/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第五章 四边形
专题十 矩形中的折叠问题
类型一 折痕过对角线
1．折叠问题常见的类型有：
2.如图，折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形．
(1)线段相等：ED′＝AD，EG＝AG，FD′＝FD；
(2)角度相等：∠D′EG＝∠DAG，∠D′＝∠D，∠D′FG＝∠DFG；
(3)全等关系：四边形FD′EG≌四边形FDAG．
3．折痕可看作垂直平分线：GF⊥AE(折痕垂直平分连接两个对应点的连线).
4．折痕可看作角平分线：∠EGF＝∠AGF(对称线段所在的直线与折痕的夹角相等).
5．折叠可以构造中点，同时构造中位线．
6．等腰遇角平分线，则平行必出现．
7．折叠遇平行线，则等腰必出现(“平行线＋角平分线”等腰必出现)，折叠出等腰．
8．求解矩形的折叠问题时，常用的解题方法有：
①勾股定理；②相似；③三角函数；④等面积法.
1．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线折叠．若BC＝9，CD＝3，则阴影部分的面积为．
2．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，将△ABC沿AC折叠，点B落在点E处，CE交AD于点F，连接DE，OF.
(1)线段OF与AC的位置关系是OF⊥AC；
(2)若AB＝BD，BC＝3，则四边形AODE的周长为4．
类型二 折痕过顶点
3．如图，把矩形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D′落在∠BAC内部．若∠CAE＝2∠BAD′，且∠CAD′＝20°，则∠DAE的度数为( B )
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在边AB上的点F处，则CE的长是( D )
A．1 B． C． D．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos ∠BCF的值为．
类型三 折痕过两边
6．(2020·荆州)将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是( D )
A．45° B．55° C．65° D．75°
7．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝7，BC＝9，M是BC上的点，且CM＝2.将矩形纸片ABCD沿过点M 的直线折叠，使点D落在边AB上的点P处，点C落在点C′处，折痕为MN，则线段 PA的长是( B )
A.4
B．5
C．6
D．2
8．(2020·武汉)如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在边AB上的点M处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2.设AM＝t，用含t的式子表示四边形CDEF的面积是t2－t＋1．
9．(2019·咸宁)如图，现有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在点G处，连接 PC，交MN于点 Q，连接CM.下列结论：①CQ＝CD；②四边形CMPN是菱形；③点P，A重合时，MN＝2；④△PQN的面积S的取值范围是3≤S≤5.其中正确的是②③(填序号).
第9题图
10．(2023 ·仙桃、潜江、天门联考)如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线 EF 折叠，使点B的对应点M落在边AD 上(点M不与点A，D重合)，点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接 BM.
(1)求证：∠AMB＝∠BMP；
(2)若DP＝1，求MD的长．
(1)证明：点B，M关于线段EF对称，由翻折的性质可知，∠MBC＝∠BMP.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠MBC＝∠AMB，
∴∠AMB＝∠BMP.
(2)解：设MD＝x，则AM＝3－x，设AE＝y，则EM＝EB＝3－y.
在Rt△AEM中，AE2＋AM2＝EM2，
∴y2＋(3－x)2＝(3－y)2，
∴y＝－x2＋x，即AE＝－x2＋x.
由折叠知∠EMN＝∠ABC＝90°，
∴∠AME＋∠DMP＝90°.
又∵∠AEM＋∠AME＝90°，
∴∠AEM＝∠DMP.
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△DMP∽△AEM，
∴＝，即＝，解得x＝，
∴MD＝.
类型四 折痕过动点
11．如图，在矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点．若将△EBF沿EF 对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为10.
12．如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为 MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，EF交边BC 于点H，EN＝2，AB＝4.当H为GN的三等分点时，MD的长为2－4或4．
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专题十 矩形中的折叠问题
考点精讲精练
第五章 四边形
AD
AG
FD
∠DAG
∠D
∠DFG
四边形FDAG
AE
∠AGF
OF⊥AC
B
D
D
B
②③
10
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第五章 四边形
专题十 矩形中的折叠问题
类型一 折痕过对角线
1．折叠问题常见的类型有：
2.如图，折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形．
(1)线段相等：ED′＝AD，EG＝AG，FD′＝FD；
(2)角度相等：∠D′EG＝∠DAG，∠D′＝∠D，∠D′FG＝∠DFG；
(3)全等关系：四边形FD′EG≌四边形FDAG．
3．折痕可看作垂直平分线：GF⊥AE(折痕垂直平分连接两个对应点的连线).
4．折痕可看作角平分线：∠EGF＝∠AGF(对称线段所在的直线与折痕的夹角相等).
5．折叠可以构造中点，同时构造中位线．
6．等腰遇角平分线，则平行必出现．
7．折叠遇平行线，则等腰必出现(“平行线＋角平分线”等腰必出现)，折叠出等腰．
8．求解矩形的折叠问题时，常用的解题方法有：
①勾股定理；②相似；③三角函数；④等面积法.
1．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线折叠．若BC＝9，CD＝3，则阴影部分的面积为．
2．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，将△ABC沿AC折叠，点B落在点E处，CE交AD于点F，连接DE，OF.
(1)线段OF与AC的位置关系是OF⊥AC；
(2)若AB＝BD，BC＝3，则四边形AODE的周长为4．
类型二 折痕过顶点
3．如图，把矩形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D′落在∠BAC内部．若∠CAE＝2∠BAD′，且∠CAD′＝20°，则∠DAE的度数为( B )
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在边AB上的点F处，则CE的长是( D )
A．1 B． C． D．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos ∠BCF的值为．
类型三 折痕过两边
6．(2020·荆州)将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是( D )
A．45° B．55° C．65° D．75°
7．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝7，BC＝9，M是BC上的点，且CM＝2.将矩形纸片ABCD沿过点M 的直线折叠，使点D落在边AB上的点P处，点C落在点C′处，折痕为MN，则线段 PA的长是( B )
A.4
B．5
C．6
D．2
8．(2020·武汉)如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在边AB上的点M处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2.设AM＝t，用含t的式子表示四边形CDEF的面积是t2－t＋1．
9．(2019·咸宁)如图，现有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在点G处，连接 PC，交MN于点 Q，连接CM.下列结论：①CQ＝CD；②四边形CMPN是菱形；③点P，A重合时，MN＝2；④△PQN的面积S的取值范围是3≤S≤5.其中正确的是②③(填序号).
第9题图
10．(2023 ·仙桃、潜江、天门联考)如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线 EF 折叠，使点B的对应点M落在边AD 上(点M不与点A，D重合)，点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接 BM.
(1)求证：∠AMB＝∠BMP；
(2)若DP＝1，求MD的长．
(1)证明：点B，M关于线段EF对称，由翻折的性质可知，∠MBC＝∠BMP.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠MBC＝∠AMB，
∴∠AMB＝∠BMP.
(2)解：设MD＝x，则AM＝3－x，设AE＝y，则EM＝EB＝3－y.
在Rt△AEM中，AE2＋AM2＝EM2，
∴y2＋(3－x)2＝(3－y)2，
∴y＝－x2＋x，即AE＝－x2＋x.
由折叠知∠EMN＝∠ABC＝90°，
∴∠AME＋∠DMP＝90°.
又∵∠AEM＋∠AME＝90°，
∴∠AEM＝∠DMP.
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△DMP∽△AEM，
∴＝，即＝，解得x＝，
∴MD＝.
类型四 折痕过动点
11．如图，在矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点．若将△EBF沿EF 对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为10.
12．如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为 MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，EF交边BC 于点H，EN＝2，AB＝4.当H为GN的三等分点时，MD的长为2－4或4．
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