第十七章：勾股定理方法专题《勾股定理与全等综合训练》（含答案）

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2025年春八年级下册数学人教版
第十七章：勾股定理
方法专题《勾股定理与全等综合训练》
1.已知RtΔABC中，AC=BC,为.AB边的中点，且DF=EF, ，D是BC上一个动点．如图1，当D与C重合时，易证：
（1）当D不与C、B重合时，如图2，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明.
（2）当D在BC的延长线上时，如图3，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明.
2.如图，在ΔABC中， ,AC=4, CB=2，点D是AB的中点，点E 在AC上，点E、D、F一条直线上，且ED=FD
（1）求证：FB⊥CB；
（2）联结CD，若CD⊥EF，求CE的长．
如图，在RtΔABC中， ,AC=BC，在RtΔABD中，
AD与BC交于点E，且∠DBE=∠DA
求证：（1）∠CAE=∠DBC;
(2)
4.如图，E、F是等腰RtΔABC的斜边BC上的两动点， ,CD⊥BC 且CD=BE.
求证：（1）AE=AD;
(2)
5.如图，ΔABC中，AB=BC,BELAC于点E，AD⊥BC于点D， ,AD与BE交于点F，连接CF.
（1）求证：BF=AC;
（2）若CD=3,求AD的长
6.已知，ΔABC和ΔDCE都是等边三角形，点B，C，E三点不在一条直线上（如图左）．
（1）求证： BD=AE;
（2）若 A AD=4,CD=5，求BD的长；
（3）若点B，C，E三点在一条直线上（如图右），且ΔABC和ΔDCE的边长分别为3和5，求AD的长
7.如图，已知点P是等边ΔABC内一点，连结PA，PB，PC，
D为ΔABC外一点，且∠DAC=∠PAB,AD=AP，连结DP，DC.
（1）求证： ΔADC≌ΔAPB.
（2）若PA=4,PB=3. PC=5，求∠APB的度数
如图，点E，F分别是正方形ABCD的对角线AC上的两个动点，
∠EBF=45°．求证：
9.已知，如图，在ΔABC中， AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE//AC 交AB于E.
（1）求证：AE=DE;
（2）如果AC=3,，求AE的长
10.如图，在RtΔACB中， , AB=10,AC=6
AD平分∠CAB交BC于点D.
（1）求BC的长；
（2）求CD的长
11.如图，在RtΔABC、、中， , AC=BC，在RtΔABD中， ,AD与BC 交于点E，且∠DBE=∠DAB.
求证：（1）∠CAE=∠DBC;
(2)
如图，ΔABC中，AB=BC,BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，
,AD与BE交于点F，连接CF.
（1）求证：BF=AC;
（2）若CD=3，求AD的长
答案
解
（1）如图中， 成立.
证明：连接CF、BE，
∵ F为AB边的中点，
∴CF=BF
又∵
∴∠DFC=∠EFB
∵DF=EF,
∴ΔDFC≌ΔEFB(SAS)
∴CD=BE,
∴
∴
∴
（2）图3成立．
证明：连接CF、BE，
∵，F为AB边的中点，
∴CF=BF,
又∵，DF=EF,
∴∠DFC=∠EFB,
∴ΔDFC≌ΔEFB(SAS)
∴CD=BE,
∵
在RtΔDBE中,
∵
∴
2.解
∵D是AB的中点
∴AD=BD
在△ADE和△BDF中
AD=BD
∠ADE=∠BDF
ED=FD
∴△ADE≌△BDF（SAS）
∴∠A=∠FBD,AE=BF
∵∠ACB=90°
∴∠A+∠ABC=90°
∴∠FBD+∠ABC=90°
即∠FBC=90°
∴FB⊥CB
连接CF
∵CD⊥EF, ED=FD,
∴CF=EF,
设CE=x，则CF=x BF=AE=4-x,
RtΔFBC中,
∴
∴
∴
3.解
∵
∴)
∴∠CEA=∠BED,
∴∠CAE=∠DBC;
（2）延长BD交AC延长线于点F，
∵∠DBE=∠DAB,
∴∠DAB=∠CAE,
在ΔADB和ΔADF中，
∠DAB=∠DAC
AD=AD
∴ΔADB ΔADF(ASA)
∴BD=DF,
∴BF=2BD,
在ΔACE和ΔBCF中
∠CAE=∠DBE
AC=BC
∠ACB=∠BCF
∴ΔACE≌ΔBCF(ASA),
∴AE=BF,
∴AE=2BD,
在RtΔACE中,
∴
4.解
(1)∵ΔABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC,
∴
∵CD⊥BC,
∴
∴,
在ΔABE和ΔACD中，
AB=AC
∠B=∠ACD
BE=CD
∴ΔABE≌ΔACD(SAS)
∴AE=AD
（2）由（1） 知,ΔABE≌ΔACD
∴AE=AD, ∠BAE=∠CAD,
∵
∴∠EAD=∠CAE+∠CAD=∠CAE+∠BAE=∠
∵
∴
在ΔAEF与ΔADF中,
AE=AD
∠EAF=∠DAF
AF=AF
∴ΔAEF≌ΔADF(SAS)
∴DF=EF,
在RtΔDCF中，根据勾股定理得，
∵CD=BE,
∴
5.解
（1）证明：AD⊥BC，
∴ΔABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD,
∵BE⊥AC, AD⊥BC,
∴
∴
∴
∴∠CAD=∠CBE,
在ΔADC和ΔBDF中,
∠CAD=∠CB
AD=BD
∠ADC=∠BDF
∴ΔADC≌ΔBDF(ASA)
BF=AC;
(2)∵ΔADC≌ΔBDF,
∴DF=CD=3,
在RtΔCDF中,
∵BE⊥AC, AE=EC,
∴
∴
6.解
（1）ΔABC和ΔDCE是等边三角形，
∴BC=AC,DC=EC,
∴∠ABC+∠ACD=∠DCE+∠ACD,
即∠BCD=∠ACE,
在ΔBCD与ΔACE中,
BC=AC
∠BCD=∠ACE
CD=CE
∴ΔBCDQ≌ΔACE(SAS),
∴BD=AE;
（2）∵ΔDCE等式等边三角形，
∴CD=DE=5,
∵
∴
在RtΔADE中, AD=4,DE=5,
∴
∴
如图过A作AH⊥CD于H，
点B，C，E三点在一条直线上，
∴
∵ΔABC和ΔDCE都是等边三角形，
∴
∴
∴
在RtΔACH中,
∴
在RtΔADH中,
7.解
（1）证明：ΔABC是等边三角形，
∴AC=AB,
在ΔADC与ΔAPB中
ΔADC≌ΔAPB(SAS);
(2):ΔADC ΔAPB,
∴CD=PB=3, ∠APB=∠ADC,
ΔABC是等边三角形，
∴
∴∠PAD=∠PAC+∠CAD=∠PAC+∠PAB=∠
∵AD=AP,
∴ΔADP是等边三角形，
PD=PA=4, PC=5
∴
∴
∴
8.解
证明：如图，作∠ABN=∠CBF，取BN=BF，连接AN,EN.
∵BA=BC,
∴ΔBAN≌ΔBCF.
∴AN=CF, ∠BAN=
∴
∴
∵
∴
∴
在ΔEBF和ΔEBN中，
BF=BN
∠FBE=∠NBE
BE=BE
∴ΔEBF≌ΔEBN(SAS)
∴EF=EN
∴
9.解
（1）证明 ∵DE//AC，
∴∠CAD=∠ADE,
∵ AD平分／BAC，
∴∠CAD=∠EAD
∴∠EAD=∠ADE.
∴AE=DE;
（2）过点D作DF⊥AB于F．
AC=3,
在RtΔACD中，由勾股定理得
∴
∵AD平分∠BAC,
∴
又∵AD=AD,
∴RtΔDAC RtΔDAF(HL).
AF=AC=3,
∴RtADEF中，由勾股定理得
AC=3,
在RtΔACD中，由勾股定理得
∴
∵AD平分∠BAC，
∴
又∵AD=AD
∴RtΔDAC RtΔDAF(HL).
AF=AC=3,
∴RtΔDEF中，由勾股定理得
设AE=x，则DE=x EF=3-x
∴
∴x=2.
∴AE=2.
10.解
（1）在RtΔACB中,
由勾股定理得：
（2）过点D作DE⊥AB于点E，如图
∴
∵AD平分LCAB（已知），
∴∠1=∠2
在ΔAED和ΔACD中
∠DEA=∠C
∠2=∠1
AD=AD
∴ΔAED≌ΔACD(AAS).
∴AE=AC=6 DE=DC(（全等三角形的对应边相等）
BE=AB-AE=4.
设CD=x,则DE=x, DB=8-x.
在RtΔDEB中,
由勾股定理，得
解得x=3.
即CD=3
11.解
证明：∵
∴
∴∠CEA=∠BED,
∴∠CAE=∠DBC;
（2）延长BD交AC延长线于点F，
∵∠DBE=∠DAB,
∠DAB=∠CAE,
在ΔADB和ΔADF中，
∠DAB=∠DAC
AD=AD
∴ΔADB≌ΔADF(ASA)
∴BD=DF,
BF=2BD,
在ΔACE和ΔBCF中,
∠CAE=∠DBE
AC=BC
∠ACB= DCF
∴ΔACE≌ΔBCF(ASA),
∴AE=BF,
∴AE=2BD,
在RtΔACE中,
∴
12.解
（1）证明：ADLBC，
∴ΔABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD,
∵BE⊥AC,AD⊥BC,
∴
∴
∴
∴∠CAD=∠CBE,
在ΔADC和ΔBDF中,
∠CAD=∠CBE
AD=BD
∠ADC=∠BDF=90°
∴ΔADC≌ΔBDF(ASA)
BF=AC
(2)∵ΔADC ΔBDF
∴DF=CD=3,
在RtΔCDF中,
∵BE⊥AC,AE=EC,
∴
∴