/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第六章 圆
第23讲 圆的基本性质
圆的相关概念与性质
1．相关概念
圆 圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点称为圆心，定长称为半径．如图，以点O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径
弦 连接圆上任意两点的线段，如图中的AC，BC
直径 经过圆心的弦．直径等于半径的2倍
弧 圆上任意两点间的部分，如图中的，，； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，如图中的； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的，； 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧
圆周角 在圆中，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，如图中的∠ACB
圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角，如图中的∠AOB
2.性质
对称性 (1)圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴； (2)圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
旋转 不变性 圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合
弦、弧、圆心角之间的关系
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
推论 (1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等
圆周角定理及其推论
定理 (1)内容：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； (2)常见图形： (3)结论：∠APB＝∠AOB
推论 (1)同弧或等弧所对的圆周角相等； (2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径
垂径定理及其推论
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧
推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧
结论 (1)＝；(2)＝；(3)AE＝BE； (4)AB⊥CD(AB不是直径)； (5)CD是⊙O的直径． 若其中任意两个结论成立，那么其他三个结论也成立，即“知二推三”
【夺分宝典】半径、弦心距和弦的一半构成直角三角形，满足勾股定理OB2＝OE2＋BE2，常用于在圆中求线段长．
三角形的外接圆
定义 外心(三角形外接圆圆心或三角形三边垂直平分线的交点)
性质 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等
角度关系 ∠BOC＝2∠A
圆内接四边形
定义 所有顶点都在同一个圆上的四边形
性质 (1)圆内接四边形的对角互补，如图，∠A＋∠BCD＝180°，∠B＋∠D＝180°； (2)圆内接四边形的任一个角的外角等于它的内对角，如图，∠DCE＝∠A
(一题多设问)如图1，在⊙O中，点A，D分别在直径BC两侧的圆上，连接AB，AC，AD，BD，AO，且AD与BC相交于点E，已知∠ACB＝30°.解答下列问题：
图1
(1)∠BAC的度数为90°，∠OAC的度数为30°，∠AOB的度数为60°，∠ADB的度数为30°；
(2)连接 OD，若∠ABD＝120°，则∠AOD的度数为120°，∠OAD的度数为30°；
(3)如图2，连接 CD，若 CD＝BD，⊙O的半径为2.
图2
①AB的长为2；
②BD的长为2；
③AD的长为＋．
(一题多设问)如图，在⊙O中，OA与弦BC相交于点D，E为⊙O上一点，连接AE，BE，OC，且OA⊥BC.
(1)若∠BEA＝30°，则∠AOC的度数为60°；
(2)若BC＝2，则CD的长为；
(3)若CO的延长线交⊙O于点E，OD＝2，则BE的长为4；
(4)若CO＝5，BC＝8，则OD的长为3；
(5)若BC＝4，AD＝1，则⊙O的半径长为．
命题点1 圆周角定理及其推论
1．(2020·宜昌)如图，E，F，G为圆上的三点，∠E＝50°，则点P可能是圆心的是( C )
2．(2023·仙桃、潜江、天门联考)如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD.若∠C＝20°，∠BPC＝70°，则∠ADC的度数为( D )
A．70° B．60° C．50° D．40°
3．(2024·湖北)如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点D，画射线BD，连接AC.若∠CAB＝50°，则∠CBD的度数是( C )
A．30° B．25° C．20° D．15°
4．(2021·十堰)如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD是⊙O的直径．若AD＝3，则BC的长为( C )
A．2 B．3 C．3 D．4
5．(2021·荆州)如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上．若A(2，0)，D(4，0)，以点O为圆心，OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是( C )
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
6．(2021·黄冈、孝感、咸宁联考)如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB，交⊙O于点E，垂足为D，AE，CB的延长线交于点F.若OD＝3，AB＝8，则FC的长是( A )
A．10 B．8 C．6 D．4
7．(2023·襄阳)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE＝70°，则∠AOC的度数为140°．
8．(2022·襄阳)已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为，那么弦AC所对的圆周角的度数为45°或135°．
9．(2023·武汉)如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC.
(1)求证：∠AOB＝2∠BOC；
(2)若AB＝4，BC＝，求⊙O的半径．
(1)证明：∵∠ACB＝∠AOB，∠BAC＝∠BOC，∠ACB＝2∠BAC，
∴∠AOB＝2∠BOC.
(2)解：过点O作半径OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，连接DB，
∴AE＝BE＝AB＝2，∠DOB＝∠AOB.
由(1)知∠AOB＝2∠BOC，
∴∠DOB＝∠BOC，
∴BD＝BC＝.
在Rt△BDE 中，∠DEB＝90°，
∴DE＝＝1.
在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，
∴OB2＝OE2＋BE2，
即OB2＝(OB－1)2＋22，
解得OB＝，
即⊙O的半径是.
命题点2 垂径定理及其推论
10．(2023·宜昌)如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB相交于点D.若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为( B )
A．5 B．4 C．3 D．2
11．(2022·荆门)如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E.若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为( A )
A．36 B．24
C．18 D．72
12．(2023·随州)如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝60°，则∠ADC的度数为30°．
13．(2022·荆州)如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20 cm，底面直径BC＝12 cm，球的最高点到瓶底面的距离为32 cm，则球的半径为7.5cm.(玻璃瓶厚度忽略不计)
14．(2022·宜昌)石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶(如图1)，隋代建造的赵州桥距今约有1 400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为.桥的跨度(弧所对的弦长)AB＝26 m，设所在圆的圆心为点O，半径OC⊥AB，垂足为D.拱高(弧的中点到弦的距离)CD＝5 m，连接OB.
(1)直接判断AD与BD的数量关系；
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径．(结果精确到1 m)
解：(1)AD＝BD.
(2)设主桥拱的半径为R m，
∴OD＝OC－CD＝(R－5)m.
∵AB＝26 m，
∴BD＝AB＝13 m.
∵OC⊥AB，∴∠ODB＝90°，
∴OD2＋BD2＝OB2，
即(R－5)2＋132＝R2，
解得R≈19.
答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19 m．
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第六章 圆
第23讲 圆的基本性质
圆的相关概念与性质
1．相关概念
圆 圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点称为圆心，定长称为半径．如图，以点O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径
弦 连接圆上任意两点的线段，如图中的AC，BC
直径 经过圆心的弦．直径等于半径的2倍
弧 圆上任意两点间的部分，如图中的，，； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，如图中的； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的，； 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧
圆周角 在圆中，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，如图中的∠ACB
圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角，如图中的∠AOB
2.性质
对称性 (1)圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴； (2)圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
旋转 不变性 圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合
弦、弧、圆心角之间的关系
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
推论 (1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等
圆周角定理及其推论
定理 (1)内容：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； (2)常见图形： (3)结论：∠APB＝∠AOB
推论 (1)同弧或等弧所对的圆周角相等； (2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径
垂径定理及其推论
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧
推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧
结论 (1)＝；(2)＝；(3)AE＝BE； (4)AB⊥CD(AB不是直径)； (5)CD是⊙O的直径． 若其中任意两个结论成立，那么其他三个结论也成立，即“知二推三”
【夺分宝典】半径、弦心距和弦的一半构成直角三角形，满足勾股定理OB2＝OE2＋BE2，常用于在圆中求线段长．
三角形的外接圆
定义 外心(三角形外接圆圆心或三角形三边垂直平分线的交点)
性质 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等
角度关系 ∠BOC＝2∠A
圆内接四边形
定义 所有顶点都在同一个圆上的四边形
性质 (1)圆内接四边形的对角互补，如图，∠A＋∠BCD＝180°，∠B＋∠D＝180°； (2)圆内接四边形的任一个角的外角等于它的内对角，如图，∠DCE＝∠A
(一题多设问)如图1，在⊙O中，点A，D分别在直径BC两侧的圆上，连接AB，AC，AD，BD，AO，且AD与BC相交于点E，已知∠ACB＝30°.解答下列问题：
图1
(1)∠BAC的度数为90°，∠OAC的度数为30°，∠AOB的度数为60°，∠ADB的度数为30°；
(2)连接 OD，若∠ABD＝120°，则∠AOD的度数为120°，∠OAD的度数为30°；
(3)如图2，连接 CD，若 CD＝BD，⊙O的半径为2.
图2
①AB的长为2；
②BD的长为2；
③AD的长为＋．
(一题多设问)如图，在⊙O中，OA与弦BC相交于点D，E为⊙O上一点，连接AE，BE，OC，且OA⊥BC.
(1)若∠BEA＝30°，则∠AOC的度数为60°；
(2)若BC＝2，则CD的长为；
(3)若CO的延长线交⊙O于点E，OD＝2，则BE的长为4；
(4)若CO＝5，BC＝8，则OD的长为3；
(5)若BC＝4，AD＝1，则⊙O的半径长为．
命题点1 圆周角定理及其推论
1．(2020·宜昌)如图，E，F，G为圆上的三点，∠E＝50°，则点P可能是圆心的是( C )
2．(2023·仙桃、潜江、天门联考)如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD.若∠C＝20°，∠BPC＝70°，则∠ADC的度数为( D )
A．70° B．60° C．50° D．40°
3．(2024·湖北)如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点D，画射线BD，连接AC.若∠CAB＝50°，则∠CBD的度数是( C )
A．30° B．25° C．20° D．15°
4．(2021·十堰)如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD是⊙O的直径．若AD＝3，则BC的长为( C )
A．2 B．3 C．3 D．4
5．(2021·荆州)如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上．若A(2，0)，D(4，0)，以点O为圆心，OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是( C )
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
6．(2021·黄冈、孝感、咸宁联考)如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB，交⊙O于点E，垂足为D，AE，CB的延长线交于点F.若OD＝3，AB＝8，则FC的长是( A )
A．10 B．8 C．6 D．4
7．(2023·襄阳)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE＝70°，则∠AOC的度数为140°．
8．(2022·襄阳)已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为，那么弦AC所对的圆周角的度数为45°或135°．
9．(2023·武汉)如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC.
(1)求证：∠AOB＝2∠BOC；
(2)若AB＝4，BC＝，求⊙O的半径．
(1)证明：∵∠ACB＝∠AOB，∠BAC＝∠BOC，∠ACB＝2∠BAC，
∴∠AOB＝2∠BOC.
(2)解：过点O作半径OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，连接DB，
∴AE＝BE＝AB＝2，∠DOB＝∠AOB.
由(1)知∠AOB＝2∠BOC，
∴∠DOB＝∠BOC，
∴BD＝BC＝.
在Rt△BDE 中，∠DEB＝90°，
∴DE＝＝1.
在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，
∴OB2＝OE2＋BE2，
即OB2＝(OB－1)2＋22，
解得OB＝，
即⊙O的半径是.
命题点2 垂径定理及其推论
10．(2023·宜昌)如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB相交于点D.若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为( B )
A．5 B．4 C．3 D．2
11．(2022·荆门)如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E.若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为( A )
A．36 B．24
C．18 D．72
12．(2023·随州)如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝60°，则∠ADC的度数为30°．
13．(2022·荆州)如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20 cm，底面直径BC＝12 cm，球的最高点到瓶底面的距离为32 cm，则球的半径为7.5cm.(玻璃瓶厚度忽略不计)
14．(2022·宜昌)石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶(如图1)，隋代建造的赵州桥距今约有1 400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为.桥的跨度(弧所对的弦长)AB＝26 m，设所在圆的圆心为点O，半径OC⊥AB，垂足为D.拱高(弧的中点到弦的距离)CD＝5 m，连接OB.
(1)直接判断AD与BD的数量关系；
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径．(结果精确到1 m)
解：(1)AD＝BD.
(2)设主桥拱的半径为R m，
∴OD＝OC－CD＝(R－5)m.
∵AB＝26 m，
∴BD＝AB＝13 m.
∵OC⊥AB，∴∠ODB＝90°，
∴OD2＋BD2＝OB2，
即(R－5)2＋132＝R2，
解得R≈19.
答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19 m．
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中考数学一轮复习课件
人教版
2025年中考数学 一轮复习（回归教材夯实基础）
第23讲 圆的基本性质
考点精讲精练
第六章 圆
知识点1 圆的相关概念与性质
1．相关概念
圆心
圆心
圆心
圆心
知识点2 弦、弧、圆心角之间的关系
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
推论 (1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等
知识点3 圆周角定理及其推论
一半
直角
知识点4 垂径定理及其推论
平分这条弦
BE
知识点5 三角形的外接圆
三边垂直平分线
相等
知识点6 圆内接四边形
互补
90°
30°
60°
30°
120°
30°
2
60°
4
3
C
D
C
C
C
A
140°
45°或135°
B
A
30°
7.5
谢谢
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