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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册、第8章
课标要求 【内容要求】（1）了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。（2）能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。（3）能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。（4）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。（5）了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。（6）能用有理数估计一个无理数的大致范围。（7）了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算。【学业要求】了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，感悟数的扩充；初步认识实数与数轴上的点具有一一对应关系，能用数轴上的点表示一些具体的实数，能比较实数的大小；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值；知道平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示平方根、算术平方根、立方根；知道乘方与开方互为逆运算，会用乘方运算求百以内完全平方数的平方根和千以内完全立方数的立方根（及对应的负整数），会用计算器计算平方根和立方根；能用有理数估计一个无理数的大致范围；初步认识近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算，会对结果取近似值。
内容分析 本章主要内容：（1）平方根；（2）立方根；（3）实数及其简单运算。本章内容属于“数与代数”领域。有关数的内容，学生在七年级上册已经系统地学过有理数，对有理数的概念和运算等有了较深的认识。本章是在有理数的基础上学习实数的初步知识，本章很多内容是有理数相关内容的延续和推广，因此，编写时注意了加强知识间的相互联系，突出类比的作用，使学生更好的体会数的扩充过程中表现出来的概念、运算等的一致性和发展变化。本章前两节“平方根”“立方根”在内容和展开方式上是基本平行的，因此，编写“立方根”时充分利用了类比的方法，通过类比“平方根”展开“立方根”的内容。这样的编写方法，有助于加强知识间的相互联系，通过类比已学的知识学习新知识，使学生的学习形成正迁移。
学情分析 七年级学生在思维上正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段。他们对有理数的概念和运算有了较深的认识，但对无理数这一抽象概念的理解可能存在一定的困难。因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和形象的教学手段，逐步建立起学生对实数的抽象概念。学生的学习习惯上，已经具备了一定的独立思考和自主探究能力，但在合作交流方面可能还需要进一步的引导。此外，学生的运算水平有所提高，但在推理能力和数感方面仍有待加强。
单元目标 教学目标1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会有根号表示数的算术平方根、平方根、立方根；2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根；3.了解开方和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值；4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.(二)教学重点、难点教学重点:算术平方根、平方根的概念、求法及实数的概念。教学难点:平方根与实数的概念。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数8.1平方根3课时8.2立方根2课时8.3实数及其简单运用2课时
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务8.1.1平方根1.了解平方根的概念，并理解平方与开平方的关系；2.知道平方根的性质，会用符号表示平方根，会求非负数的平方根.1.了解平方根的概念2.理解平方与开平方的关系3.知道平方根的性质，会用符号表示平方根4.会求非负数的平方根.任务一：以实际问题为背景，引出新课任务二：平方根的定义和计算任务三：平方根的特征与表示8.1.2算数平方根1.了解算术平方根的概念，会表示正数的算术平方根；2.了解算术平方根的非负性；3.掌握算术平方根的估算，初步体会无限不循环小数.1.了解算术平方根的概念，会表示正数的算术平方根2.了解算术平方根的非负性；3.掌握算术平方根的估算，初步体会无限不循环小数.任务一：通过实例，引出新课任务二：算数平方根的定义及性质任务三：算数平方根的估算8.1.3用计算器求一个正数的算数平方根1.会用计算器求算术平方根.2.能用计算器探求数学规律.3.能利用算术平方根解决实际问题.1.会用计算器求算术平方根2.能用计算器探求数学规律3.能利用算术平方根解决实际问题任务一：由算盘到计算器，感受科技的进步任务二：用计算器求算数平方根任务三：算数平方根的实际应用8.2.1立方根1.了解立方根的概念.2.知道立方根的性质，知道平方根与立方根的联系与区别.3.会用根号表示一个数的立方根，能用开立方运算求某些数的立方根.1.了解立方根的概念2.知道立方根的性质，知道平方根与立方根的联系与区别3.会用根号表示一个数的立方根，能用开立方运算求某些数的立方根任务一：复习平方根的知识任务二：立方根任务三：立方根的性质任务四：立方根的表示8.2.2立方根的估算与用计算器求立方根1.了解互为相反数的两个数的立方根的关系.2.学会用计算器计算各数的立方根或立方根的近似值.1.了解互为相反数的两个数的立方根的关系2.会用计算器计算各数的立方根或立方根的近似值任务一：复习立方根的内容任务二：相反数的立方根任务三：用计算器求立方根8.3.1实数的概念及分类1.了解无理数和实数，能将实数按要求进行分类;2.了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小.1.了解无理数的概念及相关内容2.了解实数的概念，能将实数按要求进行分类3.了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，4.能比较实数的大小.任务一：回忆有理数的概念及分类，为学习实数做铺垫任务二：无理数的概念任务三：实数的概念及分类任务四：实数与数轴上点的关系8.3.2实数的性质及运算1．能求实数的相反数与绝对值.2．能进行实数的简单运算，了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.3．能用计算器进行近似计算，会对结果取近似值.1．能求实数的相反数与绝对值2．能进行实数的简单运算，了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用3．能用计算器进行近似计算，会对结果取近似值任务一：回顾有理数的相关概念和运算，进入实数的学习任务二：实数的相反数与绝对值任务三：实数的运算
《第8章 》实数 大单元教学设计
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分课时教学设计
《8.1.1平方根》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的内容是平方根，是在学生学习了有理数以及有理数乘方的基础上来学习平方根,之前的有理数乘方的学习为本节课学习奠定了一定的知识基础,更利于学生找出一个正数的两个平方根.它不仅是对前面所学知识的巩固,也为后面算术平方根的学习奠定了基础.教材通过求具体数字的平方根引入,顺势给出平方根的定义,结合具体例子便于学生理解与掌握平方根的概念，并运用概念，会求一个数的平方根.
学习者分析 学生已经学习了有理数的运算，具有乘方运算的基础，理解乘方运算的本质，对加减乘除运算的互逆关系有了明确的认识，为这一课时的学习奠定了知识基础；在前面的学习中已经积累了自主探究,合作学习的经验，具有一定的观察、分析、归纳、概括能力，具备了一定的合作与交流能力。
教学目标 1.了解平方根的概念，并理解平方与开平方的关系； 2.知道平方根的性质，会用符号表示平方根，会求非负数的平方根.
教学重点 掌握平方根的概念并会求一个数的平方根.
教学难点 认识和会表示一个数的平方根.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 问题 当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v(单位:m/s)时，就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星.v的大小满足v =2gR，其中g是地球表面的重力加速度，g≈9.8(单位:m/s)，R是地球半径，R ≈ 6.4×106 (单位:m)，怎样求v呢 这就要用到平方根的概念学生活动1： 学生阅读问题并进行思考.活动意图说明： 通过实际问题进入新课，激发学生思考和学习的兴趣，感受将生活问题转化为数学问题。环节二：平方根的定义和计算教师活动2： 我们知道，已知一个数，通过平方运算可以求这个数的平方. 反过来，如果已知一个数的平方，那么怎样求这个数呢 思考: 如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少 因为32=9，所以这个数可以是3； 又因为（-3）2=9，所以这个数也可以是-3． 除3，-3以外，任何一个数的平方都不等于9. 因此，如果一个数的平方等于9，那么这个数是3或-3. 根据以上发现，尝试填写表格。 平方根： 一般地，如果一个数x的平方等于a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫作a的平方根或二次方根。 例如，3和-3是9的平方根．通常把3和-3合在一起简记为“±3”，则±3是9的平方根. 开平方： 求一个数的平方根的运算，叫作开平方。 由上图可以发现，平方与开平方互为逆运算. 根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根. 例1 求下列各数的平方根： (1) 64 ； (2) ； (3) 0.01. 解:(1) 因为 (±8)2 = 64，所以64的平方根是±8； (2) 因为 ，所以 的平方根是 ； (3)因为 (±0.1)2 = 0.01，所以 0.01 的平方根是±0.1. 求一个正数的平方根主要分两步: (1)找出平方等于这个正数的数，这样的数有两个； (2)根据平方根的定义写出这个正数的平方根.学生活动2： 学生进行思考，与教师一起探究。 学生尝试填表。 学生理解平方根的概念。 学生了解开平方的含义，知道平方与开平方互为逆运算。 学生独立完成例题，并展示答案。 学生在教师的引导下，总结求一个正数的平方根的步骤。活动意图说明： 教师引导学生作答，使学生经历观察、思考、交流、总结归纳出平方根的概念的过程，利用平方与开平方互逆揭示开平方运算的本质，培养学生用逆向思维解决问题的习惯。环节三：平方根的特征与表示教师活动3： 思考: 正数的平方根有什么特点？０的平方根是多少？负数有平方根吗？ （1）从例1可以看出，正数有两个平方根，它们互为相反数. （2）因为0 =0，并且任何一个不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根是0. （3）正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0的平方是0，即在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不是负数，所以负数没有平方根. 平方根的性质： 正数有两个平方根，它们互为相反数； 0 的平方根是0； 负数没有平方根. 被开方数： 正数 a 的正的平方根记为“”，读作“根号a”，a叫作被开方数。 正数 a 的负的平方根可以用“-”表示，故正数 a 的平方根可以用“±”表示，读作“正、负根号 a”. 例如：±表示9的平方根，±=±3 。 特别地，0的平方根记为. 思考：只有当a大于或等于0 时，有意义；而当a小于0时，没有意义.为什么 因为在我们认识的数中，任何一个数的平方都不是负数，所以负数没有平方根，即当a小于0时，没有意义. 例2 下列各数有平方根吗 如果有，求它的平方根，如果没有，说明理由. （1）0.36； （2）﹣5； （3）（-4）2. 解:(1)因为0.36是正数，所以0.36有两个平方根，±=±0.6； (2)因为-5是负数，所以-5没有平方根; (3)因为(-4)2=16 是正数，所以(-4)2有两个平方根，±=±=±4.学生活动3： 学生小组合作探究，尝试进行作答。 学生进行总结。 学生掌握平方根的表示。 学生掌握当a小于0时，没有意义。 学生独立完成例题，并展示答案。 活动意图说明： 教师提问，引导学生归纳出平方根的特征，通过小组讨论，培养合作精神，让学生在探索问题的过程中，体验解决问题是方法和乐趣，增强学习兴趣，让学生掌握平方根的表示，知道0的平方根记为，当a小于0时，没有意义，会求一个数的平方根，最后通过例题，检验学生对知识的掌握程度，培养学生解决问题的能力。
板书设计 课题：8.1.1平方根 1.平方根的定义和计算： 2.平方根的特征与表示：
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列说法中，不正确的是( C ) A. 是 2 的平方根 B. 是 2 的平方根 C. 2 的平方根是 D. -2 没有平方根 2.下列说法中，正确的是( D ) A．任何数的平方根都有两个 B．一个数的平方根是它本身 C．只有正数才有平方根 D．负数没有平方根 3.求下列各数的平方根. (1)(-11)2；(2) ；(3) ；(4) . 解：(1)(-11)2 =121，它的平方根是 ±11. (2) =7，它的平方根是 . (3) =4 ，它的平方根是 ±2. (4) ，它的平方根是 . 选做题： 4.若x＋3是4的平方根，则x的值为( D ) A．－1 B．±1 C．－2 D．－1或－5 5.若x＋1是16的一个平方根，则x的值为 3或－5 . 【综合拓展类作业】 6.一个正数x的两个不同的平方根分别是3m＋2与4m－9. (1)求x和m的值； (2)求x＋11m的平方根． 解：(1)由题意可得3m＋2＋4m－9＝0， 解得m＝1，∴x＝(3×1＋2)2＝25. (2)将x＝25，m＝1代入x＋11m中，得25＋11×1＝36. ∵36的平方根是±6， ∴x＋11m的平方根是±6.
课堂总结 1.平方根： 一般地，如果一个数x的平方等于a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫作a的平方根或二次方根。 2.求一个数的平方根的运算，叫作开平方。 3.平方根的性质： 正数有两个平方根，它们互为相反数； 0 的平方根是0； 负数没有平方根. 4.平方根的表示：±（a大于或等于0）
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.25的平方根是±5，这句话用数学式表示为( B ) A.＝±5 B．±＝±5 C.＝5 D．－＝－5 2.若－是x的一个平方根，则x的另一个平方根是 ，x的值是 5 . 3.有一个边长为11cm的正方形和一个长15cm、宽5cm的长方形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的大正方形，则该大正方形的边长应为多少？ 解：设该大正方形的边长为xcm. 由题意，得x2＝11×11＋15×5＝196. ∵ x＞0，∴ x＝14. ∴ 该大正方形的边长应为14cm 选做题： 4.若 8xmy 与 6x3yn 的和是单项式，则(m +n)3的平方根为( D ) A.4 B. 8 C. ±4 D. ±8 5．若2x－4与3x－1是正数a的两个不相等的平方根，则正数a的值是（ C ） A.1 B.100 C.4 D.4或100 【综合拓展类作业】 6.已知 2a-1 的平方根为 ± ，3a-2b的平方根为 ±2，求 4a-b+2的平方根. 解：∵ 2a-1 的平方根为，3a-2b 的平方根为2， ∴ 2a-1=3，3a-2b=4， ∴ a=2，b=1， ∴ 4a-b+2=4×2-1+2=9， ∴ 4a-b+2 的平方根是±3.
教学反思 本节课通过一些实例让学生体会平方根的概念及其特征，渗透“具体—抽象—具体”的研究思路.结合学过的运算理解“开平方”的新运算，使学生的学习形成迁移.借助例题和课堂练习巩固新知，提高学生的学习能力.
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（人教版）七年级
下
8.1.1平方根
实数
第8章
“八”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1.了解平方根的概念，并理解平方与开平方的关系；
2.知道平方根的性质，会用符号表示平方根，会求非负数的平方根.
新知导入
问题 当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v(单位:m/s)时，就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星.v的大小满足v =2gR，其中g是地球表面的重力加速度，g≈9.8(单位:m/s)，R是地球半径，R ≈ 6.4×106 (单位:m)，怎样求v呢
这就要用到平方根的概念
我们知道，已知一个数，通过平方运算可以求这个数的平方.
反过来，如果已知一个数的平方，那么怎样求这个数呢
新知讲解
任务一：平方根的定义和计算
如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少
新知讲解
思考:
因为32=9，所以这个数可以是3；
又因为（-3）2=9，所以这个数也可以是-3．
除3，-3以外，任何一个数的平方都不等于9.
因此，如果一个数的平方等于9，那么这个数是3或-3.
新知讲解
根据以上发现，尝试填写表格。
x2 1 16 36 49
x
1或-1
4或-4
6或-6
7或-7
或
新知讲解
平方根：
一般地，如果一个数x的平方等于a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫作a的平方根或二次方根。
例如，3和-3是9的平方根．通常把3和-3合在一起简记为“±3”，则±3是9的平方根.
新知讲解
开平方：
求一个数的平方根的运算，叫作开平方。
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
平方
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
开平方
由上图可以发现，平方与开平方互为逆运算.
根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根.
新知讲解
例1 求下列各数的平方根：
(1) 64 ； (2) ； (3) 0.01.
解:(1) 因为 (±8)2 = 64，所以64的平方根是±8；
(2) 因为 ，所以 的平方根是 ；
(3)因为 (±0.1)2 = 0.01，所以 0.01 的平方根是±0.1.
新知讲解
求一个正数的平方根主要分两步:
(1)找出平方等于这个正数的数，这样的数有两个；
(2)根据平方根的定义写出这个正数的平方根.
正数的平方根有什么特点？０的平方根是多少？负数有平方根吗？
新知讲解
思考:
（1）从例1可以看出，正数有两个平方根，它们互为相反数.
（2）因为0 =0，并且任何一个不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根是0.
（3）正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0的平方是0，即在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不是负数，所以负数没有平方根.
任务二：平方根的特征与表示
新知讲解
平方根的性质：
正数有两个平方根，它们互为相反数；
0 的平方根是0；
负数没有平方根.
新知讲解
被开方数：
正数 a 的正的平方根记为“”，读作“根号a”，a叫作被开方数。
正数 a 的负的平方根可以用“- ”表示，故正数 a 的平方根可以用“± ”表示，读作“正、负根号 a”.
新知讲解
例如：±表示9的平方根，±± 。
正数 a
正平方根记为：
负平方根记为：
被开方数
特别地，0的平方根记为.
新知讲解
思考：只有当a大于或等于0 时，有意义；而当a小于0时，没有意义.为什么
因为在我们认识的数中，任何一个数的平方都不是负数，所以负数没有平方根，即当a小于0时，没有意义.
新知讲解
例2 下列各数有平方根吗 如果有，求它的平方根，如果没有，说明理由.
（1）0.36； （2）﹣5； （3）（-4）2.
解:(1)因为0.36是正数，所以0.36有两个平方根，±=±0.6；
(2)因为-5是负数，所以-5没有平方根;
(3)因为(-4)2=16 是正数，所以(-4)2有两个平方根，±=±=±4.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.下列说法中，不正确的是( )
A. 是 2 的平方根 B. 是 2 的平方根
C. 2 的平方根是 D. -2 没有平方根
C
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2．下列说法中，正确的是( )
A．任何数的平方根都有两个
B．一个数的平方根是它本身
C．只有正数才有平方根
D．负数没有平方根
D
3.求下列各数的平方根.
(1)(-11)2；(2) ；(3) ；(4) .
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
解：(1)(-11)2 =121，它的平方根是 ±11.
(2) =7，它的平方根是 .
(3) =4 ，它的平方根是 ±2.
(4) ，它的平方根是 .
4.若x＋3是4的平方根，则x的值为( )
A．－1 B．±1
C．－2 D．－1或－5
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
D
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
5. 若x＋1是16的一个平方根，则x的值为 .
3或－5
6.一个正数x的两个不同的平方根分别是3m＋2与4m－9.
(1)求x和m的值；
(2)求x＋11m的平方根．
【综合拓展类作业】
课堂练习
解：(1)由题意可得3m＋2＋4m－9＝0，
解得m＝1，∴x＝(3×1＋2)2＝25.
(2)将x＝25，m＝1代入x＋11m中，得25＋11×1＝36.
∵36的平方根是±6，
∴x＋11m的平方根是±6.
课堂总结
1.平方根：
一般地，如果一个数x的平方等于a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫作a的平方根或二次方根。
2.求一个数的平方根的运算，叫作开平方。
3.平方根的性质：
正数有两个平方根，它们互为相反数；
0 的平方根是0；
负数没有平方根.
4.平方根的表示：±（a大于或等于0）
板书设计
1.平方根的定义和计算：
2.平方根的特征与表示：
课题：8.1.1平方根
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.25的平方根是±5，这句话用数学式表示为( )
A.＝±5 B．±＝±5
C.＝5 D．－＝－5
B
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2．若－ 是x的一个平方根，则x的另一个平方根是 ，x的值是 .
5
作业布置
3.有一个边长为11cm的正方形和一个长15cm、宽5cm的长方形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的大正方形，则该大正方形的边长应为多少？
【知识技能类作业】必做题：
解：设该大正方形的边长为xcm.
由题意，得x2＝11×11＋15×5＝196.
∵ x＞0，∴ x＝14.
∴ 该大正方形的边长应为14cm
4.若 8xmy 与 6x3yn 的和是单项式，则(m +n)3的平方根为( )
4 B. 8 C. ±4 D. ±8
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
D
5.若2x－4与3x－1是正数a的两个不相等的平方根，则正数a的值是（ ）
A.1 B.100 C.4 D.4或100
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
C
6.已知 2a-1 的平方根为 ，3a-2b的平方根为 2，求 4a-b+2的平方根.
【综合拓展类作业】
作业布置
解：∵ 2a-1 的平方根为，3a-2b 的平方根为2，
∴ 2a-1=3，3a-2b=4，
∴ a=2，b=1，
∴ 4a-b+2=4×2-1+2=9，
∴ 4a-b+2 的平方根是±3.
Thanks!
2
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