江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高一（下）数学第3周阶段性训练模拟练习（含答案）

江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高一（下）数学第3周阶段性训练模拟练习
一．选择题（共11小题）
1．在△ABC中，若acosB+bcosA＝a，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
2．已知，，则sinα的值为（　　）
A． B． C． D．
3．要得到函数的图象，只需把函数g（x）＝sin2x的图象（　　）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
4．已知△ABC中内角A、B、C的对边分别是a、b、c，c＝6，a＝4，B＝120°，则b＝（　　）
A．76 B． C．27 D．
5．函数f（x）＝2sinxcosx+2cos2x的最大值为（　　）
A．4 B．3 C． D．
6．已知cos（θ+20°）＝cos（θ+40°）+cos（θ﹣40°），则tanθ＝（　　）
A． B． C． D．
7．若△ABC的角A，B，C所对边a，b，c，且满足，则tanA的最大值为（　　）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，b＝2，，则c＝（　　）
A． B． C． D．
9．在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，∠ABC＝45°，则sin∠ADC的值为（　　）
A． B． C． D．
10．化简﹣2cos20°所得的结果是（　　）
A． B． C． D．2
11．在△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若2S＝3（bsinC+csinB），则下列命题中错误的是（　　）
A．若，且b＝7，则B有两解
B．若C＝2A，且△ABC为锐角三角形，则c的取值范围为
C．若A＝2C，且sinB＝2sinC，则△ABC的外接圆半径为
D．若b＝2c，则S的最大值为
二．多选题（共5小题）
（多选）12．下列四个式子中，计算正确的是（　　）
A．
B．sin（π+2）＝sin2
C．
D．
（多选）13．已知函数，则（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）在上单调递增
C．f（x）的图象关于直线对称
D．f（x）在区间（0，2π）上有3个零点
（多选）14．在扇形OAB中，OA＝2，∠AOB＝90°，点C在弧AB上运动且不与点A，B重合，OD⊥BC于点D，OE⊥AC与点E，则（　　）
A．DE的长为定值
B．∠DOE的大小为定值
C．△ODE面积的最大值为
D．四边形ODCE的面积的最大值为
（多选）15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列命题中正确的是（　　）
A．若A＞B，则sinA＞sinB
B．若△ABC为锐角三角形，则sinA＞cosB
C．若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰直角三角形
D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是等边三角形
（多选）16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G，H，O分别是△ABC的重心，垂心，外心．若tanA：tanB：tanC＝2：3：5，则以下说法正确的是（　　）
A．a2：b2：c2＝16：21：25
B．HA2：HB2：HC2＝12：7：3
C．S△OBC：S△OAC：S△OAB＝8：7：5
D．GA2：GB2：GB2＝15：12：10
三．填空题（共4小题）
17．在△ABC中，a＝2，，，则最大角和最小角之和为 　 　．
18．计算：＝　 　．
19．已知，，则＝　 　．
20．设x，y为实数，已知，，则sin（x﹣y）的值为 　 　．
四．解答题（共5小题）
21．已知π＜α＜π，sinα＝﹣，求下列各式的值：
（1）；
（2）tan（α﹣π）．
22．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求C；
（2）若b＝4，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．
23．在△ABC中，角A，B，C所对的边a，b，c，满足b2＝ac且2B＝A+C．
（1）若b＝2，求△ABC的面积；
（2）求的值．
24．在以下三个条件中任选一个补充到下面的横线上，并给出解答．（注：如果选择多个条件份分别进行解答，则按第一个解答计分）
①2a﹣b＝2ccosB；②；③向量，，．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_____．
（1）求C；
（2）若，求△ABC周长的最大值．
25．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，△ABC的面积为．
（1）求B；
（2）若点P在△ABC内部，满足，求PB2﹣PA PC的值；
（3）若△ABC所在平面内的点Q满足，求（QA+QC﹣QB） QB的值．
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A D A B C D B D C B D
一．选择题（共11小题）
1．【解答】解：由acosB+bcosA＝a，结合正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA＝sinA，
∴sin（B+A）＝sinA，可得：sinC＝sinA，
∴a＝c，则△ABC的形状为等腰三角形．
故选：A．
2．【解答】解：因为，，
所以cos（）＝﹣，
则sinα＝sin（）＝sin（）﹣cos（）
＝＝．
故选：D．
3．【解答】解：f（x）＝sin（2x+）＝sin2（x+），
要得到f（x）的图象，只需要把函数g（x）＝sin2x的图象向左平移个单位即可．
故选：A．
4．【解答】解：根据题意，△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，
则b2＝a2+c2﹣2accosB＝36+16+24＝76，
则b＝2，
故选：B．
5．【解答】解：∵函数f（x）＝2sinxcosx+2cos2x＝sin2x+cos2x+1＝sin（2x+）+1的最大值为+1，
故选：C．
6．【解答】解：因为cos（θ+20°）＝cos（θ+40°）+cos（θ﹣40°）＝2cosθcos40°，
所以cosθcos20°﹣sinθsin20°＝2cosθcos40°，
则cos20°﹣sin20°×tanθ＝2cos40°，
则tanθ＝＝
＝
＝＝
＝
＝﹣2cos30°＝﹣．
故选：D．
7．【解答】解：A+B+C＝π，
，
则a﹣2b+，即a﹣2b+，即a+2bcosC＝0，即sinA+2sinBsinC＝0，
故sin（B+C）+2sinBcosC＝3sinBcosC+cosBsinC＝0，
所以3sinBcosC＝﹣cosBsinC，
B，C均为三角形内角，
则sinB＞0，sinC＞0，
故cosB，cosC不能同时为0，
所以tanC＝﹣3tanB，
不妨设tanB＞0，
tanA＝﹣tan（B+C）＝＝＝＝，
当且仅当tanB＝，tanC＝﹣，即B＝，C＝时，等号成立，
故tanA的最大值为．
故选：B．
8．【解答】解：a＝5，b＝2，，
则c2＝a2+b2﹣2ab cosC＝，解得c＝．
故选：D．
9．【解答】解：因为△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，∠ABC＝45°，
由正弦定理得，，
所以sin∠BAD＝，
因为AD＞BD，
所以∠BAD＜45°，
所以cos∠BAD＝，
则sin∠ADC＝sin（∠BAD+45°）＝＝．
故选：C．
10．【解答】解：﹣2cos20°＝﹣2cos20°＝﹣2cos20°＝＝＝＝＝＝．
故选：B．
11．【解答】解：若2S＝3（bsinC+csinB）＝6R（sinBsinC+sinCsinB）＝12RsinBsinC，
由，
可知4R2sinAsinBsinC＝12RsinBsinC，即RsinA＝3，从而a＝2RsinA＝6．
若a＝6，则2S＝absinC＝a 2RsinB sinC＝sinBsinC＝（sinBsinC+sinCsinB）＝（bsinC+csinB）＝3（bsinC+csinB），
从而条件等价于a＝6．
对于A，若，且b＝7，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，
即，解得或，
由于当三角形的三边确定后，三角形唯一确定，故△ABC只有两种可能．
经验证，△ABC的以下两种情况都是可能的：
①a＝6，b＝7，，cosA＝，cosB＝，；
②a＝6，b＝7，，，，
故B有两种可能，选项A正确；
对于B，若C＝2A，且△ABC为锐角三角形，由于，
而△ABC为锐角三角形即，，解得，
从而A的范围是，故c＝12cosA的范围是，选项B正确；
对于C，若A＝2C，且sinB＝2sinC，则b＝2c，且，
故a2b＝a2c+b2c﹣c3，从而a2（b﹣c）＝c（b+c）（b﹣c）．
而b＝2c≠c，故a2＝c（b+c）＝c（2c+c）＝3c2，从而，，
这意味着a＝6，，，所以a2+c2＝12+36＝48＝b2，
从而，故，选项C正确；
对于D，若b＝2c，由于，，
故存在使得a＝6，，的△ABC，此时a＝6，b＝2c，满足条件．
在此情况下，有，故，
从而，
从而此时，这表明S不可能以为最大值，选项D错误．
故选：D．
二．多选题（共5小题）
12．【解答】解：cos13°cos17°﹣sin13°sin17°＝cos（13°+17°）＝cos30°＝，A正确；
sin（π+2）＝﹣sin2，B错误；
sin＝sin＝，C正确；
cos222.5°﹣cos267.5°＝cos222.5°﹣sin222.5°＝cos45°＝，D正确．
故选：ACD．
13．【解答】解：，
对于A，f（x）的最小正周期为，正确；
对于B，当时，，
由正弦函数的性质可知，此时f（x）单调递增，正确；
对于C，，
则f（x）的图象不关于直线对称，错误；
对于D，令f（x）＝0，可得，
则或，
解得x＝kπ，k∈Z或，
当x∈（0，2π）时，或x＝π或，此时f（x）有三个零点，正确．
故选：ABD．
14．【解答】解：根据题意，可得∠ACB＝（2π﹣∠AOB）＝，
连接OC，设∠OCA＝θ，则∠OCB＝﹣θ，θ∈（，）．
则CD＝OCcos∠OCD＝2cos（﹣θ），CE＝OCcos∠OCE＝2cosθ，
对于A，△CDE中，DE2＝CD2+CE2﹣2CD CEcos＝4cos2（﹣θ）+4cos2θ+4cosθcos（﹣θ）
＝2[1+cos（﹣2θ）]+4cos2θ+4cosθ（cosθ+sinθ）
＝2﹣2sin2θ+4cos2θ﹣4cos2θ+4sinθcosθ＝2，可得DE＝为定值，故A项正确；
对于B，四边形ODCE中，∠DOE＝2π﹣∠ODC﹣∠OEC﹣∠DCE＝2π﹣﹣﹣＝，故B项正确；
对于C，OD＝OCsin∠OCD＝2sin（﹣θ），OE＝OCsin∠OCE＝2sinθ，
所以△ODE面积S△ODE＝OD OEsin＝sinθsin（﹣θ）＝sinθcosθ+sin2θ
＝sin2θ+（1﹣cos2θ）＝+sin（2θ﹣），
而θ∈（，），即2θ﹣∈（，），所以θ＝时，△ODE面积的最大值为+，
结合tan＝＝+1，可得△ODE面积的最大值为tan，故C项正确；
对于D，由前面的分析得S△OCD＝OD CD＝2sin（﹣θ）cos（﹣θ）＝sin（﹣2θ）＝﹣cos2θ，
S△OCE＝OE CE＝2sinθcosθ＝sin2θ，可得S四边形ODCE＝S△OCD+S△OCE＝sin2θ﹣cos2θ＝sin（2θ﹣），
当2θ﹣＝时，即θ＝时，sin（2θ﹣）的最大值为1，所以S四边形ODCE的最大值为，故D项不正确．
故选：ABC．
15．【解答】解：对于A，△ABC中，若A＞B，则a＞b，
即2RsinA＞2RsinB（R为△ABC外接圆的半径），可得sinA＞sinB，故A项正确；
对于B，若△ABC是锐角三角形，则A+B＝π﹣C＞，可得0＜﹣A＜B，
由于y＝cosx在（0，）上是减函数，所以cos（﹣A）＞cosB，即sinA＞cosB，故B项正确；
对于C，若acosA＝bcosB，则sinAcosA＝sinBcosB，可得sin2A＝sin2B，
而A、B是三角形的内角，故2A＝2B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B＝，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C项不正确；
对于D，由B＝60°，b2＝ac，根据余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accos60°＝ac，
整理得（a﹣c）2＝0，所以a﹣c＝0，a＝c，结合B＝60°可知△ABC是等边三角形，故D项正确．
故选：ABD．
16．【解答】解：设tanA＝2x，tanB＝3x，tanC＝5x，
由，解得，
即，
可求得，
所以，故A正确；
不妨取，
由外心性质可知，C中面积比等价于，故C正确；
设外心O到边BC的距离为hA，
由三角形中的欧拉线定理知三角形的外心、垂心和重心在一条直线上，
而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半（根据重心为中线的三等分点可证），
又O在BC边的垂直平分线上，进而可得HA＝2hA，
所以，所以，所以，
结合C选项，可得HA2：HB2：HC2＝12：7：3，故B正确；
设BC边上的中线长为a′，设AC边上的中线长为b′，设AB边上的中线长为c′，
由重心的性质可得GA2：GB2：GC2＝a′2：b′2：c′2，
设三角形ABC中，D为BC边上的中点，A，B，C所对边为a，b，c，
延长BC边上的中线至M，使DM＝AD，连接MC，MB，可得四边形ABMC是平行四边形，
由平行四边形的性质可得AM2+BC2＝2（AB2+AC2），所以可得BC边上的中线长为，
结合中线长公式可得，
所以GA2：GB2：GC2＝76：61：49，故D错误．
故选：ABC．
三．填空题（共4小题）
17．【解答】解：a＝2，，，
则c＞a＞b，
故C角最大，B角最小，
cos（B+C）＝cos（π﹣A）＝﹣cosA＝＝，
A为三角形的内角，
故A＝，
所以B+C＝．
故答案为：．
18．【解答】解：＝cos40°（1+）
＝cos40°×＝cos40°×
＝＝
＝＝1．
故答案为：1．
19．【解答】解：∵，
∴，又sin（2θ﹣＝﹣＜0，
∴，＝，
∴，解得，
∴，
∵，
∴，0），
∴，＝，
∴＝．
故答案为：．
20．【解答】解：设x，y为实数，已知，，
则（sinx+cosy）2+（cosx+siny）2＝，
即，
又（sinx+cosy）2﹣（cosx+siny）2＝，
又因为sin2x﹣sin2y＝sin（x﹣y）sin（x+y），
即，
所以．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
21．【解答】解：（1）∵π＜α＜π，sinα＝﹣，
∴cosα＝﹣＝﹣，
则原式＝＝＝﹣8；
（2）∵sinα＝﹣，cosα＝﹣，
∴tanα＝，
则原式＝tan（﹣π+α﹣）＝tan（α﹣）＝＝＝．
22．【解答】解：（1）由，得，
在△ABC中，sinC≠0，∴，
在△ABC中，C∈（0，π），∴．
（2），
∴，
由余弦定理得，
∴c＝2，∴，
∴△ABC的周长为．
23．【解答】解：（1）因为2B＝A+C，在三角形中可得2B+B＝π，可得B＝，
因为b＝2，b2＝ac，所以ac＝4，
所以S△ABC＝acsinB＝×4×＝；
（2）因为＝+＝＝＝＝＝，
由正弦定理可得＝＝＝，
可得sinAsinC＝ ＝，而b2＝ac，
∴sinAsinC＝，
所以＝＝．
24．【解答】解：（1）若选①，2a﹣b＝2ccosB，由正弦定理可得2sinA﹣sinB＝2sinCcosB，
在三角形中，sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，
所以2sinBcosC﹣sinB＝0，
又因为sinB＞0，可得cosC＝，而C∈（0，π），
所以C＝；
若选②，因为sin（C+）＝cosC+，
即sinCcos+cosCsin＝cosC+，
整理可得sinC﹣cosC＝1，即sin（C﹣）＝，
在三角形中，可得C﹣＝，解得C＝；
若选③，因为（a+c，b﹣a），＝（a﹣c，b），⊥，
则 ＝0，即（a+c） （a﹣c）+b（b﹣a）＝0，即a2+b2﹣c2＝ab，
由余弦定理的a2+b2﹣c2＝2abcosC，所以cosC＝，而C∈（0，π），
所以C＝；
（2）由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2abcosC＝（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣3 （）2，
当且仅当a＝b时取等号，
所以a+b≤2c＝2，
所以三角形周长的最大值为3．
25．【解答】解：（1）cos（A﹣C）﹣cosB＝cos（A﹣C）+cos（A+C）＝2cosAcosC，
＝，因为cosAcosC≠0，
所以，又因为B∈（0，π），
所以或，
（2）因为点P在△ABC内部，所以，所以，
设PA＝x，PB＝y，PC＝z，由余弦定理知，x2+y2+xy＝c2；x2+z2+xz＝b2；y2+z2+yz＝a2，
2（y2﹣xz）+（xy+yz+xz）＝a2+c2﹣b2＝2accosB，
又因为，
所以，2accosB＝12，且＝S△PAB+S△PBC+S△PAC＝S△ABC＝，
所以y2﹣xz＝4，
综上所述，PB2﹣PA PC＝4．
（3）①当时，
Q与B在BC直线异侧，设QA＝u，QB＝v，QC＝w，
因为S△QAB+S△QBC＝S△ABC+S△QAC，
所以＝4+uw（*），
由余弦定理u2+v2﹣uv＝c2；u2+w2+uw＝b2；v2+w2﹣vw＝a2，
2v2﹣uv﹣uw﹣vw＝a2+c2﹣b2＝2accosB＝12，
（*）式知2v2﹣uv﹣uw﹣vw＝2v2﹣2（u+w）v+4＝12，
（QA+QC﹣QB） QB＝（u+w）v﹣v2＝﹣4．
②当时，
Q与B在BC直线异侧，同①，（u+w）v＝4+uw，
此时2v2﹣uv﹣uw﹣vw＝2v2﹣2（u+w）v+4＝2accosB＝﹣12，
（QA+QC﹣QB） QB＝（u+w）2﹣v2＝8，
③，Q与B在BC直线同侧，
，（u+w）v+4＝uw，
由余弦定理u2+v2﹣uv＝c2u2+w2+uw＝b2；v2+w2﹣vu＝a2，
2v2﹣uv﹣uw﹣vw＝2v2﹣2（u+w）v﹣4＝﹣12，
（QA+QC﹣QB） QB＝（u+w）v﹣v2＝4，
综上所述，满足条件的点Q有3个，（QA+QC﹣QB） QB的值分别为﹣4，8和4．