/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第五章 四边形
专题十一 十字模型
模型一 正方形中的十字模型
(1)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD上的两点，则有AE⊥BF AE＝BF(互逆).
(2)如图2，在正方形ABCD中，点E在边CD上，点F，H分别在边AD，BC上，则有AE⊥FH AE＝FH(不互逆).
(3)如图3，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，CD，AD，BC上，则有EF⊥GH EF＝GH(不互逆).
1．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，DE＝CF，AF与BE 相交于点G.
(1)求证：BE＝AF；
(2)若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAE＝∠D＝90°.
∵DE＝CF，
∴AD－DE＝CD－CF，即AE＝DF，
∴△ABE≌△DAF(SAS)，
∴BE＝AF.
(2)解：∵AD＝AB＝4，
∴AE＝AD－DE＝3.
∵∠BAE＝90°，
∴BE＝＝＝5.
由(1)知△ABE≌△DAF，
∴∠EBA＝∠FAD，
∴∠FAD＋∠AEB＝∠EBA＋∠AEB＝90°，
∴∠AGE＝∠BAE＝90°，
∴△AGE∽△BAE，
∴＝，即＝，
解得AG＝.
2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD的延长线上，连接AE，BF交于点G，若AE⊥BF，求证：AE＝BF.
证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠CBF＋∠ABG＝90°.
∵AE⊥BF，
∴∠AGB＝90°，
∴∠BAE＋∠ABG＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
∴△BAE≌△CBF(ASA)，
∴AE＝BF.
3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为BC的中点，点F在AD上，且DF＝3AF，连接EF，O是EF上一点，过点O作HG⊥EF，交CD于点G，交AB于点H，求 HG 的长．
解：过点F作FM⊥BC于点M，过点G作GN⊥AB于点N，
易得FM⊥GN.
又∵HG⊥EF，
∴∠MFE＝∠NGH.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝AD，
∴FM＝GN，
∴△MFE≌△NGH(ASA)，
∴EF＝HG.
∵DF＝3AF，
∴AF＝AD＝AB＝1.
∵E是BC的中点，
∴BE＝BC＝AB＝2.
易得AF＝BM，
∴EM＝BE－BM＝BE－AF＝1.
又∵FM＝AB＝4，
∴EF＝＝，
∴HG＝EF＝.
模型二 矩形中的十字模型
如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，则有CE⊥BD ＝.
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是边BC上一点，点F在边BA的延长线上，且CE＝AF，连接EF，交边AD于点G，HN垂直平分EF，分别交AD，EF，AB于点H，M，N.若CE＝2，求MH的长．
解：连接EN.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°.
∵AB＝6，BC＝8，CE＝AF＝2，
∴BE＝6，BF＝8，
∴EF＝＝10.
∵HN垂直平分EF，
∴FN＝EN，FM＝EF＝5，HN⊥EF.
∵BE2＋BN2＝EN2，
∴62＋BN2＝(8－BN)2，
∴BN＝，
∴FN＝BF－BN＝，AN＝AB－BN＝，
∴NM＝＝.
∵∠FAG＝∠HMG＝90°，∠AGF＝∠HGM，
∴∠F＝∠GHM，
∵∠NAH＝∠FMN＝90°，
∴△FMN∽△HAN，
∴＝，∴＝，
∴HN＝，
∴MH＝HN－NM＝.
5．在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，F为边CD上一点，连接AE，BF交于点G，∠AGB＝∠C＝α.
(1)如图1，当α＝90°时，求证：＝；
(2)如图2，若tan C＝2，AB＝BF，∠ABF＝90°，求的值．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠AGB＝∠C＝α＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，∴∠ABE＝90°＝∠C，
∴∠ABG＋∠BAG＝∠ABG＋∠CBG＝90°，
∴∠BAG＝∠CBG，∴△ABE∽△BCF，
∴＝.
(2)解：延长AE，DC交于点P.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠BFC＝∠ABF＝90°.
在Rt△BCF中，设CF＝m，
∵tan ∠BCF＝＝2，∴BF＝2CF＝2m.
∵AB＝BF，∴AB＝2m.
∵∠AGB＝∠C＝α，
∴在Rt△ABG中，tan ∠AGB＝tan C＝＝2，
∴BG＝m，∴AG＝＝m.
∵FG＝BF－BG＝2m－m＝m，∴FG＝BG.
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠P，∠ABG＝∠PFG，
∴△ABG≌△PFG(AAS)，
∴PG＝AG＝m，PF＝AB＝2m，
∴PC＝m，AP＝2m.
∵AB∥DC，∴△ABE∽△PCE，
∴＝＝2，∴AE＝AP＝m，
∴＝＝.
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专题十一 十字模型
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第五章 四边形
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图2/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第五章 四边形
专题十一 十字模型
模型一 正方形中的十字模型
(1)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD上的两点，则有AE⊥BF AE＝BF(互逆).
(2)如图2，在正方形ABCD中，点E在边CD上，点F，H分别在边AD，BC上，则有AE⊥FH AE＝FH(不互逆).
(3)如图3，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，CD，AD，BC上，则有EF⊥GH EF＝GH(不互逆).
1．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，DE＝CF，AF与BE 相交于点G.
(1)求证：BE＝AF；
(2)若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAE＝∠D＝90°.
∵DE＝CF，
∴AD－DE＝CD－CF，即AE＝DF，
∴△ABE≌△DAF(SAS)，
∴BE＝AF.
(2)解：∵AD＝AB＝4，
∴AE＝AD－DE＝3.
∵∠BAE＝90°，
∴BE＝＝＝5.
由(1)知△ABE≌△DAF，
∴∠EBA＝∠FAD，
∴∠FAD＋∠AEB＝∠EBA＋∠AEB＝90°，
∴∠AGE＝∠BAE＝90°，
∴△AGE∽△BAE，
∴＝，即＝，
解得AG＝.
2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD的延长线上，连接AE，BF交于点G，若AE⊥BF，求证：AE＝BF.
证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠CBF＋∠ABG＝90°.
∵AE⊥BF，
∴∠AGB＝90°，
∴∠BAE＋∠ABG＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
∴△BAE≌△CBF(ASA)，
∴AE＝BF.
3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为BC的中点，点F在AD上，且DF＝3AF，连接EF，O是EF上一点，过点O作HG⊥EF，交CD于点G，交AB于点H，求 HG 的长．
解：过点F作FM⊥BC于点M，过点G作GN⊥AB于点N，
易得FM⊥GN.
又∵HG⊥EF，
∴∠MFE＝∠NGH.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝AD，
∴FM＝GN，
∴△MFE≌△NGH(ASA)，
∴EF＝HG.
∵DF＝3AF，
∴AF＝AD＝AB＝1.
∵E是BC的中点，
∴BE＝BC＝AB＝2.
易得AF＝BM，
∴EM＝BE－BM＝BE－AF＝1.
又∵FM＝AB＝4，
∴EF＝＝，
∴HG＝EF＝.
模型二 矩形中的十字模型
如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，则有CE⊥BD ＝.
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是边BC上一点，点F在边BA的延长线上，且CE＝AF，连接EF，交边AD于点G，HN垂直平分EF，分别交AD，EF，AB于点H，M，N.若CE＝2，求MH的长．
解：连接EN.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°.
∵AB＝6，BC＝8，CE＝AF＝2，
∴BE＝6，BF＝8，
∴EF＝＝10.
∵HN垂直平分EF，
∴FN＝EN，FM＝EF＝5，HN⊥EF.
∵BE2＋BN2＝EN2，
∴62＋BN2＝(8－BN)2，
∴BN＝，
∴FN＝BF－BN＝，AN＝AB－BN＝，
∴NM＝＝.
∵∠FAG＝∠HMG＝90°，∠AGF＝∠HGM，
∴∠F＝∠GHM，
∵∠NAH＝∠FMN＝90°，
∴△FMN∽△HAN，
∴＝，∴＝，
∴HN＝，
∴MH＝HN－NM＝.
5．在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，F为边CD上一点，连接AE，BF交于点G，∠AGB＝∠C＝α.
(1)如图1，当α＝90°时，求证：＝；
(2)如图2，若tan C＝2，AB＝BF，∠ABF＝90°，求的值．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠AGB＝∠C＝α＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，∴∠ABE＝90°＝∠C，
∴∠ABG＋∠BAG＝∠ABG＋∠CBG＝90°，
∴∠BAG＝∠CBG，∴△ABE∽△BCF，
∴＝.
(2)解：延长AE，DC交于点P.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠BFC＝∠ABF＝90°.
在Rt△BCF中，设CF＝m，
∵tan ∠BCF＝＝2，∴BF＝2CF＝2m.
∵AB＝BF，∴AB＝2m.
∵∠AGB＝∠C＝α，
∴在Rt△ABG中，tan ∠AGB＝tan C＝＝2，
∴BG＝m，∴AG＝＝m.
∵FG＝BF－BG＝2m－m＝m，∴FG＝BG.
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠P，∠ABG＝∠PFG，
∴△ABG≌△PFG(AAS)，
∴PG＝AG＝m，PF＝AB＝2m，
∴PC＝m，AP＝2m.
∵AB∥DC，∴△ABE∽△PCE，
∴＝＝2，∴AE＝AP＝m，
∴＝＝.
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