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第二十六章 反比例函数章末小结（1）基本知识 教学设计
教学过程
知识点复习(PPT)
1．什么是反比例函数？
2．反比例函数的图象是什么样的？反比例函数有什么性质？
3．怎么求反比例函数得解析式？
4．反比例函数解析式中得k得几何意义是什么？
5．怎么求反比函数与一次函数得交点坐标
二、典例讲解
题型一：反比例函数的概念
例1.下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数
例2.若函数y＝(m－1)xm 2 是反比例函数，则m的值为_______.
题型二：反比例函数的图像和性质
例3.已知函数y=(m 2)是反比例函数，且当x＜0时，y随x的增大而减小，则m的值是_____．
例4.在反比例函数（k为常数）的图象上有三个点( 3,y1),( 1,y2),(,y3)，则函数值y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1题型三：k的几何意义
例5.如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是 C1 和 C2，设点 P 在 C1 上，PA ⊥ x 轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为______.
考点四 反比例函数与一次函数综合
例6.如图，已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求△AOB的面积.
考点五 反比例函数的实际应用
例7.病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题：
求当 0 ≤ x ≤2 时，y 与 x 的函数解析式；
求当 x > 2 时，y 与 x 的函数解析式；
若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
三、针对练习
1. 已知点 P(1，－3) 在反比例函数的图象上，则 k 的值是 ( )
A. 3 B. －3 C. D. -
2. 若是反比例函数，则 a 的值为 ( )
A. 1 B. －1 C. ±1 D. 任意实数
3.已知：y=y1+y2，y1与x+1成正比例，y2与x成反比例．当x=1时，y=7；当x=3时，y=4．求y与x的函数解析式．
4.下列关于反比例函数的描述，其中正确的是（ ）
A．当x＞0时，y＜0 B．y随x的增大而减小
C．图像在第二、四象限 D．图像关于直线y＝－x对称
5. 已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3) 都在反比例函数的图象上，x1A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1
6.如图，点A，B是反比例函数(x＞0)图象上的两点，AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D，连结OA，BC.若点C(1,0),BD=2，三角形BCD的面积为3，则三角形AOC的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y= x+m的图象与反比例函数(x>0)的图象交于A、B两点，已知A(1,2)
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)连接AO、BO，求△AOB的面积．
8.如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间 x 成反比例函数关系，已知第 12 分钟时，材料温度是14℃．
(1) 分别求出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函数关系式（写出x的取值范围）；
(2) 根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12℃ 的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟
四、课堂小结
五、作业布置
见《精准作业设计》
六.板书设计
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第二十六章 反比例函数章末小结（1）基本知识 教学设计
教学目标及重难点
1．理解并掌握反比例函数的概念，能判断一个函数是否为反比例函数．（重点）
2．会用待定系数法求反比例函数的解析式．（重点）
3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，
能利用这些性质分析和解决实际问题.(难点)
教学过程
知识点复习(PPT)
1．什么是反比例函数？
2．反比例函数的图象是什么样的？反比例函数有什么性质？
3．怎么求反比例函数得解析式？
4．反比例函数解析式中得k得几何意义是什么？
5．怎么求反比函数与一次函数得交点坐标
二、典例讲解
题型一：反比例函数的概念
例1.下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数
例2.若函数y＝(m－1)xm 2 是反比例函数，则m的值为-1.
题型二：反比例函数的图像和性质
例3.已知函数y=(m 2)是反比例函数，且当x＜0时，y随x的增大而减小，则m的值是 3 ．
例4.在反比例函数（k为常数）的图象上有三个点( 3,y1),( 1,y2),(,y3)，则函数值y1，y2，y3的大小关系为（ D ）
A．y1题型三：k的几何意义
例5.如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是 C1 和 C2，设点 P 在 C1 上，PA ⊥ x 轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为__1____.
考点四 反比例函数与一次函数综合
例6.如图，已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求△AOB的面积.
（1）解：由题得
（2）解:过A作AD⊥x轴于D,过B作BE⊥y轴于E
∵A(-2,-2),B(1,4)∴AD=2，BE=1
在y=2x+2中，令x=0，则y=2，∴C(0,2)则0C=2
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=1/2×2×2+1/2×2×1=3.
考点五 反比例函数的实际应用
例7.病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题：
求当 0 ≤ x ≤2 时，y 与 x 的函数解析式；
求当 x > 2 时，y 与 x 的函数解析式；
若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
三、针对练习
1. 已知点 P(1，－3) 在反比例函数的图象上，则 k 的值是 ( B )
A. 3 B. －3 C. D. -
2. 若是反比例函数，则 a 的值为 ( A )
A. 1 B. －1 C. ±1 D. 任意实数
3.已知：y=y1+y2，y1与x+1成正比例，y2与x成反比例．当x=1时，y=7；当x=3时，y=4．求y与x的函数解析式．
4.下列关于反比例函数的描述，其中正确的是（ D ）
A．当x＞0时，y＜0 B．y随x的增大而减小
C．图像在第二、四象限 D．图像关于直线y＝－x对称
5. 已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3) 都在反比例函数的图象上，x1A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1
6.如图，点A，B是反比例函数(x＞0)图象上的两点，AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D，连结OA，BC.若点C(1,0),BD=2，三角形BCD的面积为3，则三角形AOC的面积是（ C ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y= x+m的图象与反比例函数(x>0)的图象交于A、B两点，已知A(1,2)
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)连接AO、BO，求△AOB的面积．
（1）解：由题得：2= 1+m，2=k，∴m=3，k=2，
∴一次函数为y= x+3，反比例函数为；
8.如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间 x 成反比例函数关系，已知第 12 分钟时，材料温度是14℃．
(1) 分别求出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函数关系式（写出x的取值范围）；
(2) 根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12℃ 的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟
四、课堂小结
五、作业布置
见《精准作业设计》
六、板书设计
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第二十六章 反比例函数章末小结（1）基本知识 精准作业设计
1．下列函数中，是y关于x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果点（3，﹣4）在反比例函数y的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是（ ）
A．（3，4） B．（﹣2，﹣6） C．（﹣2，6） D．（﹣3，﹣4）
3．已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣3 B．k≥﹣3 C．k＜﹣3 D．k≤﹣3
4．如图，A是反比例函数图象上第二象限内的一点，若△ABO的面积
为2，则k的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
5．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式正确的是（ ）
A．F B．F C．F D．F
6．已知反比例函数y的图象上有A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m＞0 C．m D．m
7．若函数y＝（a2﹣a）x是关于x的反比例函数，则a的值是 ．
8．已知反比例函数y，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是 ．
9．若点P（n，1），Q（n+6，3）在反比例函数图象上，请写出反比例函数的解析式 ．
10．函数y＝y1+y2，y1与x+1成正比例，y2与x+1成反比例，当x＝0时，y＝﹣5，当x＝2时，y＝﹣7．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）若点P（a，﹣6）在此函数图象上，求点P的坐标．
11．（9分）如图，反比例函数y的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，2），点B（﹣2，n），一次函数图象与y轴的交点为C．
（1）求一次函数解析式； （2）求C点的坐标； （3）求△AOC的面积．
12．（9分）电灭蚊器的电阻y（kΩ）随温度x（℃）变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温10℃上升到30℃时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ．
（1）当10≤x≤30时，求y与x的关系式；
（2）当x＝30时，求y的值．并求x＞30时，y与x的关系式；
（3）电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过5kΩ？
探究题
小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点 和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作，连接BF．
（1）求k的值；
（2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．
反比例函数章末小结（1） 精准作业设计
参考答案
1．D． 2．C． 3．C． 4．A． 5．B． 6．D．
7．2． 8．m＞2． 9．y．
10．解：（1）设y1＝k1（x+1），y2；
则有：y＝y1+y2＝k1（x+1），y2；
∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝2时，y＝﹣7．
∴有．解得：k1＝﹣2，k2＝﹣3．
y与x的函数关系式为：y＝﹣2（x+1）；
11．解：（1）由题意，把A（m，2），B（﹣2，n）代入中，得，
∴A（1，2），B（﹣2，﹣1）将A、B代入y＝kx+b中得：
，∴，∴一次函数解析式为：y＝x+1；
（2）由（1）可知：当x＝0时，y＝1，∴C（0，1）；
（3）S△AOC1×1．
12．解：（1）设y．∵过点（10，6），
∴m＝xy＝10×6＝60．∴当10≤x≤30时，y与x的关系式为：；
（2）∵，∴当x＝30时，．
x＞30时，设y＝kx+b，∵过点（30，2），
∵温度每上升1℃，电阻增加．∴过点，
∴，解得：，则y与x的关系式为：；
（3），当y＝5时，得x＝12；
，当y＝5时，得；答：温度x取值范围是．
探究题
解：（1）将A（，1）代入到y中，得：1，解得：k；
（2）过点A作OD 的垂线，交x轴于G，
∵A（，1），∴AG＝1，OG，OA2，
∴半径为2；∵AGOA，∴∠AOG＝30°，
由菱形的性质可知，∠AOG＝∠COG＝30°，
∴∠AOC＝60°，∴圆心角的度数为：60°；
（3）∵OD＝2OG＝2，
∴S菱形AOCDAC×OD＝2，
∴S扇形AOCπ×r2，
在菱形OBEF中，S△FHO＝S△BHO，
∵S△FHO，
∴S△FBO＝2，
∴S阴影＝S△FBO+S菱形AOCD﹣S扇形AOC2π＝3．
第1页（共5页）
（北京）股份有限公司(共20张PPT)
第二十六章 反比例函数
章末小结（1）基本知识
学习目标
1．理解并掌握反比例函数的概念，能判断一个函数是否为反比例函数．（重点）
2．会用待定系数法求反比例函数的解析式．（重点）
3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，
能利用这些性质分析和解决实际问题.(难点)
知识网络
反比例函数
概念
图像
(双曲线)
性质
一般地, 形如y= (k为常数,
k≠0)的函数, 叫作反比例函数
当 k > 0 时 , 在每个象限 内 , y随 x 的增大而减小
当 k < 0 时 , 在每个象限 内 , y随 x 的增大而增大
待定系数法
解析式求法
实际应用
构造函数模型, 然后运用反比 例函数的图像和性质进行解答
借用列方程的思想列函数解 析式时, 自变量的取值要符 合实际意
当k>0时, 双曲线的两个分 支分别位于第一、三象限
当k<0时, 双曲线的两个分 支分别位于第二、四象限
还可以表示成y=kx-1(k为 常数, k≠0)或xy=k(k为常 数, k≠0)的形式
形如_____ (k为常数，k≠0) 的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数．
1、定义
2、自变量取值范围是:
x≠0的一切实数
k<0
y
x
0
y
0
k>0
x
3、图象：
双曲线
知识回顾
三种表达式方法：
知识回顾
图象 所在象限 性质 对称性
(k≠0) k＞0
k＜0
x
y
o
x
y
o
4、性质
关于原点和直线y=±x对称.
一、三象限
二、四象限
在每个象限内，y 随 x 的增大而减小
在每个象限内，y 随 x 的增大而增大
即是轴对称图形又是中心对称图形
5、比例系数 k 的几何意义
（3）过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数 ．
S矩形OAPB=|k|
知识回顾
（1）反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之积 (xy＝k) 为常数
（2）过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数 .
|k|
（1）用待定系数法确定反比例函数：
① 根据两变量之间的反比例关系，设 ；
② 代入图象上一个点的坐标，求出 k 的值；③ 写出解析式.
6、反比例函数的应用
知识回顾
（2）反比例函数与一次函数的图象的交点的求法
解这两个函数解析式组成的方程组.
求直线 y＝k1x＋b (k1≠0) 和双曲线 (k2≠0)的交点坐标就是
(3)利用反比例函数相关知识解决实际问题
过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题
注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值.
① y = 3x－1
② y = 2x2
⑤ y = 3x
③
④
⑥
⑦
⑧
提示：此类题考察反比例函数的概念.抓住反比例函数的三种表达式：y=或xy＝k或y＝kx－1 (k≠0)来判断．
【例1】下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数
题型一 反比例函数的概念
典例讲解
【例2】若函数y＝(m－1)是反比例函数，则m的值为_______.
解：∵y＝(m－1)xm2 2是反比例函数，
∴m-1≠0，且m2 2= 1
解得m=－1．
－1
1. 已知点 P(1，－3) 在反比例函数 的图象上，则 k 的值是 ( )
A. 3 B. －3 C. D.
B
2. 若 是反比例函数，则 a 的值为 ( )
A. 1 B. －1 C. ±1 D. 任意实数
A
3.已知：，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求与的函数解析式．
解：（1）设y1＝k1（x+1）（k1≠0），y2＝（k2≠0），∴y＝k1（x+1）+
由题得，，
∴y关于x的函数解析式是：y＝（x+1）+；
针对练习
例3.已知函数是反比例函数，且当x＜0时，y随x的增大而减小，则m的值是_____．
解：且，解得：．
题型二 反比例函数的图像和性质
例4.在反比例函数（为常数）的图象上有三个点,,
，则函数值，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
D
解：∵，∴反比例函数的图像位于第二、四象限，
∵，位于第二象限，且，∴，
∵位于第四象限，∴，∴，
典例讲解
4.下列关于反比例函数y＝的描述，其中正确的是（ ）
A．当x＞0时，y＜0 B．y随x的增大而减小
C．图像在第二、四象限 D．图像关于直线y＝－x对称
D
5.点A，B，C都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
A
针对练习
例5.如图，两个反比例函数 和 在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为____.
1
【点睛】主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义
题型三 k的几何意义
典例讲解
6.如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，轴于点C,轴于点D，连结若点，三角形的面积为3，则三角形的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
C
针对练习
例6.如图，已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y= 的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
例题讲解
题型四 反比例函数与一次函数的综合运用
则y=2x+2.
解得
(2)求△AOB的面积.
解:过A作AD⊥x轴于D,过B作BE⊥y轴于E
∵A(-2,-2),B(1,4)∴AD=2，BE=1
在y=2x+2中，令x=0，则y=2，∴C(0,2)则0C=2
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+2×1=3.
D
E
7.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，已知
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)连接AO、BO，求△AOB的面积．
（1）解：，，，，
一次函数为，反比例函数为；
针对练习
（2）解：解方程组 得 或 ，；
设直线与轴交于，当时，，解得：，，．
例7 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图). 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
O
y/毫克
x/小时
2
4
题型四 反比例函数的实际应用
解：当 0 ≤ x ≤2 时，设 y ＝kx，则 4＝2k，解得k＝2，即 y＝2x.
解得 k ＝8.
即
=2，解得 x =4.
当 x > 2时，设
则
2x=2时，解得x=1,
∴含药量不低于2时，2< x ≤4.
所以服药一次，治疗疾病的有效时间是1＋2＝3 (小时)．
典例讲解
8.如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系.根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12℃ 的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟
O
y(℃)
x(min)
12
4
14
28
针对练习
解：由图可求得
y =
4x + 4 (0 ≤ x ≤ 6)，
(x＞6).
当y =12时，y =4x+4，解得 x=2．
由 ，解得x =14.
则进行特殊处理所用的时间为14－2=12 (分钟)．
实际应用
的图象和性质
归纳
抽象
现实世界中的反比例关系
反比例函数
归纳总结
作业布置：详见《精准作业》
作业布置
