上海市建平中学2024-2025学年高一下学期开学摸底测试数学试题（含简单答案）

2024~2025 学年上海市建平中学高一下学期开学摸底测试
数学 试卷
（考试时间 120 分钟 满分 150 分）
考生注意：
1. 带 2B 铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具。
2. 本试卷共 3 页，21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟
3. 请将答案正确填写在答题纸上，作答在原卷上不予评分
一.填空题（12 题共 54 分，1~6 题每题 4 分，7~12 题每题 5 分）
1． ．（小数化分数）
2．方程 的解集为 ．
3．函数：f (x) = 的定义域为_________．
4．若 ，则 的最小值为 ．
5．若 ，则 ．
6．若角 终边上一点 ，则 的值为 ．
7．若函数 是偶函数，则正数 a 的值为 _．
8．已知一次“45 操作”的值为 cos45°，2 次“45”操作的值为，cos(45°)+cos(4545°)，3 次“45”操作的值为：
cos(45°)+cos(4545°)+cos(454545°)，则 2025 次“45”操作的值为__________．
9．已知角 的终边上的点 与 关于 轴对称 ，角 的终边上的点 与 A 关于直线 对称，则
的值为__________．
10．已知 则 ．
11．已知 ，若 ，则角 的取值范围是 ．
12．方程 的实数根的个数是 ．
二.选择题（4 题共 18 分，13~14 每题 4 分，15~16 每题 5 分）
13．已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ．设甲： ；乙： 是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
14．如果 的三个内角的余弦值分别等于 的三个内角的正弦值，则（ ）
A． 和 都是锐角三角形
B． 和 都是钝角三角形
C． 是钝角三角形， 是锐角三角形
D． 是锐角三角形， 是钝角三角形
15．设函数 的定义域为 ，值域为 ，下列结论正确的是（ ）
A．当 时，b 的值不唯一 B．当 时，a 的值不唯一
C． 的最小值为 3 D． 的最大值为 3
16．设点 的坐标为 ， 是坐标原点，点 绕着 点顺时针旋转 后得到 ，则 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
三.解答题（共 78 分，17~19 每题 14 分，20~21 每题 18 分）
17．（本题共 14 分，（1）小问 4 分，（2）与（3）小问均为 5 分）
已知 .
（1）设 是第三象限角，求： 的值；
（2）求： 的值；
（3）求： 的值.
18．（本题共 14 分，每小问均为 7 分）
如图，有一个扇环形花圃 ，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值 ，圆心角的绝对值为
．
（1）当 为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积；
（2）当 时，求：弧 的中点 到弦 的距离
19．（本题共 14 分，每小问均为 7 分）
已知集合 ，对于集合 的非空子集 ，若 中存在三个互不相同的元素 ，使得
均属于 ，则称集合 是集合 的“期待子集”.
（1）试判断集合 是否为集合 的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
（2）如果一个集合中含有三个元素 ，同时满足① ，② ，③ 为偶数.那么称该集合具有
性质 .对于集合 的非空子集 ，证明：集合 是集合 的“期待子集”的充要条件是集合 具有性质 .
20．（本题共 18 分，每小问均为 9 分）
已知关于 x 的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0，其中 k∈R.
（1）当 k 变化时，试求不等式的解集 A；
（2）对于不等式的解集 A，若满足 A∩Z＝B(其中 Z 为整数集)．试探究集合 B 能否为有限集？若能，求出使得集合
B 中元素个数最少的 k 的所有取值，并用列举法表示集合 B；若不能，请说明理由．
21．（本题共 18 分，（1）小问 4 分，（2）小问为 6 分，（3）小问 8 分）
新定义：若数列 满足条件：存在正整数 ，使得 对一切 ， 都成立，则称数列 为
级等差数列．
（1）若数列 为 1 级等差数列， ， ，求：数列 的前 项和 ；
（2）已知数列 为 2 级等差数列，且前四项分别为 2，0，4，3，求：数列 的前 2025 项和 S2025；
（3）若 （ 为常数），且 是 3 级等差数列，求： 所有可能值的集合．
参考答案及评分标准
填空题（1~12 题）
1．
2．
3． { , 其中 }
4． 2
5．
6．
7． 4
8．
9． 0
10 ．
11 ．
12．1
选择题（13~16 题）
13．D
14．D
15．C
16．B
解答题（17~21 题）
17． （1） （4 分） （2） （5 分） （3） （5 分）
18． （1） ， （7 分） （2） （7 分）
19．（1） 是集合 的“期待子集”， 不是集合 的“期待子集”（7 分）
（2）证略（7 分）
20．（1）当 k=0 时，A={x|x＜4}（2 分）
当 k＞0 且 k≠2 时，A={x＜4 或 x＞ }（3 分）
当 k=2 时，A={x|x≠4}（2 分）
当 k＜0 时，A={x| ＜x＜4}
（2）能； ，B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}（9 分）
21．（1） ；（6 分）
（2）S2025=2561880；（6 分）
（3） （6 分）