故答案为：．
23．解：(1)把点，代入得：
，
解得，
二次函数的解析式为；
(2)二次函数与直线交于点，，
方程的解为或．
24．解：(1)把，代入，
得，
解得，
抛物线对应的函数表达式为；
(2)，
抛物线的对称轴是直线，
设点的横坐标为，由题意，得，
，
，
；
(3)令，则，
解得，，
抛物线与轴的交点为，，
点在轴上方，
的取值范围为或；
(4)，
抛物线顶点为，
当m≥-1时，在点左侧的图象顶点为最低点，
即，
解得；
当时，随的增大而减小，
为最低点，
即当时，，
解得(舍去)，，
综上所述，的值为或．