/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第六章 圆
专题十二 圆中常见辅助线的作法
类型一 连半径，构等腰
在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件，我们通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理，解决角度的计算问题．
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则∠BAO的度数为( D )
A．25° B．50° C．60° D．65°
2．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠A＝80°，∠C＝60°，则∠B的度数为140°．
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E.已知AB＝2DE，∠E＝25°，求∠AOC的度数．
解：连接OD.
∵AB＝2DE＝2OD，
∴OD＝DE，
∴∠DOE＝∠E＝25°，
∴∠ODC＝∠DOE＋∠E＝50°.
∵OC＝OD，
∴∠C＝∠ODC＝50°，
∴∠AOC＝∠E＋∠C＝75°.
类型二 遇90°的圆周角，添加直径；遇直径，构造直径所对的圆周角
①遇直径时，常构造直径所对的圆周角．如图 1，AB为直径，连接AC ∠C＝90°；
②遇90°的圆周角时，常连接圆周角的两边与圆的交点，得到直径．如图2，∠C＝90°，连接AB AB为直径．
4．(2021·随州)如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长，交⊙O于点D.若∠C＝50°，则∠BAD的度数为40°．
5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB与⊙O交于点D，AC与OO交于点E.若AD＝3，AE＝4，则⊙O的半径为．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE.
(1)求证：BD＝CD；
(2)若tan C＝，BD＝4，求AE的长．
(1)证明：连接AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC.
∵AB＝AC，∴BD＝CD.
(2)解：∵CD＝BD＝4，
∴BC＝BD＋CD＝8.
在Rt△ADC中，tan C＝＝，
∴AD＝CD·tan C＝4×＝2，
∴AC＝＝＝2.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°＝∠ADC.
∵∠C＝∠C，∴△CEB∽△CDA，
∴＝，∴＝，
∴CE＝，
∴AE＝CE－AC＝.
类型三 遇弦，作弦心距或连半径；遇中点，连圆心利用垂径定理
遇弦求圆的半径或弦长时：①有半径，作弦心距(圆心到弦的距离d)；②有弦心距，连过弦的端点的半径，构造直角三角形并结合垂径定理解题．由图易知AD＝BD＝，d2＋()2＝r2，h＋d＝r.
7．(2020·武汉)如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E.若E是BD的中点，则AC的长是( D )
A． B．3 C．3 D．4
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°.若⊙O的半径为2，则弦BC的长为2．
类型四 遇切线，连圆心和切点
9．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线，交AC于点E，DE⊥AC.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若⊙O的直径为13，BC＝24，求DE的长．
(1)证明：连接OD.
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE.
∵DE⊥AC，∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C.
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.
(2)解：连接AD.∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.
由(1)知AB＝AC，∴AC＝13，BD＝CD＝BC＝12，
∴AD＝＝＝5.
∵S△ACD＝AD·CD＝AC·DE，
∴DE＝＝.
类型五 有切点证切线，连半径；无切点证切线，作垂直，证半径
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD.求证：直线CD与⊙O相切．
证明：过点O作OE⊥CD于点E，则∠OEC＝90°.
∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴∠OBC＝180°－∠DAB＝90°，
∴OB⊥BC.
∵CO平分∠BCD，∴OE＝OB，
∴直线CD与⊙O相切．
11．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以点O为圆心，OA长为半径的圆交AB于点C，点D在边OB上，且CD＝BD.
(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)已知tan ∠ODC＝，AB＝40，求⊙O的半径．
解：(1)直线CD与⊙O相切．
理由如下：连接OC.
∵OA＝OC，CD＝BD，
∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠DCB.
∵∠AOB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，
∴∠ACO＋∠DCB＝90°，
∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD.
又∵OC为⊙O的半径，
∴直线CD与⊙O相切．
(2)∵在Rt△OCD中，tan ∠ODC＝＝，
∴设CD＝7x，OC＝24x，
∴BD＝CD＝7x，OA＝OC＝24x.
由(1)知∠OCD＝90°，
∴OD＝＝25x，
∴OB＝OD＋BD＝32x.
∵∠AOB＝90°，∴AB2＝OA2＋OB2，
即1 600＝576x2＋1 024x2，解得x＝1(负值已舍去)，
∴OA＝OC＝24，
∴⊙O的半径为24.
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专题十二 圆中常见辅助线的作法
考点精讲精练
第六章 圆
D
140°
40°
D
谢谢
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第六章 圆
专题十二 圆中常见辅助线的作法
类型一 连半径，构等腰
在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件，我们通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理，解决角度的计算问题．
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则∠BAO的度数为( D )
A．25° B．50° C．60° D．65°
2．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠A＝80°，∠C＝60°，则∠B的度数为140°．
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E.已知AB＝2DE，∠E＝25°，求∠AOC的度数．
解：连接OD.
∵AB＝2DE＝2OD，
∴OD＝DE，
∴∠DOE＝∠E＝25°，
∴∠ODC＝∠DOE＋∠E＝50°.
∵OC＝OD，
∴∠C＝∠ODC＝50°，
∴∠AOC＝∠E＋∠C＝75°.
类型二 遇90°的圆周角，添加直径；遇直径，构造直径所对的圆周角
①遇直径时，常构造直径所对的圆周角．如图 1，AB为直径，连接AC ∠C＝90°；
②遇90°的圆周角时，常连接圆周角的两边与圆的交点，得到直径．如图2，∠C＝90°，连接AB AB为直径．
4．(2021·随州)如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长，交⊙O于点D.若∠C＝50°，则∠BAD的度数为40°．
5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB与⊙O交于点D，AC与OO交于点E.若AD＝3，AE＝4，则⊙O的半径为．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE.
(1)求证：BD＝CD；
(2)若tan C＝，BD＝4，求AE的长．
(1)证明：连接AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC.
∵AB＝AC，∴BD＝CD.
(2)解：∵CD＝BD＝4，
∴BC＝BD＋CD＝8.
在Rt△ADC中，tan C＝＝，
∴AD＝CD·tan C＝4×＝2，
∴AC＝＝＝2.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°＝∠ADC.
∵∠C＝∠C，∴△CEB∽△CDA，
∴＝，∴＝，
∴CE＝，
∴AE＝CE－AC＝.
类型三 遇弦，作弦心距或连半径；遇中点，连圆心利用垂径定理
遇弦求圆的半径或弦长时：①有半径，作弦心距(圆心到弦的距离d)；②有弦心距，连过弦的端点的半径，构造直角三角形并结合垂径定理解题．由图易知AD＝BD＝，d2＋()2＝r2，h＋d＝r.
7．(2020·武汉)如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E.若E是BD的中点，则AC的长是( D )
A． B．3 C．3 D．4
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°.若⊙O的半径为2，则弦BC的长为2．
类型四 遇切线，连圆心和切点
9．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线，交AC于点E，DE⊥AC.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若⊙O的直径为13，BC＝24，求DE的长．
(1)证明：连接OD.
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE.
∵DE⊥AC，∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C.
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.
(2)解：连接AD.∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.
由(1)知AB＝AC，∴AC＝13，BD＝CD＝BC＝12，
∴AD＝＝＝5.
∵S△ACD＝AD·CD＝AC·DE，
∴DE＝＝.
类型五 有切点证切线，连半径；无切点证切线，作垂直，证半径
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD.求证：直线CD与⊙O相切．
证明：过点O作OE⊥CD于点E，则∠OEC＝90°.
∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴∠OBC＝180°－∠DAB＝90°，
∴OB⊥BC.
∵CO平分∠BCD，∴OE＝OB，
∴直线CD与⊙O相切．
11．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以点O为圆心，OA长为半径的圆交AB于点C，点D在边OB上，且CD＝BD.
(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)已知tan ∠ODC＝，AB＝40，求⊙O的半径．
解：(1)直线CD与⊙O相切．
理由如下：连接OC.
∵OA＝OC，CD＝BD，
∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠DCB.
∵∠AOB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，
∴∠ACO＋∠DCB＝90°，
∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD.
又∵OC为⊙O的半径，
∴直线CD与⊙O相切．
(2)∵在Rt△OCD中，tan ∠ODC＝＝，
∴设CD＝7x，OC＝24x，
∴BD＝CD＝7x，OA＝OC＝24x.
由(1)知∠OCD＝90°，
∴OD＝＝25x，
∴OB＝OD＋BD＝32x.
∵∠AOB＝90°，∴AB2＝OA2＋OB2，
即1 600＝576x2＋1 024x2，解得x＝1(负值已舍去)，
∴OA＝OC＝24，
∴⊙O的半径为24.
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