第17章 勾股定理培优测试题（含解析）2024-2025学年人教版数学八年级下册
文档属性
| 名称 | 第17章 勾股定理培优测试题（含解析）2024-2025学年人教版数学八年级下册 |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-02 00:00:00 | ||
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文档简介
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第17章 勾股定理 培优测试题
考试范围：第17章 勾股定理；考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．内错角相等
C．全等三角形的对应边相等 D．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
2．如图，已知一架梯子（AB）斜靠在墙OM（MO⊥ON）上，OA＝1.5米，OB＝2米．现将梯子的底端B沿水平地面ON向左滑动到D，梯子的顶端从A滑到C．若BD＝1.3米，则AC的长为（ ）
A．1.1米 B．1米 C．0.9米 D．0.7米
3．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．6，7，8 B．，， C．5，12，13 D．9，12，15
4．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在网格线的交点上，则△ABC中边BC上的高为（ ）
A． B． C． D．
（2题图） （4题图） （5题图）
5．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（ ）m．
A． B． C．6 D．
6．如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（ ）
A．2.5m B．3m C．1.5m D．3.5m
7．在平面直角坐标系中，点P（3，1）到原点的距离是（ ）
A．1 B．3 C． D．
8．已知，Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为2、3，则它的斜边AB的长为（ ）
A． B．4 C． D．
9．毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树状图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如图，若正方形A，B，C，D的边长分别是2，3，1，2，则正方形G的边长是（ ）
A．8 B． C． D．5
10．如图，三角板、量角器和直尺如图摆放，三角板的斜边BC与量角器的半径OC垂直于点C，点B、D、E分别与直尺的刻度1、9、19重合，则三角板直角边AC的长为（ ）
A．5 B．6 C． D．
（9题图） （10题图） （11题图）
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．如图，数轴上的点M表示的数为m，则m＝ ．
12．如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝6，BC＝8时，则阴影部分的面积为 ．
13．数形结合能够把图形与数字有效结合在一起，使理解更加有效准确．如图，根据这一思想，小明借助勾股定理把无理数表示在数轴上，点B表示的数为2，BC⊥OB，根据图中的弧线可知，点A表示的数为 ．
（12题图） （13题图） （14题图）
14．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另一棵树的树梢B，则小鸟至少要飞行 米．
15．若Rt△ABC两直角边上的中线分别是AE和BD，则AE2+BD2与AB2的比值是 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）利用勾股定理求出线段长：AB＝ ，AD＝ ，BC＝ ，CD＝ ；
（2）求证：∠BCD＝90°．
17．（9分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，连接BD，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，CE交BD于点F，∠2＝∠3．
（1）求证：∠1＝∠ABC；
（2）若BC＝BD＝10，AB＝8，求BF的长．
18．（9分）如图，正方形网格的每个小正方形都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）求点B到AC的距离．
19．（9分）有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？
20．（9分）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，CD＝1，AD＝2，BD＝4．
（1）求证：∠BAC＝90°；
（2）点P为BC上一点，连接AP，若△ACP为等腰三角形，求CP的长．
21．（9分）2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°．
（1）问这片绿地的面积是多少？
（2）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
22．（10分）满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
（1）请把下列三组勾股数补充完整：① ，8，10；②9， ，15；③9，40， ．
（2）小明发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成m2+n2，m2﹣n2，如4＝2×2×1，5＝22+12，3＝22﹣12，请你帮小明证明这三个数2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数组．
（3）如果28，96，100是满足上述小明发现的规律的勾股数组，则m+n＝ ．
23．（11分）两点之间的距离公式：若数轴上两点A1，A2分别表示实数x1，x2，A1，A2两点间的距离记作|A1A2|，那么|A1A2|＝|x2﹣x1|．
问题提出：对于平面上的任意两点A1，A2间的距离是否有类似的结论呢？我们作出了如下猜想．
猜想：运用勾股定理，就可以推导出平面上任意两点之间的距离公式．根据这个思路，让我们一起进行如下探究吧!
问题探究：
（1）①如图1，A1，A2两点之间的距离|A1A2|＝ ；
②如图2，已知平面上两点A（1，1），B（5，4），求这两点之间的距离|AB|；
（2）一般地，已知平面上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），如图3，请计算A，B两点之间的距离|AB|．
参考答案
1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、对顶角相等，是真命题，不符合题意；
B、两直线平行，内错角相等，本选项命题是假命题，符合题意；
C、全等三角形的对应边相等，是真命题，不符合题意；
D、角的平分线上的点到角的两边的距离相等，是真命题，不符合题意；
选：B．
2．解：∵OA＝1.5米，OB＝2米，∠AOB＝90°，
∴（m），
∴CD＝2.5（m），
∵BD＝1.3（m），
∴OD＝2﹣1.3＝0.7（m），
∴（m），
∴AC＝OC﹣OA＝2.4﹣1.5＝0.9（m），
选：C．
3．解：A、∵62+72＝85，82＝64，
∴62+72≠82，
∴不能构成直角三角形，
A符合题意；
B、∵（）2+（）2＝5，（）2＝5，
∴（）2+（）2＝（）2，
∴能构成直角三角形，
B不符合题意；
C、∵52+122＝169，132＝169，
∴52+122＝132，
∴能构成直角三角形，
C不符合题意；
D、∵92+122＝225，152＝225，
∴92+122＝152，
∴能构成直角三角形，
D不符合题意；
选：A．
4．解：设△ABC中边BC上的高为h，
由勾股定理得：BC，
∵S△ABCBC h＝2×32×21×13×1＝2，
∴h＝2，
∴h，
即△ABC中边BC上的高为，
选：B．
5．解：设绳长为x米，
在Rt△ADC中，
AD＝AB﹣BD＝AB﹣（DE﹣BE）＝x﹣（4﹣1）＝（x﹣3）米，
DC＝6m，AC＝x米，
∴AB2+DC2＝AC2，
根据题意列方程：x2＝（x﹣3）2+62，
解得：x，
∴绳索AC的长是．
选：B．
6．解：设AB＝AD＝x cm，
根据题意可知，BC∥EF，CE⊥EF，BF⊥EF，BF＝8cm，
∴CE＝BF＝8cm，
∴AC＝AD+DE﹣CE＝x+6﹣8＝（x﹣2）cm，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，即x2＝（x﹣2）2+102，
解得：x＝26，
选：C．
7．解：∵点P（3，1），O（0，0），
∴点P（3，1）到原点的距离，
选：C．
8．解：AB，
选：D．
9．解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形G的边长为z，则由勾股定理得：
x2＝22+32＝13；
y2＝12+22＝5；
z2＝x2+y2＝18；
即最大正方形E的面积为：z2＝18，
∴最大正方形E的边长为．
选：C．
10．解：如图，连接OC，
由图形可知，OC＝OD＝5，OB＝14﹣1＝13，BC⊥OC，
∴△BOC为直角三角形，
∴BC，
∵直角三角板ABC中的∠B＝30°，
∴AC，
选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：根据题意得：，
答案为：．
12．解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理得：AB10，
所以阴影部分的面积Sπ×32π×426×8 π×52＝24，
答案为：24．
13．解：如图，
由题意得，，
∴点A表示的数为，
答案为：．
14．解：过B作BC∥地面，连接AB，
，
由题意得，BC＝12米，AC＝12﹣7＝5（米），
由勾股定理得，AB13（米），
答案为：13．
15．解：如图，∠C＝90°，
由勾股定理可得：AE2＝AC2+CE2①，BD2＝BC2+CD2②，AC2+BC2＝AB2，
①+②得AE2+BD2＝AC2+CE2+BC2+CD2＝AB2+CD2+CE2，
∵AE，BD是△ABC的中线，
∴CDAC，CEBC，
∴CD2+CE2＝（AC）2+（BC）2AB2，
∴AE2+BD2＝AB2AB2AB2，
即AE2+BD2与AB2的比值是5：4．
答案为：5：4．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（1）解：根据勾股定理得，AB，AD，BC2，CD，
答案为：；；2；；
（2）证明：如图，连接BD，
根据勾股定理得，BD5，
∵BC＝2，CD，
∴BD2＝BC2+CD2，
∴△BCD是直角三角形且∠BCD＝90°．
17．（1）证明：∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠A＝∠CEB＝90°，
又∠2+∠EBC+∠CEB＝180°，∠1+∠3+∠A＝90°，且∠2＝∠3，
∴∠1＝∠ABC；
（2）解：∵BC＝BD＝10，AB＝8，∠A＝90°，
∴AD2+AB2＝BD2
在直角三角形SBD中，由勾股定理得：，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（AAS），
∴BE＝AD＝6；
∵∠CEB＝∠A＝90°，
∴CE∥DA，
∴△BEF∽△BAD，
∴，
∴，
∴；
在Rt△BEF中，由勾股定理得：．
18．（1）证明：由图可得：AB，BC2，AC5，
∴AB2+BC2＝（）2+（2）2＝52＝AC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：设点B到AC的距离x，
则5x÷222，
解得x＝2．
点B到AC的距离是2．
19．解：设水深AC为x尺，则芦苇AB长为（x+1）尺，AB'为（x+1）尺，
在Rt△AB'C中，由勾股定理得：AC2+B'C2＝AB'2，
即x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12．
∴x+1＝13，
答：水深12尺，芦苇长13尺．
20．（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
在Rt△ACD中，CD＝1，AD＝2，
∴AC，
在Rt△ABD中，BD＝4，
∴AB2，
在△ABC中，AC2+AB2＝（）2+（2）2＝25，
BC2＝（CD+BD）2＝52＝25，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC＝90°；
（2）解：分三种情况：
当CA＝CP时，如图：
∴CP的长为；
当AC＝AP时，如图：
∵AC＝AP，AD⊥CP，
∴CP＝2CD＝2，
∴CP的长为2；
当PA＝PC时，如图：
∵PA＝PC，
∴∠C＝∠PAC，
∵∠C+∠B＝90°，∠PAC+∠PAB＝90°，
∴∠B＝∠PAB，
∴AP＝BP，
∴CP＝BPBC＝2.5，
∴CP的长为2.5；
综上所述：CP的长为，2或2.5．
21．解：（1）如图，连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，
∴AC15（m），
∵CD＝17m，AD＝8m，
∴AD2+AC2＝DC2，
∴△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°，
∴S△DACAD AC8×15＝60（m2），S△ACBAB BC9×12＝54（m2），
∴S四边形ABCD＝60+54＝114（m2），
答：这片绿地的面积是114m2；
（2）AB+BC﹣AC＝9+12﹣15＝6（m），
答：居民从点A到点C将少走6m路程．
22．（1）解：①设空缺的数为x，
则有三种情况：x2+82＝102，x2+102＝82，102+82＝x2，
解得：x＝±6，，
∵x要为正整数，
∴仅有x＝6满足题意，
同理，对于②③，可求得空缺的数为：12，41，
答案为：6，12，41；
（2）证明：（2mn）2＝4m2n2，
（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4，
（m2﹣n2）2＝m4﹣2m2n2+n4，
显然，m4+2m2n2+n4＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2，
即：（m2+n2）2＝（m2﹣n2）2+（2mn）2，
∴2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数组；
（3）解：28，96，100约去公因数4，得到7，24，25，
其中，24＝2×3×4，
∵25＝42+32，7＝42﹣32，
∴m＝4，n＝3，
∴m+n＝7，
答案为：7．
23．解：（1）①|A1A2|＝|﹣1﹣4|＝5，
答案为：5；
②|AC|＝|5﹣1|＝4，
|BC|＝|1﹣4|＝3，
∴5；
（2）分别过点A，B作y轴、x轴的平行线，两直线交于点C，
|AC|＝|y2﹣y1|，|BC|＝|x2﹣x1|，
∴．
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第17章 勾股定理 培优测试题
考试范围：第17章 勾股定理；考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．内错角相等
C．全等三角形的对应边相等 D．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
2．如图，已知一架梯子（AB）斜靠在墙OM（MO⊥ON）上，OA＝1.5米，OB＝2米．现将梯子的底端B沿水平地面ON向左滑动到D，梯子的顶端从A滑到C．若BD＝1.3米，则AC的长为（ ）
A．1.1米 B．1米 C．0.9米 D．0.7米
3．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．6，7，8 B．，， C．5，12，13 D．9，12，15
4．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在网格线的交点上，则△ABC中边BC上的高为（ ）
A． B． C． D．
（2题图） （4题图） （5题图）
5．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（ ）m．
A． B． C．6 D．
6．如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（ ）
A．2.5m B．3m C．1.5m D．3.5m
7．在平面直角坐标系中，点P（3，1）到原点的距离是（ ）
A．1 B．3 C． D．
8．已知，Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为2、3，则它的斜边AB的长为（ ）
A． B．4 C． D．
9．毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树状图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如图，若正方形A，B，C，D的边长分别是2，3，1，2，则正方形G的边长是（ ）
A．8 B． C． D．5
10．如图，三角板、量角器和直尺如图摆放，三角板的斜边BC与量角器的半径OC垂直于点C，点B、D、E分别与直尺的刻度1、9、19重合，则三角板直角边AC的长为（ ）
A．5 B．6 C． D．
（9题图） （10题图） （11题图）
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．如图，数轴上的点M表示的数为m，则m＝ ．
12．如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝6，BC＝8时，则阴影部分的面积为 ．
13．数形结合能够把图形与数字有效结合在一起，使理解更加有效准确．如图，根据这一思想，小明借助勾股定理把无理数表示在数轴上，点B表示的数为2，BC⊥OB，根据图中的弧线可知，点A表示的数为 ．
（12题图） （13题图） （14题图）
14．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另一棵树的树梢B，则小鸟至少要飞行 米．
15．若Rt△ABC两直角边上的中线分别是AE和BD，则AE2+BD2与AB2的比值是 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）利用勾股定理求出线段长：AB＝ ，AD＝ ，BC＝ ，CD＝ ；
（2）求证：∠BCD＝90°．
17．（9分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，连接BD，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，CE交BD于点F，∠2＝∠3．
（1）求证：∠1＝∠ABC；
（2）若BC＝BD＝10，AB＝8，求BF的长．
18．（9分）如图，正方形网格的每个小正方形都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）求点B到AC的距离．
19．（9分）有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？
20．（9分）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，CD＝1，AD＝2，BD＝4．
（1）求证：∠BAC＝90°；
（2）点P为BC上一点，连接AP，若△ACP为等腰三角形，求CP的长．
21．（9分）2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°．
（1）问这片绿地的面积是多少？
（2）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
22．（10分）满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
（1）请把下列三组勾股数补充完整：① ，8，10；②9， ，15；③9，40， ．
（2）小明发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成m2+n2，m2﹣n2，如4＝2×2×1，5＝22+12，3＝22﹣12，请你帮小明证明这三个数2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数组．
（3）如果28，96，100是满足上述小明发现的规律的勾股数组，则m+n＝ ．
23．（11分）两点之间的距离公式：若数轴上两点A1，A2分别表示实数x1，x2，A1，A2两点间的距离记作|A1A2|，那么|A1A2|＝|x2﹣x1|．
问题提出：对于平面上的任意两点A1，A2间的距离是否有类似的结论呢？我们作出了如下猜想．
猜想：运用勾股定理，就可以推导出平面上任意两点之间的距离公式．根据这个思路，让我们一起进行如下探究吧!
问题探究：
（1）①如图1，A1，A2两点之间的距离|A1A2|＝ ；
②如图2，已知平面上两点A（1，1），B（5，4），求这两点之间的距离|AB|；
（2）一般地，已知平面上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），如图3，请计算A，B两点之间的距离|AB|．
参考答案
1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、对顶角相等，是真命题，不符合题意；
B、两直线平行，内错角相等，本选项命题是假命题，符合题意；
C、全等三角形的对应边相等，是真命题，不符合题意；
D、角的平分线上的点到角的两边的距离相等，是真命题，不符合题意；
选：B．
2．解：∵OA＝1.5米，OB＝2米，∠AOB＝90°，
∴（m），
∴CD＝2.5（m），
∵BD＝1.3（m），
∴OD＝2﹣1.3＝0.7（m），
∴（m），
∴AC＝OC﹣OA＝2.4﹣1.5＝0.9（m），
选：C．
3．解：A、∵62+72＝85，82＝64，
∴62+72≠82，
∴不能构成直角三角形，
A符合题意；
B、∵（）2+（）2＝5，（）2＝5，
∴（）2+（）2＝（）2，
∴能构成直角三角形，
B不符合题意；
C、∵52+122＝169，132＝169，
∴52+122＝132，
∴能构成直角三角形，
C不符合题意；
D、∵92+122＝225，152＝225，
∴92+122＝152，
∴能构成直角三角形，
D不符合题意；
选：A．
4．解：设△ABC中边BC上的高为h，
由勾股定理得：BC，
∵S△ABCBC h＝2×32×21×13×1＝2，
∴h＝2，
∴h，
即△ABC中边BC上的高为，
选：B．
5．解：设绳长为x米，
在Rt△ADC中，
AD＝AB﹣BD＝AB﹣（DE﹣BE）＝x﹣（4﹣1）＝（x﹣3）米，
DC＝6m，AC＝x米，
∴AB2+DC2＝AC2，
根据题意列方程：x2＝（x﹣3）2+62，
解得：x，
∴绳索AC的长是．
选：B．
6．解：设AB＝AD＝x cm，
根据题意可知，BC∥EF，CE⊥EF，BF⊥EF，BF＝8cm，
∴CE＝BF＝8cm，
∴AC＝AD+DE﹣CE＝x+6﹣8＝（x﹣2）cm，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，即x2＝（x﹣2）2+102，
解得：x＝26，
选：C．
7．解：∵点P（3，1），O（0，0），
∴点P（3，1）到原点的距离，
选：C．
8．解：AB，
选：D．
9．解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形G的边长为z，则由勾股定理得：
x2＝22+32＝13；
y2＝12+22＝5；
z2＝x2+y2＝18；
即最大正方形E的面积为：z2＝18，
∴最大正方形E的边长为．
选：C．
10．解：如图，连接OC，
由图形可知，OC＝OD＝5，OB＝14﹣1＝13，BC⊥OC，
∴△BOC为直角三角形，
∴BC，
∵直角三角板ABC中的∠B＝30°，
∴AC，
选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：根据题意得：，
答案为：．
12．解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理得：AB10，
所以阴影部分的面积Sπ×32π×426×8 π×52＝24，
答案为：24．
13．解：如图，
由题意得，，
∴点A表示的数为，
答案为：．
14．解：过B作BC∥地面，连接AB，
，
由题意得，BC＝12米，AC＝12﹣7＝5（米），
由勾股定理得，AB13（米），
答案为：13．
15．解：如图，∠C＝90°，
由勾股定理可得：AE2＝AC2+CE2①，BD2＝BC2+CD2②，AC2+BC2＝AB2，
①+②得AE2+BD2＝AC2+CE2+BC2+CD2＝AB2+CD2+CE2，
∵AE，BD是△ABC的中线，
∴CDAC，CEBC，
∴CD2+CE2＝（AC）2+（BC）2AB2，
∴AE2+BD2＝AB2AB2AB2，
即AE2+BD2与AB2的比值是5：4．
答案为：5：4．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（1）解：根据勾股定理得，AB，AD，BC2，CD，
答案为：；；2；；
（2）证明：如图，连接BD，
根据勾股定理得，BD5，
∵BC＝2，CD，
∴BD2＝BC2+CD2，
∴△BCD是直角三角形且∠BCD＝90°．
17．（1）证明：∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠A＝∠CEB＝90°，
又∠2+∠EBC+∠CEB＝180°，∠1+∠3+∠A＝90°，且∠2＝∠3，
∴∠1＝∠ABC；
（2）解：∵BC＝BD＝10，AB＝8，∠A＝90°，
∴AD2+AB2＝BD2
在直角三角形SBD中，由勾股定理得：，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（AAS），
∴BE＝AD＝6；
∵∠CEB＝∠A＝90°，
∴CE∥DA，
∴△BEF∽△BAD，
∴，
∴，
∴；
在Rt△BEF中，由勾股定理得：．
18．（1）证明：由图可得：AB，BC2，AC5，
∴AB2+BC2＝（）2+（2）2＝52＝AC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：设点B到AC的距离x，
则5x÷222，
解得x＝2．
点B到AC的距离是2．
19．解：设水深AC为x尺，则芦苇AB长为（x+1）尺，AB'为（x+1）尺，
在Rt△AB'C中，由勾股定理得：AC2+B'C2＝AB'2，
即x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12．
∴x+1＝13，
答：水深12尺，芦苇长13尺．
20．（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
在Rt△ACD中，CD＝1，AD＝2，
∴AC，
在Rt△ABD中，BD＝4，
∴AB2，
在△ABC中，AC2+AB2＝（）2+（2）2＝25，
BC2＝（CD+BD）2＝52＝25，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC＝90°；
（2）解：分三种情况：
当CA＝CP时，如图：
∴CP的长为；
当AC＝AP时，如图：
∵AC＝AP，AD⊥CP，
∴CP＝2CD＝2，
∴CP的长为2；
当PA＝PC时，如图：
∵PA＝PC，
∴∠C＝∠PAC，
∵∠C+∠B＝90°，∠PAC+∠PAB＝90°，
∴∠B＝∠PAB，
∴AP＝BP，
∴CP＝BPBC＝2.5，
∴CP的长为2.5；
综上所述：CP的长为，2或2.5．
21．解：（1）如图，连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，
∴AC15（m），
∵CD＝17m，AD＝8m，
∴AD2+AC2＝DC2，
∴△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°，
∴S△DACAD AC8×15＝60（m2），S△ACBAB BC9×12＝54（m2），
∴S四边形ABCD＝60+54＝114（m2），
答：这片绿地的面积是114m2；
（2）AB+BC﹣AC＝9+12﹣15＝6（m），
答：居民从点A到点C将少走6m路程．
22．（1）解：①设空缺的数为x，
则有三种情况：x2+82＝102，x2+102＝82，102+82＝x2，
解得：x＝±6，，
∵x要为正整数，
∴仅有x＝6满足题意，
同理，对于②③，可求得空缺的数为：12，41，
答案为：6，12，41；
（2）证明：（2mn）2＝4m2n2，
（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4，
（m2﹣n2）2＝m4﹣2m2n2+n4，
显然，m4+2m2n2+n4＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2，
即：（m2+n2）2＝（m2﹣n2）2+（2mn）2，
∴2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数组；
（3）解：28，96，100约去公因数4，得到7，24，25，
其中，24＝2×3×4，
∵25＝42+32，7＝42﹣32，
∴m＝4，n＝3，
∴m+n＝7，
答案为：7．
23．解：（1）①|A1A2|＝|﹣1﹣4|＝5，
答案为：5；
②|AC|＝|5﹣1|＝4，
|BC|＝|1﹣4|＝3，
∴5；
（2）分别过点A，B作y轴、x轴的平行线，两直线交于点C，
|AC|＝|y2﹣y1|，|BC|＝|x2﹣x1|，
∴．
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