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第七章 图形与变换
第27讲 图形的对称、平移与旋转
图形的对称
1．轴对称与轴对称图形
轴对称 轴对称图形
定义 把一个图形沿某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴 如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分能够完全重合，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴
图形
区别 指位置关系，对称轴只有一条 指一个图形，对称轴不一定只有一条
性质 对应线段相等 AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′ AB＝A′B′，BD＝B′D，AE＝A′E
对应角相等 ∠BAC＝∠B′A′C′，∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′ ∠BAE＝∠B′A′E，∠B＝∠B′
对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段或其延长线的交点都在对称轴上
2.中心对称与中心对称图形
中心对称 中心对称图形
定义 把一个图形绕着某一点旋转180°后，如果与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心(简称中心) 把一个图形绕着某一个点旋转180°后与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
图形
区别 指位置关系 指一个图形
性质 (1)成中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分； (2)成中心对称的两个图形全等
【夺分宝典】常见的轴对称图形：线段、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、正五边形、正六边形、圆等；
常见的中心对称图形：线段、平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等；
常见的既是轴对称又是中心对称的图形：线段、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等．
3．图形的折叠
实质 折叠是轴对称变换，折痕所在的直线就是对称轴，折叠前后的图形全等
性质 折叠前后的两部分图形全等且关于折痕成轴对称，对应边、角、线段、周长、面积相等；折叠前后，对应点的连线被折痕垂直平分
图形的平移及旋转
1．图形的平移
概念 在平面内，将一个图形沿某一个方向移动一定的距离
要素 (1)平移起点； (2)平移方向； (3)平移距离
性质 (1)平移是全等变换，即平移前后两图形全等； (2)经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相等的距离； (3)对应点的连线平行且相等
2.图形的旋转
概念 将一个平面图形F上的每一个点绕这个平面内一定点O旋转同一个角α(即把F上每一个点与定点的连线绕定点O旋转角α)，得到图形F′，图形的这种变换就叫做旋转，这个定点O叫做旋转中心，角α叫做旋转角
要素 旋转中心、旋转方向和旋转角
性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等； (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； (3)旋转前、后的图形全等
网格中利用图形变换作图
对称作图 (1)作轴对称图形：利用对应点到对称轴的距离相等找出每个点关于对称轴的对称点，再连线； (2)作中心对称图形：连接关键点与对称中心并延长一倍，从而确定关键点的对应点，最后按原图依次连接对应点
平移作图 (1)确定平移方向、平移距离； (2)找关键点； (3)分别平移关键点得到其对应点； (4)按原图依次连接对应点
旋转作图 (1)确定旋转中心及旋转方向、旋转角； (2)找关键点； (3)连接关键点与旋转中心，将其连线绕旋转中心沿旋转方向旋转一定的角度(旋转角)得到其对应点； (4)按原图依次连接对应点
【夺分宝典】
1．折叠前后对应角与对应线段相等，善于寻找图形中的直角三角形或相似三角形，利用勾股定理或相似三角形的性质求解．
2．过一个定点折叠时，对应点到该定点的距离始终不变，从而折叠后对应点在圆上．
3．解决有关旋转的问题，关键是利用旋转的性质，旋转变换的作用如下：
(1)把分散的几何图形进行集中和整合；
(2)添加辅助线易构造等腰三角形、全等三角形；
(3)联想与旋转有关的模型，如：半角模型、手拉手模型、对角互补模型．
如图，在矩形ABCD中，AB＝3，sin ∠ACB＝，E为BC上一点．
(1)若将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线AC上，记作点B′.
①BE的长是；
②连接DB′，则tan ∠B′DC的值是；
(2)M为AB的中点，将△MBE沿ME折叠，点B的对应点为点F，连接DF，则DF长的最小值为．
如图，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合．
(1)与△ABP全等的三角形是△ACP′；
(2)若将△ABP绕点A逆时针旋转90°后与△ACP′重合，AP＝3，则PP′的长为3；
(3)若将△ABP绕点A逆时针旋转60°后与△ACP′重合，AP＝3，则PP′的长为3；
(4)将△ABP绕点A按逆时针方向旋转120°后与△ACP′重合，且AP′∥BC，则∠CAP′的度数为30°．
命题点1 图形的对称
1．(2024·武汉)现实世界中，对称现象无处不在，我国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是( C )
2．(2023·恩施州)如图所示4个图形中，是中心对称图形的是( B )
3．(2022·黄石)下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( A )
4．(2022·黄冈、孝感、咸宁联考)下列图形中，对称轴条数最多的是( D )
A．等边三角形 B．矩形
C．正方形 D．圆
命题点2 图形的折叠
5．(2023·黄石)如图，有一张矩形纸片ABCD.先对折矩形ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.观察所得的线段，若AE＝1，则MN的长为( C )
A． B．1
C． D．2
6．(2023·宜昌)如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A′处，并得到折痕DE，小宇测得长边CD＝8，则四边形A′EBC的周长为16．
7．(2020·荆门)如图，Rt△AOB的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为(1，)，将Rt△AOB沿直线y＝－x翻折，得到Rt△A′OB′，过点A′作A′C⊥OA′，交y轴于点C，则点C的坐标为(0，－4)．
命题点3 图形的旋转
8．(2024·湖北)如图，点A的坐标是(－4，6)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是( B )
A．(4，6) B．(6，4)
C．(－6，－4) D．(－4，－6)
9．(2021·黄石)如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是(－1，0)，现将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，则旋转后点C的坐标是( B )
A．(2，－3) B．(－2，3)
C．(－2，2) D．(－3，2)
10．(2020·孝感)如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为H，与BC交于点G.若BG＝3，CG＝2，则CE的长为( B )
A． B．
C．4 D．
命题点4 网格作图
11．(2023·宜昌)如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．
(1)画出线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，连接AB；
(2)画出与△AOB关于直线OB对称的图形，点A的对称点是点C；
(3)填空：∠OCB的度数为45°．
解：(1)如图，OB即为所求作．
(2)如图，△COB即为所求作．
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第七章 图形与变换
第27讲 图形的对称、平移与旋转
图形的对称
1．轴对称与轴对称图形
轴对称 轴对称图形
定义 把一个图形沿某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴 如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分能够完全重合，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴
图形
区别 指位置关系，对称轴只有一条 指一个图形，对称轴不一定只有一条
性质 对应线段相等 AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′ AB＝A′B′，BD＝B′D，AE＝A′E
对应角相等 ∠BAC＝∠B′A′C′，∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′ ∠BAE＝∠B′A′E，∠B＝∠B′
对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段或其延长线的交点都在对称轴上
2.中心对称与中心对称图形
中心对称 中心对称图形
定义 把一个图形绕着某一点旋转180°后，如果与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心(简称中心) 把一个图形绕着某一个点旋转180°后与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
图形
区别 指位置关系 指一个图形
性质 (1)成中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分； (2)成中心对称的两个图形全等
【夺分宝典】常见的轴对称图形：线段、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、正五边形、正六边形、圆等；
常见的中心对称图形：线段、平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等；
常见的既是轴对称又是中心对称的图形：线段、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等．
3．图形的折叠
实质 折叠是轴对称变换，折痕所在的直线就是对称轴，折叠前后的图形全等
性质 折叠前后的两部分图形全等且关于折痕成轴对称，对应边、角、线段、周长、面积相等；折叠前后，对应点的连线被折痕垂直平分
图形的平移及旋转
1．图形的平移
概念 在平面内，将一个图形沿某一个方向移动一定的距离
要素 (1)平移起点； (2)平移方向； (3)平移距离
性质 (1)平移是全等变换，即平移前后两图形全等； (2)经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相等的距离； (3)对应点的连线平行且相等
2.图形的旋转
概念 将一个平面图形F上的每一个点绕这个平面内一定点O旋转同一个角α(即把F上每一个点与定点的连线绕定点O旋转角α)，得到图形F′，图形的这种变换就叫做旋转，这个定点O叫做旋转中心，角α叫做旋转角
要素 旋转中心、旋转方向和旋转角
性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等； (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； (3)旋转前、后的图形全等
网格中利用图形变换作图
对称作图 (1)作轴对称图形：利用对应点到对称轴的距离相等找出每个点关于对称轴的对称点，再连线； (2)作中心对称图形：连接关键点与对称中心并延长一倍，从而确定关键点的对应点，最后按原图依次连接对应点
平移作图 (1)确定平移方向、平移距离； (2)找关键点； (3)分别平移关键点得到其对应点； (4)按原图依次连接对应点
旋转作图 (1)确定旋转中心及旋转方向、旋转角； (2)找关键点； (3)连接关键点与旋转中心，将其连线绕旋转中心沿旋转方向旋转一定的角度(旋转角)得到其对应点； (4)按原图依次连接对应点
【夺分宝典】
1．折叠前后对应角与对应线段相等，善于寻找图形中的直角三角形或相似三角形，利用勾股定理或相似三角形的性质求解．
2．过一个定点折叠时，对应点到该定点的距离始终不变，从而折叠后对应点在圆上．
3．解决有关旋转的问题，关键是利用旋转的性质，旋转变换的作用如下：
(1)把分散的几何图形进行集中和整合；
(2)添加辅助线易构造等腰三角形、全等三角形；
(3)联想与旋转有关的模型，如：半角模型、手拉手模型、对角互补模型．
如图，在矩形ABCD中，AB＝3，sin ∠ACB＝，E为BC上一点．
(1)若将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线AC上，记作点B′.
①BE的长是；
②连接DB′，则tan ∠B′DC的值是；
(2)M为AB的中点，将△MBE沿ME折叠，点B的对应点为点F，连接DF，则DF长的最小值为．
如图，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合．
(1)与△ABP全等的三角形是△ACP′；
(2)若将△ABP绕点A逆时针旋转90°后与△ACP′重合，AP＝3，则PP′的长为3；
(3)若将△ABP绕点A逆时针旋转60°后与△ACP′重合，AP＝3，则PP′的长为3；
(4)将△ABP绕点A按逆时针方向旋转120°后与△ACP′重合，且AP′∥BC，则∠CAP′的度数为30°．
命题点1 图形的对称
1．(2024·武汉)现实世界中，对称现象无处不在，我国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是( C )
2．(2023·恩施州)如图所示4个图形中，是中心对称图形的是( B )
3．(2022·黄石)下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( A )
4．(2022·黄冈、孝感、咸宁联考)下列图形中，对称轴条数最多的是( D )
A．等边三角形 B．矩形
C．正方形 D．圆
命题点2 图形的折叠
5．(2023·黄石)如图，有一张矩形纸片ABCD.先对折矩形ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.观察所得的线段，若AE＝1，则MN的长为( C )
A． B．1
C． D．2
6．(2023·宜昌)如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A′处，并得到折痕DE，小宇测得长边CD＝8，则四边形A′EBC的周长为16．
7．(2020·荆门)如图，Rt△AOB的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为(1，)，将Rt△AOB沿直线y＝－x翻折，得到Rt△A′OB′，过点A′作A′C⊥OA′，交y轴于点C，则点C的坐标为(0，－4)．
命题点3 图形的旋转
8．(2024·湖北)如图，点A的坐标是(－4，6)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是( B )
A．(4，6) B．(6，4)
C．(－6，－4) D．(－4，－6)
9．(2021·黄石)如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是(－1，0)，现将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，则旋转后点C的坐标是( B )
A．(2，－3) B．(－2，3)
C．(－2，2) D．(－3，2)
10．(2020·孝感)如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为H，与BC交于点G.若BG＝3，CG＝2，则CE的长为( B )
A． B．
C．4 D．
命题点4 网格作图
11．(2023·宜昌)如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．
(1)画出线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，连接AB；
(2)画出与△AOB关于直线OB对称的图形，点A的对称点是点C；
(3)填空：∠OCB的度数为45°．
解：(1)如图，OB即为所求作．
(2)如图，△COB即为所求作．
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中考数学一轮复习课件
人教版
2025年中考数学 一轮复习（回归教材夯实基础）
第27讲 图形的对称、平移与旋转
考点精讲精练
第七章 图形与变换
知识点1 图形的对称
1．轴对称与轴对称图形
轴对称 轴对称图形
定义 把一个图形沿某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴 如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分能够完全重合，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴
轴对称 轴对称图形
性质 对应线段相等 AB＝A′B′，AC＝__________，BC＝B′C′ AB＝__________，BD＝B′D，AE＝A′E
对应角 相等 ∠BAC＝∠B′A′C′，∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′ ∠BAE＝∠B′A′E，∠B＝∠B′
对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段或其延长线的交点都在对称轴上 A′C′
A′B′
2.中心对称与中心对称图形
中心对称 中心对称图形
定义 把一个图形绕着某一点旋转__________后，如果与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心(简称中心) 把一个图形绕着某一个点旋转180°后与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做__________．
180°
对称中心
全等
轴对称
知识点2 图形的平移及旋转
方向
全等
相等
相等
2.图形的旋转
旋转中心
等于
知识点3 网格中利用图形变换作图
对称作图 (1)作轴对称图形：利用对应点到对称轴的距离相等找出每个点关于对称轴的对称点，再连线；
(2)作中心对称图形：连接关键点与对称中心并延长一倍，从而确定关键点的对应点，最后按原图依次连接对应点
平移作图 (1)确定平移方向、平移距离；
(2)找关键点；
(3)分别平移关键点得到其对应点；
(4)按原图依次连接对应点
旋转作图 (1)确定旋转中心及旋转方向、旋转角；
(2)找关键点；
(3)连接关键点与旋转中心，将其连线绕旋转中心沿旋转方向旋转一定的角度(旋转角)得到其对应点；
(4)按原图依次连接对应点
△ACP′
3
30°
C
B
A
D
C
16
(0，－4)
B
B
B
45°
解：(1)如图，OB即为所求作．
(2)如图，△COB即为所求作．
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