数学：2.2.1《双曲线的定义和标准方程》教案（湘教版选修1-1）

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双曲线的定义和标准方程
教学背景分析
本小节是双曲线的定义和标准方程，通过对椭圆的定义的类比联想，很容易想到研究到两个定点的距离之差为定值的点的轨迹问题.要充分注意双曲线定义中“”，“绝对值”的词汇的定性描述，正确理解概念，注重思维的严密性.双曲线定义的理解以及标准方程的形式，三个量的关系都可以与椭圆进行类比学习，从而理解两种曲线的联系与区别.
双曲线的标准方程的推导可以在椭圆的标准方程的推导经验中类比完成.突破难点的关键是初步研究双曲线的对称性，建立恰当的直角坐标系，注重方程化简过程中的合理变形.对于“以方程的解为坐标的点都在双曲线上”的证明，有条件的还是需要的，使方程的推导更完备.
教学过程设计
一、复习回顾
思考并回答下列问题
1、椭圆的定义是什么？
2、椭圆定义中有哪些注意点？
3、椭圆的标准方程是怎样的？
二、讲授新课
1、概念引入
问题引入：如果把椭圆定义中的和改成差: 或,即: ，其中动点的轨迹会发生什么变化呢？
①若，则轨迹是线段的延长线；若，则轨迹是线段的延长线；
②若，则无轨迹；
③在条件下轨迹是存在的，我们把这时得到的轨迹叫做双曲线.
[说明]通过对椭圆定义的类比，启发学生思考并发现与的大小关系与动点的轨迹的变化规律.此时可设计探究实验：学生用笔、细绳等工具试验画出满足条件的轨迹图形（可以让学生在上课前做一些实验的设计准备），教师利用多媒体演示（并加以说明）.通过学生的动手操作，增加学生的感性认识，提高学生学习的参与度.
2、概念形成
双曲线定义
定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做焦距.
双曲线定义中的注意点
在概念的理解中要注意：
（1）是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于 .
（2）当时，动点的轨迹是与对应的双曲线的一支， 时为双曲线的另一支.
3、双曲线的标准方程的推导
可以仿照求椭圆的标准方程的做法，求双曲线的标准方程．
如图8-12建系，设，取过点的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，则，设是所求轨迹上的点.
依已知条件有，，，，
移项得：，
平方得： （*）
再平方得：，
即，令
则，即
反之：设是上的点，则，
=，，
∴当时， ，，有；
当时，，，有
综上：焦点在轴上双曲线的标准方程是①，其中，焦点.
同样如果双曲线的焦点在y轴上(图8－13)，那么，此时的双曲线的标准方程又是怎样的呢？
焦点是F1(0，－c)、F2(0，c)时，a、b的意义同上，那么只要将方程①的x、y互换，就可以得到焦点在轴上双曲线的标准方程是，其中，焦点.
思考：将方程推导过程中的方程（*）做变形可得，即，且，那么其中又蕴涵着怎样的几何意义呢？
思考其几何意义可知，双曲线上的点满足到定点的距离与到定直线的距离之比是一个大于1的常数，这是双曲线的一个几何性质.反之，如果一个点满足，且，即点P到定点的距离与到定直线的距离之比是一个大于1的常数，则点P的轨迹是双曲线吗？这个问题留给课后思考.
教学反思
1、用类比联想的方法从椭圆的定义中提出新的问题，到两个定点的距离之差为正常数的点的轨迹是什么？再通过探究解答问题，并提出双曲线的定义，这样可以使学生正确理解双曲线的概念，并能在学习中主动加强知识间的联系.特别注意双曲线定义中“”，“绝对值”的词汇的定性描述，当没有绝对值时，通常表示为双曲线的一支.在问题的探究过程中，可以设计学生的动手实验，增加学生的感性认识，培养学习的兴趣和主动参与的精神.
2、由于前一节学生接触了椭圆的标准方程的推导，对建、设、列、化、证等步骤有所熟悉，则双曲线的标准方程的推导过程可以在教师的引导下由学生尝试完成.特别是证明“以方程的解为坐标的点都在双曲线上”的过程可以由师生共同完成，以培养思维、论证的严密性.
3、本解课可以安排两节课时，第一节主要是理解双曲线的定义和正确推导双曲线的标准方程.可以完成例1、例3，课后作业完成1.第二节课主要是学习根据已知条件确定双曲线的标准方程，以及利用双曲线的方程解决简单几何问题.完成例2、例4和巩固练习.课后作业完成2.
4、运用对比教学的方法，使学生区分椭圆与双曲线的概念、标准方程、图形、三个量的异同.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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