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专题8 圆中圆周角和圆心角计算问题
导学案
一、学习目标：
1.圆心角、圆周角；
2.垂径定理.
二、学习重、难点：
重难点： 与圆有关的计算
三、学习过程：
（一）复习旧知，引入新课
【提问】1、什么是垂径定理？
2、知识点1 圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
3、知识点2 圆角角的概念
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角= ）
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径。
（二）探究新知
题型1利用垂径定理求值
例题：如图，是的直径，弦于点，，，则 ．
【变式训练】
1．如图，是的直径，弦，垂足为，连接，若，，则弦的长为 ．
练一练：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心（在水面上方）为圆心的圆，且圆被水面截得的弦长为8米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆的半径为（ ）
题型2 圆中的有关计算
【例】（1）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是
（2）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于 （用α表示）
1．如图，是的直径，C是的中点，若等于，则的度数为 ．
练一练．如图，点A，B，C都在上，B是的中点，，则等于 ．
例题：如图，的直径是，，圆的半径是4，则弦的长是（ ）．
A． B． C． D．
【变式】如图，在中，为的直径，已知，，，，则 ．
练习：如图，为的直径，内接于，，交于点E．
(1)求的度数；
(2)若点E为中点，，求的长．
四、课堂小结
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
五、总结反思,拓展升华（优秀的人往往都在默默地努力）中小学教育资源及组卷应用平台
专题8 圆中圆周角和圆心角计算问题
教学设计
一、教学目标：
1.圆心角、圆周角；
2.垂径定理.
二、教学重、难点：
重难点： 与圆有关的计算
三、教学过程：
（一）复习旧知，引入新课
【提问】1、什么是垂径定理？
2、知识点1 圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
3、知识点2 圆角角的概念
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角= ）
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径。
（二）探究新知
题型1利用垂径定理求值
例题：如图，是的直径，弦于点，，，则 ．
【答案】2
【分析】根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设，则，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
即，
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的前提．
【变式训练】
1．如图，是的直径，弦，垂足为，连接，若，，则弦的长为 ．
【答案】
【分析】由题意易得，根据勾股定理可求的长，然后问题可求解．
【详解】解：连接，
∵是的直径，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴,
【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
练一练：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心（在水面上方）为圆心的圆，且圆被水面截得的弦长为8米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆的半径为（ 5米 ）
题型2 圆中的有关计算
【例】（1）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是
（2）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于 （用α表示）
1．如图，是的直径，C是的中点，若等于，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出的度数，进而可得的度数．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
练一练．如图，点A，B，C都在上，B是的中点，，则等于 ．
【答案】/80度
【点睛】本题考查了圆心角、弧的的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．
例题：如图，的直径是，，圆的半径是4，则弦的长是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键．
【变式】如图，在中，为的直径，已知，，，，则 ．
【答案】
练习：如图，为的直径，内接于，，交于点E．
(1)求的度数；
(2)若点E为中点，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形三线合一，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
（1）连接，根据为的直径，得出，再根据圆周角定理得出，最后根据直角三角形两锐角互余，即可求解；
（2）连接，易得，设，则，根据勾股定理可得，列出方程求解，即可求解．
【详解】（1）解：连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，
∵点E为中点，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴，
∴．
四、课堂小结
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
五、总结反思,拓展升华（优秀的人往往都在默默地努力）
六、课堂板书中小学教育资源及组卷应用平台
专题8 圆中圆周角与圆心角计算问题
精准作业
课前诊断
1. 1）如图4，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是
（2）如图5，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为
（3）如图6，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数为
必做题
1. 《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，为的半径，弦，垂足为，寸，尺尺寸，则此圆材的直径长是 寸．
2. 如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点，，且．
(1)求证：．
(2)若，点为的中点，求的半径．
思考题
1. 如图，正方形中，，点沿线段由向运动（到停止运动），点沿线段由向运动（到停止运动），两点同时出发，速度相同，连接，作于点，则在整个运动过程中点的运动轨迹长为 ．
参考答案
课前诊断
1.
必做题
1. 解：如图所示，连接，
∵，，，为的半径，
∴，
设半径为，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴直径为，
故答案为：．
2. （1）证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴．
（2）如图，连接
∵，
∴是的直径，
∴，
∵
∴
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在中，，
∴的半径为
思考题
1. 解：如图，连接交于点O，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
根据题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴点P在以为直径半圆上运动，
∴点沿线段由向运动时，点P的运动路径为的长，
的长为，
即在整个运动过程中点的运动轨迹长为．
故答案为：(共12张PPT)
人教版九年级上册
专题8：圆中圆周角和圆心角
计算问题
学习目标
1.圆心角、圆周角；
2.垂径定理.
知识回顾
1、什么是垂径定理？
2、知识点1 圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
3、知识点2 圆角角的概念
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角= ）
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径。
2
题型1 利用垂径定理求值
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的前提．
5米
题型1 利用垂径定理求值
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，点 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心 （ 在水面上方）为圆心的圆，且圆 被水面截得的弦 长为8米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆的半径为（ ）
题型2 圆中的有关计算
35°
例题（1）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是
（2）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于 （用α表示）
90°-α
70°
题型2 圆中的有关计算
80
题型2 圆中的有关计算
题型2 圆中的有关计算
课堂小结
1. 通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
2. 什么是铅锤法？
见精准作业单
作业布置
谢谢观看
