5.9 弧长及扇形的面积（学案，含答案）
文档属性
| 名称 | 5.9 弧长及扇形的面积（学案，含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 416.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-02 15:21:49 | ||
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文档简介
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第五章 圆
9 弧长及扇形的面积
列清单·划重点
知识点1 弧长
在半径为 R 的圆中，n°的弧的弧长计算公式为 .
注意
(1)在弧长公式中，n表示“1°”的圆心角的倍数，在应用公式计算时，“180”不应再写单位.
(2)题中若没有标明精确度，可以用含π的式子表示弧长，如弧长是π，5.1π等.
(3)在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量.
知识点2 扇形
1.扇形定义：由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做 (如图所示).
2.扇形的周长：扇形的周长等于弧长加上两半径的长,即.
知识点3 扇形的面积
如果扇形的半径为 R，圆心角为n°，那么扇形面积的计算公式为 .
因扇形的弧长 扇形 面 积 可以写成 所以又得到扇形面积的另一个计算公式：
注意
(1)公式 中的“n”与弧长公式中“n”的意义一样，表示“1°”的圆心角的倍数，参与计算时不带单位.
(2)扇形的面积公式 与三角形的面积公式 十分相似.为了便于记忆，可以把扇形看作曲边三角形，把弧长l看作底边，半径 R 看作底边上的高.
(3)在求扇形的面积时，当已知半径R和圆心角的度数求扇形的面积时，应选用公.式当已知半径R 和弧长求扇形的面积时，应选用公式
知识点4 不规则图形的面积
求不规则图形的面积时，可通过割或补的方法把不规则图形转化为几个规则图形进行面积计算.
明考点·识方法
考点1 弧长公式的应用
典例1 如图,在 扇 形 AOB 中,∠AOB=80°,半径OA=3,C 是上一点，连接OC,D 是OC 上一点,且OD=DC,连接 BD.若 BD⊥OC,则.的长为
( )
A. B. C. D.π
思路导析 本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接BC，根据OD=DC,BD⊥OC,易证△OBC是等腰三角形，再根据OB=OC，推出△OBC是等边三角形，得到∠BOC=60°,即可求出∠AOC=20°,再根据弧长公式计算即可.
规律总结
整个圆周()可看作是 360°的弧的弧长，可得1°的弧的弧长为所以n°的弧的弧长为 即 故求弧长常转化为求圆心角和半径.
变式 如图,在扇形AOB中,OA=6,∠AOB=120°,则的长为
考点2 扇形面积公式的应用
典例 2 如图,点 A,B,C 在⊙O 上,∠ABC=40°,连接OA,OC.若⊙O的半径为3，则扇形AOC(阴影部分)的面积为( )
A. π B.π C. π D.2π
思路导析 先利用圆周角定理求出∠AOC 的度数，然后利用扇形面积公式求解即可.
变式 如图所示，两个同心圆被两条半径截得的.的长为5πcm,的长为 7πcm,AC=4 cm.则阴影部分的面积为 cm .
考点3 求弓形的面积
典例3 工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示，排污管道的横截面是直径为 2 米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面(图中阴影部分)宽AB为1 米，请计算出淤泥横截面的面积( )
思路导析 本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积等；过点O作OD⊥AB 于点D，根据圆的直径为2米可得OA=OB=AB=1m,得到△AOB 为等边三角形,即得 由垂径定理得 m，由勾股定理得 再根据淤泥横截面的面积 即可求解.
注意
弓形面积可转化为扇形面积与三角形面积的差或和.
变式 如图所示是一个水平放置的圆柱形水管的横截面.已知水面高水面宽 求水管截面有水部分的面积.
考点4 求阴影部分的面积
典例4 如图，将扇形 OAB 沿OB方向平移，使点O平移到OB的中点O处，得到扇形O'A'B'.若∠AOB=90°, ，则阴影部分的面积为 ( )
思路导析 设与交于点T，连接OT，则 由 OT=OB,可得 则 可得 ∠AOT=∠AOB-∠TOO'=30°,由平移的性质，得 得 计算求解即可.
规律总结
将不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解决这类题目的关键.其中求阴影部分的面积常用的方法有图形变换法，加减法，方程法，割补法，等积变换法等.
变式 如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,∠A=60°,将 Rt△ABC绕点C 顺时针旋转 90°后得到 Rt△DEC,点 B 经过的路径为 将线段 AB 绕点 A 顺时针旋转60°后,点 B 恰好落在CE 上的点 F 处，点B 经过的路径为 ，则图中阴影部分的面积是 ( )
当堂测·夯基础
1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧点O是这段弧所在圆的圆心,连接 OA,OB,AB,点 C是AB 的中点，连接OC 并延长交 于点D.若AB=2,CD=2- 则弧 的长是 ( )
A. π B.π
第1题图 第2题图
2.如图，传送带的一个转动轮的半径为 10 cm，转动轮转n°,传送带上的物品 A 被传送 6π cm,则n为 ( )
A.90 B.108 C.120 D.无法判断
3.如图，扇形的圆心角为120°,点 C 在 圆 弧 上,∠ABC=30°,OA=2,阴影部分的面积为( )
4.如图，在正方形ABCD中有一点 P,连接 AP,BP,旋转△APB 到△CEB 的位置.
(1)若正方形的边长是8，PB=4.求阴影部分面积；
(2)若 PB=4,PA=7,∠APB=135°,求PC的长.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1
知识点2 1.扇形
知识点3
【明考点·识方法】
典例1 B 解析:连接BC,
∵OD=DC,BD⊥OC,∴OB=BC,∴△OBC是等腰三角形，
∵OB=OC,∴OB=OC=BC,
∵△OBC是等边三角形，
∵∠AOB=80°,∴ ∠AOC = ∠AOB -∠BOC=20°,
∵OA=3,
变式 4π
典例2 D
变式 24π
典例3 A 解析：∵圆的直径为2米，∴OA=OB=1m,
∴OA=OB=AB,∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°,
过点O作OD⊥AB 于点 D,则
∴在 Rt△AOD 中,
∴淤泥横截面的面积=S扇形AOB-S△AOB =
变式 解：如图所示，在CD上取圆心O，连接OA,OB.
由题意,得CD=OC+OD.
∵AO =OC +AC ,OA=OD,AC=AB ,
解得OD=2.
OA=OD=2cm.
∴∠AOC=45°,∴∠AOB=90°,
∴S弓形=S扇形AOB - S△AOB
答：水管截面有水部分的面积为.
典例4 B
变式 D
【当堂测·夯基础】
1. D 2. B 3. B
4.解:(1)∵把△APB 旋转到△CEB 的位置，
∴△APB≌△CEB,∴BP=BE,∠ABP=∠EBC,
以 B为圆心，BP 为半径画弧交AB 于 F点，如图，
∴扇形 BFP 的面积=扇形 BEQ的面积,
∴图形 ECQ的面积=图形AFP 的面积,
(2)连接PE,∵△APB≌△CEB,
∴ BP = BE = 4,∠ABP = ∠EBC,PA=EC=7,∠BEC=∠APB=135°,
∴△PBE为等腰直角三角形，
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第五章 圆
9 弧长及扇形的面积
列清单·划重点
知识点1 弧长
在半径为 R 的圆中，n°的弧的弧长计算公式为 .
注意
(1)在弧长公式中，n表示“1°”的圆心角的倍数，在应用公式计算时，“180”不应再写单位.
(2)题中若没有标明精确度，可以用含π的式子表示弧长，如弧长是π，5.1π等.
(3)在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量.
知识点2 扇形
1.扇形定义：由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做 (如图所示).
2.扇形的周长：扇形的周长等于弧长加上两半径的长,即.
知识点3 扇形的面积
如果扇形的半径为 R，圆心角为n°，那么扇形面积的计算公式为 .
因扇形的弧长 扇形 面 积 可以写成 所以又得到扇形面积的另一个计算公式：
注意
(1)公式 中的“n”与弧长公式中“n”的意义一样，表示“1°”的圆心角的倍数，参与计算时不带单位.
(2)扇形的面积公式 与三角形的面积公式 十分相似.为了便于记忆，可以把扇形看作曲边三角形，把弧长l看作底边，半径 R 看作底边上的高.
(3)在求扇形的面积时，当已知半径R和圆心角的度数求扇形的面积时，应选用公.式当已知半径R 和弧长求扇形的面积时，应选用公式
知识点4 不规则图形的面积
求不规则图形的面积时，可通过割或补的方法把不规则图形转化为几个规则图形进行面积计算.
明考点·识方法
考点1 弧长公式的应用
典例1 如图,在 扇 形 AOB 中,∠AOB=80°,半径OA=3,C 是上一点，连接OC,D 是OC 上一点,且OD=DC,连接 BD.若 BD⊥OC,则.的长为
( )
A. B. C. D.π
思路导析 本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接BC，根据OD=DC,BD⊥OC,易证△OBC是等腰三角形，再根据OB=OC，推出△OBC是等边三角形，得到∠BOC=60°,即可求出∠AOC=20°,再根据弧长公式计算即可.
规律总结
整个圆周()可看作是 360°的弧的弧长，可得1°的弧的弧长为所以n°的弧的弧长为 即 故求弧长常转化为求圆心角和半径.
变式 如图,在扇形AOB中,OA=6,∠AOB=120°,则的长为
考点2 扇形面积公式的应用
典例 2 如图,点 A,B,C 在⊙O 上,∠ABC=40°,连接OA,OC.若⊙O的半径为3，则扇形AOC(阴影部分)的面积为( )
A. π B.π C. π D.2π
思路导析 先利用圆周角定理求出∠AOC 的度数，然后利用扇形面积公式求解即可.
变式 如图所示，两个同心圆被两条半径截得的.的长为5πcm,的长为 7πcm,AC=4 cm.则阴影部分的面积为 cm .
考点3 求弓形的面积
典例3 工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示，排污管道的横截面是直径为 2 米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面(图中阴影部分)宽AB为1 米，请计算出淤泥横截面的面积( )
思路导析 本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积等；过点O作OD⊥AB 于点D，根据圆的直径为2米可得OA=OB=AB=1m,得到△AOB 为等边三角形,即得 由垂径定理得 m，由勾股定理得 再根据淤泥横截面的面积 即可求解.
注意
弓形面积可转化为扇形面积与三角形面积的差或和.
变式 如图所示是一个水平放置的圆柱形水管的横截面.已知水面高水面宽 求水管截面有水部分的面积.
考点4 求阴影部分的面积
典例4 如图，将扇形 OAB 沿OB方向平移，使点O平移到OB的中点O处，得到扇形O'A'B'.若∠AOB=90°, ，则阴影部分的面积为 ( )
思路导析 设与交于点T，连接OT，则 由 OT=OB,可得 则 可得 ∠AOT=∠AOB-∠TOO'=30°,由平移的性质，得 得 计算求解即可.
规律总结
将不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解决这类题目的关键.其中求阴影部分的面积常用的方法有图形变换法，加减法，方程法，割补法，等积变换法等.
变式 如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,∠A=60°,将 Rt△ABC绕点C 顺时针旋转 90°后得到 Rt△DEC,点 B 经过的路径为 将线段 AB 绕点 A 顺时针旋转60°后,点 B 恰好落在CE 上的点 F 处，点B 经过的路径为 ，则图中阴影部分的面积是 ( )
当堂测·夯基础
1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧点O是这段弧所在圆的圆心,连接 OA,OB,AB,点 C是AB 的中点，连接OC 并延长交 于点D.若AB=2,CD=2- 则弧 的长是 ( )
A. π B.π
第1题图 第2题图
2.如图，传送带的一个转动轮的半径为 10 cm，转动轮转n°,传送带上的物品 A 被传送 6π cm,则n为 ( )
A.90 B.108 C.120 D.无法判断
3.如图，扇形的圆心角为120°,点 C 在 圆 弧 上,∠ABC=30°,OA=2,阴影部分的面积为( )
4.如图，在正方形ABCD中有一点 P,连接 AP,BP,旋转△APB 到△CEB 的位置.
(1)若正方形的边长是8，PB=4.求阴影部分面积；
(2)若 PB=4,PA=7,∠APB=135°,求PC的长.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1
知识点2 1.扇形
知识点3
【明考点·识方法】
典例1 B 解析:连接BC,
∵OD=DC,BD⊥OC,∴OB=BC,∴△OBC是等腰三角形，
∵OB=OC,∴OB=OC=BC,
∵△OBC是等边三角形，
∵∠AOB=80°,∴ ∠AOC = ∠AOB -∠BOC=20°,
∵OA=3,
变式 4π
典例2 D
变式 24π
典例3 A 解析：∵圆的直径为2米，∴OA=OB=1m,
∴OA=OB=AB,∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°,
过点O作OD⊥AB 于点 D,则
∴在 Rt△AOD 中,
∴淤泥横截面的面积=S扇形AOB-S△AOB =
变式 解：如图所示，在CD上取圆心O，连接OA,OB.
由题意,得CD=OC+OD.
∵AO =OC +AC ,OA=OD,AC=AB ,
解得OD=2.
OA=OD=2cm.
∴∠AOC=45°,∴∠AOB=90°,
∴S弓形=S扇形AOB - S△AOB
答：水管截面有水部分的面积为.
典例4 B
变式 D
【当堂测·夯基础】
1. D 2. B 3. B
4.解:(1)∵把△APB 旋转到△CEB 的位置，
∴△APB≌△CEB,∴BP=BE,∠ABP=∠EBC,
以 B为圆心，BP 为半径画弧交AB 于 F点，如图，
∴扇形 BFP 的面积=扇形 BEQ的面积,
∴图形 ECQ的面积=图形AFP 的面积,
(2)连接PE,∵△APB≌△CEB,
∴ BP = BE = 4,∠ABP = ∠EBC,PA=EC=7,∠BEC=∠APB=135°,
∴△PBE为等腰直角三角形，
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