第17章 勾股定理 综合能力测试题（含解析）2024-2025学年人教版八年级数学下册
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| 名称 | 第17章 勾股定理 综合能力测试题（含解析）2024-2025学年人教版八年级数学下册 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-02 18:24:39 | ||
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文档简介
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第17章 勾股定理 综合能力测试题
考试范围：第17章 勾股定理；考试时间：100分钟；总分：120分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各组数据为勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B． C．9，40，41 D．，，
2．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠C﹣∠B B．a：b：c＝2：3：4
C．a2＝b2﹣c2 D．a＝3k，b＝4k，c＝5k（k是正整数）
3．已知点P（4，3），则点P到原点的距离为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．3
4．等腰三角形的腰长为5cm，底边上的中线长为4cm，它的面积是（ ）
A．24cm2 B．20cm2 C．15cm2 D．12cm2
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接EF交AB于点D，交AC于点H．连接CD，以C为圆心，CD长为半径作弧，交AC于G点，若AB＝10cm，BC＝6cm，则GH的长度为（ ）
A． B． C．3cm D．
（5题图） （6题图） （7题图） （8题图）
6．如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（ ）
A．2.5m B．3m C．1.5m D．3.5m
7．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接BD交CH，EG，AF于点M，O，N，若M，O，N是BD的四等分点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形土地时，在BC上有一处古建筑D，使得BC的长不能直接测出，工作人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，在测出AC＝150米后，测量工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想办法求出BC的长度为（ ）
A．90米 B．120米 C．140米 D．150米
9．如图，将一张矩形纸片沿着AE折叠后，点D恰好与BC边上的点F重合，已知：AB＝6，BC＝10，则FC的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．在一次课题学习中，某学习小组受赵爽弦图的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形（△AHD≌△CFB，△ABE≌△CDG）和矩形EFGH拼成大矩形ABCD．连结CH，设∠CHG＝α，∠CDG＝β．若BC＝2AB，tanβ＝tan2α，则矩形EFGH与矩形ABCD的面积比为（ ）
A． B． C． D．
（9题图） （10题图） （11题图）
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝2，S2＝4，S3＝6，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为 ．
12．如图，一架梯子AB长10米，底端离墙的距离BC为6米，当梯子下滑到DE时，AD＝3米，则BE＝ 米．
（12题图） （13题图） （14题图） （15题图）
13．如图，一艘小船以15海里/时的速度从港口A出发，向东北方向航行，另一小船以8海里/时的速度同时从港口A出发，向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距 海里．
14．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、B，C，D的面积之和是100cm2，则最大的正方形的边长为 cm．
15．等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4CB，若点E，F为边AC，AB上动点，且AF＝CE，则DE+CF的最小值为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝5，CD＝3．求四边形ABCD的面积．
17．（9分）如图，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，CD＝13，BD＝12，求这个四边形的面积．
18．（9分）如图为某工厂批量生产的一零件的简化结构示意图，在三角形零件的内部，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，根据安全标准该零件需满足AC⊥BC，现已知 CB2＝AE2﹣CE2．
（1）该零件是否符合安全标准，请说明理由；
（2）若测量出AC＝4cm，BC＝3cm，请求CE的长度．
19．（9分）已知△ABC，三边为a＝3，b＝5和m．
（1）若△ABC是直角三角形，求m的值；
（2）若a，b，m这三个数的平均数，仍小于m，求整数m的值．
20．（9分）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为120m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时130m范围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间多长？
21．（9分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．已知BD＝3，AB＝5．设CD长为x．
（1）根据勾股定理，得AC2＝ ．（用含x的代数式表示，结果需化简）
（2）求x的值．
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E、F分别是BD、AC的中点．（1）求证：EF⊥AC；
（2）当BD＝10，AC＝8时，求EF的长．
23．（11分）勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等．当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，以下是利用图1证明勾股定理的完整过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2
证明：连结BD，过点D作BC边上的高DF⊥BC于点F，则DF＝EC＝b﹣a．
∵，
又∵，
∴
∴a2+b2＝c2．
请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、1+2＝3，不能构成三角形，该选项不符合题意；
B、不是正整数，1，，2不是勾股数，该选项不符合题意；
C、92+402＝412，9，40，41是勾股数，该选项符合题意；
D、（）2+（）2≠（）2，，，不是勾股数，该选项不符合题意；
选：C．
2．解：A、∵∠A＝∠C﹣∠B，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形；
B、设a＝2x，则b＝3x，c＝4x，∵（2x）2+（3x）2≠（4x）2，∴△ABC不是直角三角形；
C、∵a2＝b2﹣c2，∴b2＝c2+a2，∴△ABC为直角三角形；
D、∵（3k）2+（4k）2＝（5k）2，∴△ABC为直角三角形；
选：B．
3．解：∵点P（4，3），
∴点P到原点的距离为5，
选：B．
4．解：如图，∵AB＝AC＝5cm，AD为底边上的中线，
∴AD⊥BC，BD＝CDBC，
∴∠ADB＝90°，
∴BD3（cm），
∴BC＝2BD＝2×3＝6（cm），
∴S△ABCBC×AD6×4＝12（cm2），
选：D．
5．解：连接BH，如图所示：
根据作图可知，EF垂直平分AB，
∴BH＝AH，AD＝BD，
∵△ABC为直角三角形，
∴，
∴CG＝CD＝5cm，
根据勾股定理得：，
∴AG＝AC﹣CG＝8﹣5＝3（cm），
设AH＝BH＝x cm，则CH＝（8﹣x）cm，
根据勾股定理得：BC2+CH2＝BH2，
即62+（8﹣x）2＝x2，
解得：，
∴，
选：B．
6．解：设BO＝x m，
依题意得：AC＝0.5m，BD＝0.5m，AO＝2m．
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝22+x2，
在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，
∴22+x2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，
解得：x＝1.5，
∴AB2.5（m），
即梯子的长度AB为2.5m，
选：A．
7．解：∵M，O，N是BD的四等分点
∴DM＝MO＝ON＝NB，
设DH＝k，依题意得：AE＝DH＝k，DE＝CH，
∵∠DHC＝∠DEA＝90°，
∴HC∥AF，
∴△DHM∽△DEN，
∴DH：DE＝DM：DN＝1：3，
∴DE＝3DH＝3k，
∴CH＝DE＝3k，
在Rt△ADE中，AE＝k，DH＝3k，
由勾股定理得：AD，
在Rt△ABD中，AD＝AB，
由勾股定理得：BD，
∴DMBD，
在Rt△DHM中，DH＝k，DM，
由勾股定理得：HM，
∴CM＝CH﹣HM＝3kk，
∴．
选：B．
8．解：∵AD2+BD2＝1202+502＝16900，AB2＝1302＝16900，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴CD90（米），
∴BC＝BD+CD＝50+90＝140（米），
∴BC的长是140米，
选：C．
9．解：∵△AEF由△ADE翻折而成，
∴Rt△ADE≌Rt△AFE，
∴∠AFE＝90°，AD＝AF＝10，
在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，
即62+BF2＝102，
∴BF＝8，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，
选：B．
10．解：∵四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴AD＝2CD，
设CG＝x，HG＝y，
∵△AHD≌△CFB，△ABE≌△CDG，且这四个三角形均为直角三角形，
∴∠AHD＝∠DGC＝90°，
∴∠DAH+∠ADH＝∠ADH+∠CDG＝90°，
∴∠CDG＝∠DAH，
∴△ADH∽△DCG，
∴2，
∴DH＝2x，
∴DG＝2x+y，AH＝4x+2y，EH＝3x+2y，
∵∠CHG＝α，∠CDG＝β，tanβ＝tan2α，
∴，即2x2+xy＝y2，
∴y2﹣xy﹣2x2＝0，
∴（y﹣2x）（y+x）＝0，
∵y+x≠0，
∴y＝2x，
∴DG＝4x，DCx，EH＝3x+2y＝7x，
∴AD＝2x，
∴，
选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：设直角三角形的斜边BC的长为a，较长直角边AB的长为c，较短直角边AC的长为b，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：a2＝c2+b2，
∴a2﹣c2﹣b2＝0，
∴S阴影＝a2﹣c2﹣（b2﹣S四边形DEFG）＝a2﹣c2﹣b2+S四边形DEFG＝S四边形DEFG，
∴S四边形DEFG＝S1+S2+S3＝2+4+6＝12，
答案为：12．
12．解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，可得：AC8（米），
∴DC＝AC﹣AD＝8﹣3＝5（米），
在Rt△DCE中，CE5（米），
∴BE＝CE﹣BC＝（56）米，
答案为：（56）．
13．解：设两艘船航行2小时后分别到达B、C的位置，连接BC，如图所示：
∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC＝90°，
两小时后，两艘船分别行驶了15×2＝30（海里），8×2＝16（海里），
根据勾股定理得：（海里），
即离开港口2小时后，两船相距34海里．
答案为：34．
14．解：如图，设正方形A、B、C、D、E、F、G的边长分别为a、b、c、d、e、f，g，
∵所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，
∴e2＝a2+b2，f2＝c2+d2，g2＝e2+f2，
∴正方形E、F的面积和＝正方形A、B、C、D面积的和，最大正方形G的面积＝正方形E、F的面积和，
∴最大正方形G的面积＝正方形A、B、C、D的面积之和＝100cm2，
∴最大的正方形G的边长10（cm），
答案为：10．
15．解：如图，过点A作AH⊥AB，且AH＝CD，连接HF，CH，过点C作CN⊥直线AH于N，
∵CA＝CB＝4，CDCB，∠ACB＝90°，
∴CD＝2，∠CAB＝45°，
∴AH＝CD＝2，
在△AFH和△CED中，
，
∴△AFH≌△CED（SAS），
∴DE＝FH，
∴DE+CF＝FH+CF，
∴当点C，点F，点H三点共线时，DE+CF的最小值为CH的长，
∵∠CAN＝90°﹣∠CAB＝45°，
∴△ACN是等腰直角三角形，
又∵AC＝4，
∴AN＝CN＝4，
∵CH2＝CN2+NH2，
∴CH2，
∴DE+CF的最小值为2．
1． 解答题（共8小题，满分75分）
16．解：如图，延长AD、BC交于点F，
∵∠ADC＝120°，
∴∠CDF＝60°，
∵BC⊥CD，
∴∠DCF＝90°，
∴∠F＝30°，
∴DF＝2CD＝2×3＝6，
∴CF3，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，
∴BF＝2AB＝2×5＝10，
∴AF5，
∴S四边形ABCD＝S△ABF﹣S△CDFAB AFCD CF5×53×38．
17．解：∵∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴，
∵CD＝13，BD＝12，
∴BC2+BD2＝CD2，
∴∠CBD＝90°，
∴S四边形ABDC＝S△BCD+S△ABC5×123×4＝36．
18．解：（1）该零件符合安全标准，理由如下：
连接BE，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵CB2＝AE2﹣CE2，
∴CB2＝BE2﹣CE2，
即CB2+CE2＝BE2，
∴CE⊥BC，
∴该零件符合安全标准；
（2）在Rt△BCE中，BE＝AE＝AC﹣CE＝4﹣CE，BC＝3，BE2＝CE2+BC2，
∴（4﹣CE）2＝CE2+32，
解得CE．
19．解：（1）若b＝5为斜边，
∴m4，
若m为斜边，
∴m，
∴m＝4或；
（2）∵a，b，m这三个数的平均数，仍小于m，
∴m，
∴m＞4，
又∵5﹣3＜m＜5+3，
∴2＜m＜8，
∴4＜m＜8，
∵m为整数，
∴m＝5，6，7．
20．解：设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．
则有CA＝DA＝130m，
在Rt△ABC中，CB50（m），
∴CD＝2CB＝100（m），
则该校受影响的时间为：100÷5＝20（s）．
答：该学校受影响的时间为20s，
21．解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵BD＝3，AB＝5，
∴AD4，
∵CD长为x，
∴AC2＝AD2+CD2＝42+x2＝16+x2，
答案为：16+x2；
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝BD+CD，BD＝3，CD＝x，
∴BC＝BD+CD＝3+x，
∵AC2＝BC2﹣AB2，AC2＝16+x2，
∴（3+x）2﹣52＝16+x2，
解得x．
22．（1）证明：连接AE、CE，
∵∠BAD＝90°，E为BD中点，
∴AEDB，
∵∠DCB＝90°，
∴CEDB，
∴AE＝CE，
∵F是AC中点，
∴EF⊥AC；
（2）解：∵AC＝8，BD＝10，E、F分别是边AC、BD的中点，
∴AE＝CE＝5，CF＝4，
∵EF⊥AC．
∴EF3．
23．证明：连接BD，过点E作EF⊥CB，交CB的延长线于点F，如图所示：
∴∠F＝90°
∵∠DAB＝90°，∠C＝∠AED＝90°，
∴∠EAD+∠BAE＝90°，
∵△ABC≌ADE，
∴∠CAB＝∠EAD，
∴∠CAB+∠BAE＝90°，
即∠CAE＝90°，
∴∠C＝∠CAE＝∠F＝90°，
∴四边形ACFB是矩形，
∴AC＝EF＝b，AE＝CF＝b，
∴BF＝b﹣a，
∴S△ADEab，S△ABEb2，S△ABDc2，S△BDEa（b﹣a），
∵S四边形ABED＝S△ABE+S△ADE＝S△ABD+S△BDE，
∴b2abc2a（b﹣a），
整理得：a2+b2＝c2．
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第17章 勾股定理 综合能力测试题
考试范围：第17章 勾股定理；考试时间：100分钟；总分：120分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各组数据为勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B． C．9，40，41 D．，，
2．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠C﹣∠B B．a：b：c＝2：3：4
C．a2＝b2﹣c2 D．a＝3k，b＝4k，c＝5k（k是正整数）
3．已知点P（4，3），则点P到原点的距离为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．3
4．等腰三角形的腰长为5cm，底边上的中线长为4cm，它的面积是（ ）
A．24cm2 B．20cm2 C．15cm2 D．12cm2
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接EF交AB于点D，交AC于点H．连接CD，以C为圆心，CD长为半径作弧，交AC于G点，若AB＝10cm，BC＝6cm，则GH的长度为（ ）
A． B． C．3cm D．
（5题图） （6题图） （7题图） （8题图）
6．如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（ ）
A．2.5m B．3m C．1.5m D．3.5m
7．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接BD交CH，EG，AF于点M，O，N，若M，O，N是BD的四等分点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形土地时，在BC上有一处古建筑D，使得BC的长不能直接测出，工作人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，在测出AC＝150米后，测量工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想办法求出BC的长度为（ ）
A．90米 B．120米 C．140米 D．150米
9．如图，将一张矩形纸片沿着AE折叠后，点D恰好与BC边上的点F重合，已知：AB＝6，BC＝10，则FC的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．在一次课题学习中，某学习小组受赵爽弦图的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形（△AHD≌△CFB，△ABE≌△CDG）和矩形EFGH拼成大矩形ABCD．连结CH，设∠CHG＝α，∠CDG＝β．若BC＝2AB，tanβ＝tan2α，则矩形EFGH与矩形ABCD的面积比为（ ）
A． B． C． D．
（9题图） （10题图） （11题图）
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝2，S2＝4，S3＝6，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为 ．
12．如图，一架梯子AB长10米，底端离墙的距离BC为6米，当梯子下滑到DE时，AD＝3米，则BE＝ 米．
（12题图） （13题图） （14题图） （15题图）
13．如图，一艘小船以15海里/时的速度从港口A出发，向东北方向航行，另一小船以8海里/时的速度同时从港口A出发，向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距 海里．
14．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、B，C，D的面积之和是100cm2，则最大的正方形的边长为 cm．
15．等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4CB，若点E，F为边AC，AB上动点，且AF＝CE，则DE+CF的最小值为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝5，CD＝3．求四边形ABCD的面积．
17．（9分）如图，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，CD＝13，BD＝12，求这个四边形的面积．
18．（9分）如图为某工厂批量生产的一零件的简化结构示意图，在三角形零件的内部，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，根据安全标准该零件需满足AC⊥BC，现已知 CB2＝AE2﹣CE2．
（1）该零件是否符合安全标准，请说明理由；
（2）若测量出AC＝4cm，BC＝3cm，请求CE的长度．
19．（9分）已知△ABC，三边为a＝3，b＝5和m．
（1）若△ABC是直角三角形，求m的值；
（2）若a，b，m这三个数的平均数，仍小于m，求整数m的值．
20．（9分）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为120m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时130m范围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间多长？
21．（9分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．已知BD＝3，AB＝5．设CD长为x．
（1）根据勾股定理，得AC2＝ ．（用含x的代数式表示，结果需化简）
（2）求x的值．
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E、F分别是BD、AC的中点．（1）求证：EF⊥AC；
（2）当BD＝10，AC＝8时，求EF的长．
23．（11分）勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等．当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，以下是利用图1证明勾股定理的完整过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2
证明：连结BD，过点D作BC边上的高DF⊥BC于点F，则DF＝EC＝b﹣a．
∵，
又∵，
∴
∴a2+b2＝c2．
请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、1+2＝3，不能构成三角形，该选项不符合题意；
B、不是正整数，1，，2不是勾股数，该选项不符合题意；
C、92+402＝412，9，40，41是勾股数，该选项符合题意；
D、（）2+（）2≠（）2，，，不是勾股数，该选项不符合题意；
选：C．
2．解：A、∵∠A＝∠C﹣∠B，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形；
B、设a＝2x，则b＝3x，c＝4x，∵（2x）2+（3x）2≠（4x）2，∴△ABC不是直角三角形；
C、∵a2＝b2﹣c2，∴b2＝c2+a2，∴△ABC为直角三角形；
D、∵（3k）2+（4k）2＝（5k）2，∴△ABC为直角三角形；
选：B．
3．解：∵点P（4，3），
∴点P到原点的距离为5，
选：B．
4．解：如图，∵AB＝AC＝5cm，AD为底边上的中线，
∴AD⊥BC，BD＝CDBC，
∴∠ADB＝90°，
∴BD3（cm），
∴BC＝2BD＝2×3＝6（cm），
∴S△ABCBC×AD6×4＝12（cm2），
选：D．
5．解：连接BH，如图所示：
根据作图可知，EF垂直平分AB，
∴BH＝AH，AD＝BD，
∵△ABC为直角三角形，
∴，
∴CG＝CD＝5cm，
根据勾股定理得：，
∴AG＝AC﹣CG＝8﹣5＝3（cm），
设AH＝BH＝x cm，则CH＝（8﹣x）cm，
根据勾股定理得：BC2+CH2＝BH2，
即62+（8﹣x）2＝x2，
解得：，
∴，
选：B．
6．解：设BO＝x m，
依题意得：AC＝0.5m，BD＝0.5m，AO＝2m．
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝22+x2，
在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，
∴22+x2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，
解得：x＝1.5，
∴AB2.5（m），
即梯子的长度AB为2.5m，
选：A．
7．解：∵M，O，N是BD的四等分点
∴DM＝MO＝ON＝NB，
设DH＝k，依题意得：AE＝DH＝k，DE＝CH，
∵∠DHC＝∠DEA＝90°，
∴HC∥AF，
∴△DHM∽△DEN，
∴DH：DE＝DM：DN＝1：3，
∴DE＝3DH＝3k，
∴CH＝DE＝3k，
在Rt△ADE中，AE＝k，DH＝3k，
由勾股定理得：AD，
在Rt△ABD中，AD＝AB，
由勾股定理得：BD，
∴DMBD，
在Rt△DHM中，DH＝k，DM，
由勾股定理得：HM，
∴CM＝CH﹣HM＝3kk，
∴．
选：B．
8．解：∵AD2+BD2＝1202+502＝16900，AB2＝1302＝16900，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴CD90（米），
∴BC＝BD+CD＝50+90＝140（米），
∴BC的长是140米，
选：C．
9．解：∵△AEF由△ADE翻折而成，
∴Rt△ADE≌Rt△AFE，
∴∠AFE＝90°，AD＝AF＝10，
在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，
即62+BF2＝102，
∴BF＝8，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，
选：B．
10．解：∵四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴AD＝2CD，
设CG＝x，HG＝y，
∵△AHD≌△CFB，△ABE≌△CDG，且这四个三角形均为直角三角形，
∴∠AHD＝∠DGC＝90°，
∴∠DAH+∠ADH＝∠ADH+∠CDG＝90°，
∴∠CDG＝∠DAH，
∴△ADH∽△DCG，
∴2，
∴DH＝2x，
∴DG＝2x+y，AH＝4x+2y，EH＝3x+2y，
∵∠CHG＝α，∠CDG＝β，tanβ＝tan2α，
∴，即2x2+xy＝y2，
∴y2﹣xy﹣2x2＝0，
∴（y﹣2x）（y+x）＝0，
∵y+x≠0，
∴y＝2x，
∴DG＝4x，DCx，EH＝3x+2y＝7x，
∴AD＝2x，
∴，
选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：设直角三角形的斜边BC的长为a，较长直角边AB的长为c，较短直角边AC的长为b，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：a2＝c2+b2，
∴a2﹣c2﹣b2＝0，
∴S阴影＝a2﹣c2﹣（b2﹣S四边形DEFG）＝a2﹣c2﹣b2+S四边形DEFG＝S四边形DEFG，
∴S四边形DEFG＝S1+S2+S3＝2+4+6＝12，
答案为：12．
12．解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，可得：AC8（米），
∴DC＝AC﹣AD＝8﹣3＝5（米），
在Rt△DCE中，CE5（米），
∴BE＝CE﹣BC＝（56）米，
答案为：（56）．
13．解：设两艘船航行2小时后分别到达B、C的位置，连接BC，如图所示：
∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC＝90°，
两小时后，两艘船分别行驶了15×2＝30（海里），8×2＝16（海里），
根据勾股定理得：（海里），
即离开港口2小时后，两船相距34海里．
答案为：34．
14．解：如图，设正方形A、B、C、D、E、F、G的边长分别为a、b、c、d、e、f，g，
∵所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，
∴e2＝a2+b2，f2＝c2+d2，g2＝e2+f2，
∴正方形E、F的面积和＝正方形A、B、C、D面积的和，最大正方形G的面积＝正方形E、F的面积和，
∴最大正方形G的面积＝正方形A、B、C、D的面积之和＝100cm2，
∴最大的正方形G的边长10（cm），
答案为：10．
15．解：如图，过点A作AH⊥AB，且AH＝CD，连接HF，CH，过点C作CN⊥直线AH于N，
∵CA＝CB＝4，CDCB，∠ACB＝90°，
∴CD＝2，∠CAB＝45°，
∴AH＝CD＝2，
在△AFH和△CED中，
，
∴△AFH≌△CED（SAS），
∴DE＝FH，
∴DE+CF＝FH+CF，
∴当点C，点F，点H三点共线时，DE+CF的最小值为CH的长，
∵∠CAN＝90°﹣∠CAB＝45°，
∴△ACN是等腰直角三角形，
又∵AC＝4，
∴AN＝CN＝4，
∵CH2＝CN2+NH2，
∴CH2，
∴DE+CF的最小值为2．
1． 解答题（共8小题，满分75分）
16．解：如图，延长AD、BC交于点F，
∵∠ADC＝120°，
∴∠CDF＝60°，
∵BC⊥CD，
∴∠DCF＝90°，
∴∠F＝30°，
∴DF＝2CD＝2×3＝6，
∴CF3，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，
∴BF＝2AB＝2×5＝10，
∴AF5，
∴S四边形ABCD＝S△ABF﹣S△CDFAB AFCD CF5×53×38．
17．解：∵∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴，
∵CD＝13，BD＝12，
∴BC2+BD2＝CD2，
∴∠CBD＝90°，
∴S四边形ABDC＝S△BCD+S△ABC5×123×4＝36．
18．解：（1）该零件符合安全标准，理由如下：
连接BE，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵CB2＝AE2﹣CE2，
∴CB2＝BE2﹣CE2，
即CB2+CE2＝BE2，
∴CE⊥BC，
∴该零件符合安全标准；
（2）在Rt△BCE中，BE＝AE＝AC﹣CE＝4﹣CE，BC＝3，BE2＝CE2+BC2，
∴（4﹣CE）2＝CE2+32，
解得CE．
19．解：（1）若b＝5为斜边，
∴m4，
若m为斜边，
∴m，
∴m＝4或；
（2）∵a，b，m这三个数的平均数，仍小于m，
∴m，
∴m＞4，
又∵5﹣3＜m＜5+3，
∴2＜m＜8，
∴4＜m＜8，
∵m为整数，
∴m＝5，6，7．
20．解：设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．
则有CA＝DA＝130m，
在Rt△ABC中，CB50（m），
∴CD＝2CB＝100（m），
则该校受影响的时间为：100÷5＝20（s）．
答：该学校受影响的时间为20s，
21．解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵BD＝3，AB＝5，
∴AD4，
∵CD长为x，
∴AC2＝AD2+CD2＝42+x2＝16+x2，
答案为：16+x2；
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝BD+CD，BD＝3，CD＝x，
∴BC＝BD+CD＝3+x，
∵AC2＝BC2﹣AB2，AC2＝16+x2，
∴（3+x）2﹣52＝16+x2，
解得x．
22．（1）证明：连接AE、CE，
∵∠BAD＝90°，E为BD中点，
∴AEDB，
∵∠DCB＝90°，
∴CEDB，
∴AE＝CE，
∵F是AC中点，
∴EF⊥AC；
（2）解：∵AC＝8，BD＝10，E、F分别是边AC、BD的中点，
∴AE＝CE＝5，CF＝4，
∵EF⊥AC．
∴EF3．
23．证明：连接BD，过点E作EF⊥CB，交CB的延长线于点F，如图所示：
∴∠F＝90°
∵∠DAB＝90°，∠C＝∠AED＝90°，
∴∠EAD+∠BAE＝90°，
∵△ABC≌ADE，
∴∠CAB＝∠EAD，
∴∠CAB+∠BAE＝90°，
即∠CAE＝90°，
∴∠C＝∠CAE＝∠F＝90°，
∴四边形ACFB是矩形，
∴AC＝EF＝b，AE＝CF＝b，
∴BF＝b﹣a，
∴S△ADEab，S△ABEb2，S△ABDc2，S△BDEa（b﹣a），
∵S四边形ABED＝S△ABE+S△ADE＝S△ABD+S△BDE，
∴b2abc2a（b﹣a），
整理得：a2+b2＝c2．
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