北师大版九年级数学下册试题 3.9弧长及扇形的面积 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册试题 3.9弧长及扇形的面积 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-02 13:49:40 | ||
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文档简介
3.9弧长及扇形的面积
一．选择题
1．如图，，是以为直径的半圆周的三等分点，，则阴影部分的面积是
A． B． C． D．
2．道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为(单位：
A． B． C． D．
3．已知圆的半径为6，的圆心角所对的弧长是
A． B． C． D．
4．如图，在圆形纸板上裁剪两个扇面．具体操作如下：作的任意一条直径，以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；连结、、、，得到两个扇形，并裁剪下来．若的半径为，则剩余纸板(图中阴影部分图形)的面积为
A． B． C． D．
5．如图所示，边长为1的正方形网格中，，，，，是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为
A． B． C． D．
6．如图，半径为5的扇形中，，是上一点，，，垂足分别为，，若，则图中阴影部分面积为
A． B． C． D．
二．填空题
7．如图，正△ABC的边长是3，分别以三个顶点为圆心，3为半径作弧，则图中由三条弧所围成的几何图形的面积是 ．
8．如图．在边长为2的正方形中，对角线、交于点，分别以点、、、为圆心，为半径画弧，弧分别与边、、、交于点、、、，则阴影部分的面积为 ．
9．如图①，，表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点是圆心，半径为，点，是圆上的两点，圆心角，则的长为 ．(结果保留
10．如图，扇形的圆心角为，，过点作于点，以为圆心，的长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积是 ．
11．如图，已知等边中，，以的中点为圆心，为半径画弧，分别与、交于点、点，再以点为圆心，为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 ．
12．如图，为半圆的直径，且，点为半圆上一点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
三．解答题
13．如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．
(1)求证：；
(2)若，，求劣弧的长．
14．如图，在中，，，，将绕逆时针方向旋转得到，点经过的路径为弧，求图中阴影部分的面积．
15．如图，已知是的直径，点是弧上的一点，于，点是弧的中点，交于点，交于点．
(1)判断的形状，并证明；
(2)若，．
①求的长；
②求阴影部分的面积．
16．如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点．
(1)证明：；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
17．如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
18．如图，将含角的直角三角板放入半圆中，，，三点恰好在半圆上，点是的中点，连结并延长交圆于点．
(1)求证：；
(2)若，求阴影部分的面积．
19．如图，是的直径，点是上一点，点是弧的中点，连接、、、交于点．
(1)若，求的大小；
(2)若，，求的弧长．
20．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．(画图过程用虚线，画图结果用实线)．
(1)仅用无刻度的直尺，在上找三点、、(逆时针方向)，使得四边形为菱形；
(2)设每个小正方形的边长为1，直接写出扇形的面积．
21.(1)问题初探，如图1，在研究圆的面积时，将圆等分成若干个扇形再拼起来，可以发现把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方形，这个长方形的面积就越接近于圆的面积，其中这个长方形的长是圆周长的一半，宽等于圆的半径，故由长方形的面积推导出圆的面积，这个过程体现了“无限逼近”的数学思想．
小明在数学活动中，把一个圆等分成若干个扇形，然后拼成了一个近似的长方形，并测量出这个长方形的长是9.42厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？取
(2)类比分析，生活中的易拉罐、圆形笔筒等都是一种叫做圆柱的立体图形(如图，它的上底面、下底面是两个大小相等的圆，侧面展开后是一个长方形，上、下底面之间的距离叫做圆柱的高．小明在学习了圆的面积后，也想用类似的方法研究圆柱的体积，他将一个圆柱等分成若干份，拼成了一个近似的长方体(如图，他发现把圆柱等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方体，这个长方体的体积就越接近于圆柱的体积，故由长方体的体积推导出圆柱的体积．
小明将一个半径为3分米，高为8分米的圆柱等分成若干份拼成一个近似的长方体，长方体表面积比圆柱表面积增加多少平方分米？
(3)学以致用，如图3，清雪车的前端装有滚筒，在滚筒上装有致密的刷毛，使得滚筒成为一把可以旋转的大扫帚，利用刷毛将粘结在路面上的积雪卷起，以达到除雪的目的．清雪车前端的滚筒是一个圆柱，滚筒体积为1.57立方米，滚筒横截面半径是0.5米，如果滚筒每分钟转5周．如果这次清雪要完成32970平方米的清雪任务，5辆相同的清雪车同时工作，需要多少小时完成？取
22.【问题提出】：比较代数式与的大小．
【问题探究】：要比较代数式与的大小，只要求出它们的差，若，则；若，则；若，则，反之亦然．
【问题解决】：
(1)如图，有、两种型号的钢板，型钢板的面积比型钢板大，制作某产品有两种用料方案，方案1：用4块型钢板，8块型钢板；方案2：用3块型钢板，9块型钢板．从省料角度考虑，应选哪种方案？请说明理由；
(2)有、两块长方形菜地，菜地的长为米，宽为米，菜地的长为米，宽为米，试比较两块长方形菜地周长的大小；
(3)如图，正方形的边长为，以为圆心，为半径作圆弧．以为圆心，为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别为、，请你比较与的大小．
答案
一．选择题
1．
【分析】连接、，根据，是以为直径的半圆周的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积求解即可．
【解答】解：如图，连接、．
，是以为直径的半圆周的三等分点，
，
又，
是等边三角形，
，，
，
，
．
故选：．
2．
【分析】根据弧长公式求出答案即可．
【解答】解：图中的管道中心线的长为，
故选：．
3．
【分析】根据弧长公式求出答案即可．
【解答】解：半径为6，圆心角为所对的弧长为．
故选：．
4．
【分析】连接，，将图中阴影部分面积拼补为扇形与扇形面积之和，进一步利用扇形的面积公式从而求出阴影部分的面积，即可求解．
【解答】解：连接，，
，的面积与弓形，的面积相等，弓形，的面积与弓形，的面积相等，
图中阴影部分的面积，
，
、是正三角形，
阴影部分的面积．
故选：．
5．
【分析】根据图形得出、、都是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，再分别求出扇形，扇形，扇形和的面积即可．
【解答】解：，，
，
同理，，
由勾股定理得：，
阴影部分的面积
，
故选：．
6．
【分析】先连接，然后根据正方形的性质和图形，可以得到阴影部分的面积等于扇形的面积，然后代入数据计算即可．
【解答】解：连接，如图所示，
，，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，和全等，
，
故选：．
二．填空题
7．
【分析】过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC＝3，求出BD＝CD＝，AD＝，根据图形得出图中由三条弧所围成的几何图形的面积＝3S扇形ABC﹣2S△ABC，再求出答案即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，
∵正△ABC的边长是3，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC＝3，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝1cm，
∴AD＝＝＝，
∴△ABC的面积＝BC AD＝×3×＝，
∴图中由三条弧所围成的几何图形的面积是3(S扇形ABC﹣S△ABC)+S△ABC＝3S扇形ABC﹣2S△ABC＝3×﹣2×＝π﹣，
故答案为：π﹣．
8．
【分析】根据正方形的性质得到相应条件，利用勾股定理求出，再利用计算结果即可．
【解答】解：在正方形中，
，，，
，
阴影部分的面积为：
，
故答案为：．
9．
【分析】由弧长公式：是弧长，是扇形圆心角的度数，是扇形的半径长)，由此即可计算．
【解答】解：，半径为，
的长．
故答案为：．
10．
【分析】根据阴影部分的面积等于的面积减去扇形面积求即可．
【解答】解：在中，，，
，
，
，
阴影部分的面积为．
故答案为：．
11．
【分析】根据等边三角形的性质可得出，，可得，进而得出，求出弓形的面积即可．
【解答】解：如图，连接、、，
是等边三角形，
，
又，，
，
，
故答案为：．
12．
【分析】过点作于点，连接，由，得，又，得，则，故，，代入即可求得．
【解答】解：过点作于点，连接，如解图所示，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
三．解答题
13．(1)证明：如图，连接．
是圆的直径，
，
即．
又，
是边上的中线，
；
(2)解：，
．
又，，
，
的长为：．
14．解：将绕逆时针方向旋转得到，
，，
，，
，
．
15．(1)是等腰三角形，证明过程如下：
证明：是的直径，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
(2)解：①，
，
，
，
，
，
；
②如图，连接，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
．
16．(1)证明：连接，
由旋转知，，
，，
是的直径，
，
，
，
，
；
(2)解：，
为等腰直角三角形，
，
，
．
17．(1)证明：如图，连接．
是圆的直径，
，即．
又，
是边上的中线，
；
(2)解：连接，
，
．
又，，
，
，
的长为：．
18．(1)证明：是的直径，
，
点是的中点，
，
，
，
，
；
(2)解：连接，
在中，，，
，，，
，
阴影部分的面积．
19．解：(1)，
的度数为：，
的度数为：．
点是弧的中点，
的度数为：，
；
(2)连接，
是的直径，
，
，
，
，
在中，，，
，
的弧长．
20．解：(1)如图，在点的下边3格找格点，在的左方和右方分别找格点矩形和格点矩形，通过连接格点正方形的对角线即可得到其中心点，连接格点矩形的对角线即可得到其中心点，通过点，作直线，即可判断出的线段的垂直平分线，直线交于点，，依次连接，，，，则四边形是菱形．
(2)垂直平分，
，
，
，
是等边三角形，
，
扇形的面积为．
21.解：(1)根据题意得：(厘米)，
(平方厘米)，
答：这个圆的面积是28.26平方厘米；
(2)根据题意得：
(平方分米)，
答：长方体表面积比圆柱表面积增加48平方分米；
(3)(米，
(小时)，
答：需要3.5小时完成．
22.解：(1)设，两种型号的钢板的面积分别是，，
由题意，
根据方案1：用4块型钢板，8块型钢板；
则，
根据方案2：用3块型钢板，9块型钢板；
则，
，
方案2更加省料，应选方案2；
(2)根据题意得出、长方形菜地的周长分别为：，，
，
若，则，的周长大；
若，则，，的周长一样大；
若，则，的周长大；
(3)如图：
，，，
根据图形可知：，
，
，
．
一．选择题
1．如图，，是以为直径的半圆周的三等分点，，则阴影部分的面积是
A． B． C． D．
2．道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为(单位：
A． B． C． D．
3．已知圆的半径为6，的圆心角所对的弧长是
A． B． C． D．
4．如图，在圆形纸板上裁剪两个扇面．具体操作如下：作的任意一条直径，以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；连结、、、，得到两个扇形，并裁剪下来．若的半径为，则剩余纸板(图中阴影部分图形)的面积为
A． B． C． D．
5．如图所示，边长为1的正方形网格中，，，，，是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为
A． B． C． D．
6．如图，半径为5的扇形中，，是上一点，，，垂足分别为，，若，则图中阴影部分面积为
A． B． C． D．
二．填空题
7．如图，正△ABC的边长是3，分别以三个顶点为圆心，3为半径作弧，则图中由三条弧所围成的几何图形的面积是 ．
8．如图．在边长为2的正方形中，对角线、交于点，分别以点、、、为圆心，为半径画弧，弧分别与边、、、交于点、、、，则阴影部分的面积为 ．
9．如图①，，表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点是圆心，半径为，点，是圆上的两点，圆心角，则的长为 ．(结果保留
10．如图，扇形的圆心角为，，过点作于点，以为圆心，的长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积是 ．
11．如图，已知等边中，，以的中点为圆心，为半径画弧，分别与、交于点、点，再以点为圆心，为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 ．
12．如图，为半圆的直径，且，点为半圆上一点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
三．解答题
13．如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．
(1)求证：；
(2)若，，求劣弧的长．
14．如图，在中，，，，将绕逆时针方向旋转得到，点经过的路径为弧，求图中阴影部分的面积．
15．如图，已知是的直径，点是弧上的一点，于，点是弧的中点，交于点，交于点．
(1)判断的形状，并证明；
(2)若，．
①求的长；
②求阴影部分的面积．
16．如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点．
(1)证明：；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
17．如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
18．如图，将含角的直角三角板放入半圆中，，，三点恰好在半圆上，点是的中点，连结并延长交圆于点．
(1)求证：；
(2)若，求阴影部分的面积．
19．如图，是的直径，点是上一点，点是弧的中点，连接、、、交于点．
(1)若，求的大小；
(2)若，，求的弧长．
20．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．(画图过程用虚线，画图结果用实线)．
(1)仅用无刻度的直尺，在上找三点、、(逆时针方向)，使得四边形为菱形；
(2)设每个小正方形的边长为1，直接写出扇形的面积．
21.(1)问题初探，如图1，在研究圆的面积时，将圆等分成若干个扇形再拼起来，可以发现把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方形，这个长方形的面积就越接近于圆的面积，其中这个长方形的长是圆周长的一半，宽等于圆的半径，故由长方形的面积推导出圆的面积，这个过程体现了“无限逼近”的数学思想．
小明在数学活动中，把一个圆等分成若干个扇形，然后拼成了一个近似的长方形，并测量出这个长方形的长是9.42厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？取
(2)类比分析，生活中的易拉罐、圆形笔筒等都是一种叫做圆柱的立体图形(如图，它的上底面、下底面是两个大小相等的圆，侧面展开后是一个长方形，上、下底面之间的距离叫做圆柱的高．小明在学习了圆的面积后，也想用类似的方法研究圆柱的体积，他将一个圆柱等分成若干份，拼成了一个近似的长方体(如图，他发现把圆柱等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方体，这个长方体的体积就越接近于圆柱的体积，故由长方体的体积推导出圆柱的体积．
小明将一个半径为3分米，高为8分米的圆柱等分成若干份拼成一个近似的长方体，长方体表面积比圆柱表面积增加多少平方分米？
(3)学以致用，如图3，清雪车的前端装有滚筒，在滚筒上装有致密的刷毛，使得滚筒成为一把可以旋转的大扫帚，利用刷毛将粘结在路面上的积雪卷起，以达到除雪的目的．清雪车前端的滚筒是一个圆柱，滚筒体积为1.57立方米，滚筒横截面半径是0.5米，如果滚筒每分钟转5周．如果这次清雪要完成32970平方米的清雪任务，5辆相同的清雪车同时工作，需要多少小时完成？取
22.【问题提出】：比较代数式与的大小．
【问题探究】：要比较代数式与的大小，只要求出它们的差，若，则；若，则；若，则，反之亦然．
【问题解决】：
(1)如图，有、两种型号的钢板，型钢板的面积比型钢板大，制作某产品有两种用料方案，方案1：用4块型钢板，8块型钢板；方案2：用3块型钢板，9块型钢板．从省料角度考虑，应选哪种方案？请说明理由；
(2)有、两块长方形菜地，菜地的长为米，宽为米，菜地的长为米，宽为米，试比较两块长方形菜地周长的大小；
(3)如图，正方形的边长为，以为圆心，为半径作圆弧．以为圆心，为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别为、，请你比较与的大小．
答案
一．选择题
1．
【分析】连接、，根据，是以为直径的半圆周的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积求解即可．
【解答】解：如图，连接、．
，是以为直径的半圆周的三等分点，
，
又，
是等边三角形，
，，
，
，
．
故选：．
2．
【分析】根据弧长公式求出答案即可．
【解答】解：图中的管道中心线的长为，
故选：．
3．
【分析】根据弧长公式求出答案即可．
【解答】解：半径为6，圆心角为所对的弧长为．
故选：．
4．
【分析】连接，，将图中阴影部分面积拼补为扇形与扇形面积之和，进一步利用扇形的面积公式从而求出阴影部分的面积，即可求解．
【解答】解：连接，，
，的面积与弓形，的面积相等，弓形，的面积与弓形，的面积相等，
图中阴影部分的面积，
，
、是正三角形，
阴影部分的面积．
故选：．
5．
【分析】根据图形得出、、都是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，再分别求出扇形，扇形，扇形和的面积即可．
【解答】解：，，
，
同理，，
由勾股定理得：，
阴影部分的面积
，
故选：．
6．
【分析】先连接，然后根据正方形的性质和图形，可以得到阴影部分的面积等于扇形的面积，然后代入数据计算即可．
【解答】解：连接，如图所示，
，，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，和全等，
，
故选：．
二．填空题
7．
【分析】过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC＝3，求出BD＝CD＝，AD＝，根据图形得出图中由三条弧所围成的几何图形的面积＝3S扇形ABC﹣2S△ABC，再求出答案即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，
∵正△ABC的边长是3，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC＝3，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝1cm，
∴AD＝＝＝，
∴△ABC的面积＝BC AD＝×3×＝，
∴图中由三条弧所围成的几何图形的面积是3(S扇形ABC﹣S△ABC)+S△ABC＝3S扇形ABC﹣2S△ABC＝3×﹣2×＝π﹣，
故答案为：π﹣．
8．
【分析】根据正方形的性质得到相应条件，利用勾股定理求出，再利用计算结果即可．
【解答】解：在正方形中，
，，，
，
阴影部分的面积为：
，
故答案为：．
9．
【分析】由弧长公式：是弧长，是扇形圆心角的度数，是扇形的半径长)，由此即可计算．
【解答】解：，半径为，
的长．
故答案为：．
10．
【分析】根据阴影部分的面积等于的面积减去扇形面积求即可．
【解答】解：在中，，，
，
，
，
阴影部分的面积为．
故答案为：．
11．
【分析】根据等边三角形的性质可得出，，可得，进而得出，求出弓形的面积即可．
【解答】解：如图，连接、、，
是等边三角形，
，
又，，
，
，
故答案为：．
12．
【分析】过点作于点，连接，由，得，又，得，则，故，，代入即可求得．
【解答】解：过点作于点，连接，如解图所示，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
三．解答题
13．(1)证明：如图，连接．
是圆的直径，
，
即．
又，
是边上的中线，
；
(2)解：，
．
又，，
，
的长为：．
14．解：将绕逆时针方向旋转得到，
，，
，，
，
．
15．(1)是等腰三角形，证明过程如下：
证明：是的直径，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
(2)解：①，
，
，
，
，
，
；
②如图，连接，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
．
16．(1)证明：连接，
由旋转知，，
，，
是的直径，
，
，
，
，
；
(2)解：，
为等腰直角三角形，
，
，
．
17．(1)证明：如图，连接．
是圆的直径，
，即．
又，
是边上的中线，
；
(2)解：连接，
，
．
又，，
，
，
的长为：．
18．(1)证明：是的直径，
，
点是的中点，
，
，
，
，
；
(2)解：连接，
在中，，，
，，，
，
阴影部分的面积．
19．解：(1)，
的度数为：，
的度数为：．
点是弧的中点，
的度数为：，
；
(2)连接，
是的直径，
，
，
，
，
在中，，，
，
的弧长．
20．解：(1)如图，在点的下边3格找格点，在的左方和右方分别找格点矩形和格点矩形，通过连接格点正方形的对角线即可得到其中心点，连接格点矩形的对角线即可得到其中心点，通过点，作直线，即可判断出的线段的垂直平分线，直线交于点，，依次连接，，，，则四边形是菱形．
(2)垂直平分，
，
，
，
是等边三角形，
，
扇形的面积为．
21.解：(1)根据题意得：(厘米)，
(平方厘米)，
答：这个圆的面积是28.26平方厘米；
(2)根据题意得：
(平方分米)，
答：长方体表面积比圆柱表面积增加48平方分米；
(3)(米，
(小时)，
答：需要3.5小时完成．
22.解：(1)设，两种型号的钢板的面积分别是，，
由题意，
根据方案1：用4块型钢板，8块型钢板；
则，
根据方案2：用3块型钢板，9块型钢板；
则，
，
方案2更加省料，应选方案2；
(2)根据题意得出、长方形菜地的周长分别为：，，
，
若，则，的周长大；
若，则，，的周长一样大；
若，则，的周长大；
(3)如图：
，，，
根据图形可知：，
，
，
．