10.1第3课时 垂线段
【基础达标】
1.如图,马路上的斑马线是为了引导行人安全地通过马路.某数学小组的同学们认为行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理,这一想法体现的数学依据是 ( )
A.两点确定一条直线
B.两点之间线段最短
C.平行线间的距离相等
D.垂线段最短
2.如图,点P到直线公路MN共有四条路,若要从点P到公路,用相同速度行走,则最快到达的路径是 ( )
A.PA B.PB C.PC D.PD
3.如图,这是李晓同学在运动会跳远比赛中最好的一跳,甲、乙、丙三名同学分别测得PA=5.52米,PB=5.37米,MA=5.60米,那么李晓的跳远成绩应该为 米.
4.如图,在直角三角形ABC中,∠ABC=90°,AB
AC,理由是 .
【能力巩固】
5.如图,在三角形ABC中,AB=3,BC=4,D是BC的中点,点P在线段BC上,若三角形ACD的面积等于2,则AP的最小值是 ( )
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
6.如图,PO⊥OR,OQ⊥PR,则点P到OQ所在直线的距离是下面一条线段的长,它是 ( )
A.PO B.RO C.OQ D.PQ
7.如图,说明如何量出点C到直线AB的距离,三名同学有不同的作法.
甲同学:只要量出线段BC的长度即可.
乙同学:过点C无法向直线AB作垂线,所以无法量出点C到直线AB的距离.
丙同学:过点C作直线AB的垂线,垂线和直线AB不相交,所以不能量出点C到直线AB的距离.
请判断三名同学作法的对错,如果不对,请写出你的作法.
8.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,BC=4 cm,AC=3 cm,AB=5 cm.
(1)点B到AC的距离是 cm;点A到BC的距是 cm.
(2)画出表示点C到AB的距离,并求出该线段的长度.
【素养拓展】
9.如图,据气象部门观测,现有一台风中心沿直线AB由西向东移动,C,D分别是位于直线AB两侧的两个城市.
(1)设台风中心移动到AB上点M的位置时,距离城市C最近,移动到点N的位置时,距离城市D最近,请在图中分别画出点M和点N的位置.
(2)当台风中心从A向B移动时,在AB的哪一段上离城市C,D越来越近 在哪一段上离城市D越来越近,而离城市C越来越远 (分别用文字表达你的结论,不必说明理由)
参考答案
基础达标作业
1.D 2.B 3.5.37
4.垂线段最短 两点之间线段最短
能力巩固作业
5.C 6.D
7.
解:三名同学的作法都是错误的.
正确作法:如图,过点C作CD⊥AB的延长线于点D,则CD的长为点C到直线AB的距离.
8.解:(1)4;3.
(2)如图,作CD⊥AB于点D,则线段CD的长度就是点C到AB的距离.
因为三角形ABC的面积=BC·AC=AB·CD,
所以CD===(cm).
素养拓展作业
9.解:(1)图略.过点C作CM⊥AB,垂足为M,过点D作DN⊥AB,垂足为N,则点M,N即为所求.
(2)当台风中心从A向B移动时,在AM段上,离两个城市越来越近;在MN段上时,离城市C越来越远,离城市D越来越近.10.1 相交线
第1课时 对顶角
【基础达标】
1.如图,直线AB与CD相交于点O,若∠AOD与∠BOC的和为236°,则∠AOD的度数为 ( )
A.62° B.118° C.72° D.59°
2.下列说法正确的有 ( )
①对顶角相等;
②相等的角是对顶角;
③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;
④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.∠α与∠β是对顶角,∠α的补角等于55°,则∠β的度数为 ( )
A.35° B.55°
C.125° D.135°
4.如图,直线AB,CD相交于点O,则∠AOC的度数是 .
5.如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOC=60°,∠1∶∠2=1∶2.
(1)求∠2的度数.
(2)若∠2与∠MOE互余,求∠MOB的度数.
6.如图,直线AB,CD,EF相交于点O,已知∠2=2∠1,∠3=3∠2,求∠DOE的度数.
【能力巩固】
7.如图,直线AB,CD相交于点O,∠BOE=90°,OF平分∠AOE,∠1=20°,则下列结论中不正确的是 ( )
A.∠2=45°
B.∠1=∠3
C.∠3的补角是∠BOF
D.∠COE=110°
8.如图,直线AB和CD相交于点O,OE平分∠BOD,若∠BOE等于38°,则∠BOC= .
9.如图,直线AB,CD相交于点O,OE,OF为射线,∠AOE=90°,OF平分∠AOC,∠AOF+∠BOD=60°,求∠EOD的度数.
10.如图,直线AB,CD相交于点O,∠BOE比∠AOC大15°,∠AOD是∠BOE的2倍.
(1)求∠AOC的度数.
(2)试说明OE平分∠COB.
【素养拓展】
11.如图,直线MD,CN相交于点O,OA是∠MOC内的一条射线,OB是∠NOD内的一条射线,∠MON=70°.
(1)若∠BOD=∠COD,求∠BON的度数.
(2)若∠AOD=2∠BOD,∠BOC=3∠AOC,求∠BON的度数.
参考答案
基础达标作业
1.B 2.B 3.C 4.45°
5.解:(1)因为∠AOC=60°,所以∠BOD=∠AOC=60°,又因为∠1∶∠2=1∶2,∠1+∠2=∠BOD,所以∠2=40°.
(2)因为∠2=40°,∠2与∠MOE互余,所以∠MOE=90°-∠2=50°,所以∠MOB=∠MOE-∠1=50°-20°=30°.
6.解:设∠1=x,则∠2=2∠1=2x,∠3=3∠2=6x.
因为∠1+∠2+∠3=180°,所以x+2x+6x=180°,即x=20°,
所以∠DOE=∠3=120°.
能力巩固作业
7.C 8.104°
9.解:因为∠AOC=∠BOD,OF平分∠AOC,所以∠AOF=∠AOC=∠BOD.
因为∠AOF+∠BOD=60°,所以∠AOF=20°,∠BOD=40°.
因为∠AOE=90°,所以∠BOE=180°-∠AOE=90°,
所以∠DOE=90°+40°=130°.
10.解:(1)设∠AOC的度数为x,则∠BOE=x+15°,∠AOD=2(x+15°).因为直线AB,CD相交于O,所以x+2(x+15°)=180°,所以x=50°,即∠AOC=50°.
(2)由(1)得∠AOC=50°,∠BOE=65°,所以∠COE=180°-50°-65°=65°,所以∠COE=∠BOE,即OE平分∠COB.
素养拓展作业
11.(1)因为∠MON=70°,所以∠COD=∠MON=70°,
所以∠BOD=∠COD=×70°=35°,
所以∠BON=180°-∠MON-∠BOD=180°-70°-35°=75°.
(2)设∠AOC=x,则∠BOC=3x.
因为∠COD=∠MON=70°,
所以∠BOD=∠BOC-∠COD=3x-70°,
所以∠AOD=∠AOC+∠COD=x+70°.
因为∠AOD=2∠BOD,
所以x+70°=2(3x-70°),
解得x=42°,
所以∠BON=180°-∠BOC=180°-42°×3=54°10.1 第2课时 垂线
【基础达标】
1.OA是一条射线,P为射线外一点,过点P向OA所在直线作垂线,垂足在 ( )
A.射线OA上
B.射线的端点O上
C.射线的反向延长线上
D.以上都有可能
2.两条直线相交,所构成的四个角中:①有三个角都相等;②有一对对顶角相等;③有一个角是直角;④有一对邻补角相等.能判定这两条直线垂直的有 .
3.如图,O是直线AB上的一点,OC⊥OD,∠AOC∶∠BOD=5∶1,那么∠AOC的度数是 .
4.如图,直线AB,CD相交于点O,射线OM平分∠AOC,ON⊥OM,∠BOD=35°,求∠CON的度数.
【能力巩固】
5.直线AB,CD交于点O,∠AOC=30°,OE⊥AB,OF平分∠DOE,求∠COF的度数.
【素养拓展】
6.如图,O是直线AB上的一点,射线OC,OD在直线AB的异侧,已知OC⊥OD,OE平分∠AOC.
(1)若∠BOD=40°,求∠AOE的度数.
(2)∠AOE与∠BOD能否成为对顶角 如果能,求出∠BOD的度数;如果不能,请说明理由.
参考答案
基础达标作业
1.D
2.①③④
3.75°
4.解:因为∠BOD=35°(已知),所以∠AOC=∠BOD=35°(对顶角相等).因为OM平分∠AOC(已知),所以∠COM=∠AOC=×35°=17.5°(角平分线的定义).因为ON⊥OM(已知),所以∠MON=90°(垂直的定义),所以∠CON=∠MON-∠COM=90°-17.5°=72.5°.
能力巩固作业
5.解:(1)如图1,当射线OE,OC在直线AB的同一侧时:
因为OE⊥AB,所以∠BOE=90°.
因为∠AOC=30°,所以∠BOD=30°,
所以∠DOE=∠BOD+∠BOE=120°.
因为OF平分∠DOE,所以∠DOF=60°,
所以∠COF=180°-∠DOF=120°.
(2)如图2,当射线OE,OD在直线AB的同一侧时:
因为OE⊥AB,所以∠BOE=90°.
因为∠AOC=30°,所以∠BOD=30°,
所以∠DOE=∠BOE-∠BOD=60°.
因为OF平分∠DOE,所以∠DOF=30°,
所以∠COF=180°-∠DOF=150°.
综上所述,∠COF的度数是120°或150°.
素养拓展作业
6.解:(1)因为OC⊥OD,所以∠BOC+∠BOD=90°,
所以∠BOC=90°-∠BOD=50°,
所以∠AOC=180°-∠BOC=130°.
因为OE平分∠AOC,所以∠AOE=∠AOC=65°.
(2)∠AOE与∠BOD不能成为对顶角.
理由:当∠AOE=∠BOD时,∠BOD+∠BOC+∠COE=180°.
因为OE平分∠AOC,所以∠AOE=∠COE,所以∠BOD=∠COE.
因为OC⊥OD,所以∠BOC+∠BOD=90°,所以∠BOC+∠COE=90°,
所以∠BOC+∠BOD+∠BOC+∠COE=180°,
与∠BOD+∠BOC+∠COE=180°相矛盾,
所以∠AOE与∠BOD不能成为对顶角.